◇ 河南 顏如欣

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題

◇ 河南 顏如欣

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題,常規(guī)的處理方法是將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解,而翻折是連接平面幾何與立體幾何的紐帶,實(shí)現(xiàn)平面向空間的轉(zhuǎn)化.

1 動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

例1 若三棱錐A-BCD的側(cè)面△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成圖形可能是( ).

如圖1,過P作面BCD的垂線,垂足為O.在△ABC內(nèi)過P作PE⊥AB,垂足為E,PF⊥BC,垂足為F.連OF,根據(jù)題意PE＝PO,在Rt△POF中,∠PFO為定值,所以

圖1

在平面中,動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)角的兩邊距離之比為常數(shù),則動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線,結(jié)合sin∠PFO＜1,故PF＞PE,因此點(diǎn)P的軌跡與AC的交點(diǎn)AC在中點(diǎn)以上(靠近A方向),故選D.

本題打破平時(shí)以正方體為載體,采用四面體進(jìn)行設(shè)計(jì),作了一定的改進(jìn),難度較大.主要是將空間問題(點(diǎn)到面的距離)轉(zhuǎn)化為平面上的問題處理.

2 面積問題

例2 如圖2,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB＝AD＝2,AA1＝3,棱AD在平面α內(nèi),則長(zhǎng)方體在平面α內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是________.

圖2

四邊形ABCD和ADD1A1的面積分別為4和6,長(zhǎng)方體在平面α內(nèi)的射影可由這2個(gè)四邊形在平面α內(nèi)的射影組合而成.設(shè)面積為S,顯然Smin＝4.若記平面ABCD與平面α所成的角為θ,則平面ADDA與平面α所成角為

本題通過設(shè)出長(zhǎng)方體側(cè)面與平面α的夾角θ確定射影的面積,將射影面積表示為角θ的函數(shù),利用三角函數(shù)最值求解方法確定射影面積的范圍.將立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決是常用思路.

3 距離或長(zhǎng)度問題

例3 如圖3所示,球O為邊長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D的內(nèi)切球,P為球O的球面上動(dòng)點(diǎn),M為B1C1中點(diǎn),DP⊥BM,則點(diǎn)P的軌跡周長(zhǎng)為________.

圖3

圖4

圖5

利用空間垂直關(guān)系的傳遞性可得線面垂直及線線垂直,從而確定動(dòng)點(diǎn)軌跡,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,由平面幾何知識(shí)求得軌跡圓的半徑從而得解.

4 位置關(guān)系判定問題

例4 在矩形ABCD中,AB＝2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE翻折過程中,下面4個(gè)命題中正確的是________.

ABM是定值.

B點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng).

C存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C.

D存在某個(gè)位置,使MB∥平面A1DE.

如圖6所示,取CD中點(diǎn)F,連接MF、BF,

圖6

折疊問題是常見的動(dòng)態(tài)問題,在折疊過程中,同一平面內(nèi)的線面位置關(guān)系不變.

(作者單位:河南洛陽(yáng)理工學(xué)院附屬中學(xué))