遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)彈性單元?jiǎng)偠冉Ｑ芯?/h1>
2016-12-21 08:37常晏寧王卓識(shí)
上海航天 2016年5期
常晏寧,王卓識(shí),王 皓
(1.上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240; 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)
?
遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)彈性單元?jiǎng)偠冉Ｑ芯?/p>
常晏寧1,王卓識(shí)1,王 皓1、2
(1.上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240; 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)
為得到遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)(RCC)中常用的金屬梁?jiǎn)卧?、層疊彈性單元(ESP)的剛度性能，在材料力學(xué)四個(gè)基本假設(shè)下，根據(jù)彈性變形原理，對(duì)單元末端建立金屬梁剛度矩陣，并通過(guò)伴隨變換進(jìn)行解耦，得到其對(duì)角形式。對(duì)端部具鉸鏈梁?jiǎn)卧?、U副梁?jiǎn)卧⑶蜿P(guān)節(jié)梁等不同運(yùn)動(dòng)副的單元進(jìn)行剛度建模，給出鉸鏈處的剛度矩陣，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)副處的剛度矩陣無(wú)法解耦，而U副和球副可解耦。建立了ESP彈性單元的剛度模型，發(fā)現(xiàn)在一端固定條件下，末端自由、添加U副和添加球副均利于形成RCC機(jī)構(gòu)的解耦剛度性能。研究為RCC機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了參考。
遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)； 剛度性能； 梁?jiǎn)卧?ESP單元； 運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)； 剛度矩陣； 伴隨變換； 解耦
0 引言
RCC廣泛用于自動(dòng)化裝配領(lǐng)域，遠(yuǎn)中心柔順手腕使機(jī)器人具備一定的柔順能力，可完成間隙為微米級(jí)的插銷入孔裝配作業(yè)[1-2]。柔性桿或具有鉸鏈等結(jié)構(gòu)的柔性桿是RCC裝置常用的變形結(jié)構(gòu)，用于提供可觀的被動(dòng)順應(yīng)性能以保證軸孔插入裝配有效進(jìn)行。在插軸入孔裝配操作任務(wù)中，柔順中心位置的設(shè)置十分重要，因此需對(duì)RCC機(jī)構(gòu)中的彈性單元?jiǎng)偠冗M(jìn)行分析[3]。RCC裝置常用的彈性單元主要有金屬梁?jiǎn)卧?、帶多種鉸鏈的金屬梁?jiǎn)卧?，以及具橡膠金屬片層疊結(jié)構(gòu)的ESP單元。1986年，WHITNEY 首先介紹了用ESP單元設(shè)計(jì)RCC機(jī)構(gòu)的方法，克服了傳統(tǒng)RCC機(jī)構(gòu)在采用線性彈簧模型預(yù)測(cè)時(shí)，剛度和柔順中心誤差較大的問(wèn)題[4]。此后，采用ESP彈性單元的孔軸裝配被動(dòng)順應(yīng)柔性手腕被廣泛應(yīng)用。為提高裝配的靈活性和可靠性，提出了可變遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)(VRCC)的設(shè)計(jì)方案，其特點(diǎn)是柔順中心的位置可根據(jù)工作需要改變[5]。但彈性單元不利于通過(guò)變動(dòng)VRCC裝置結(jié)構(gòu)尺寸改變剛度性能，只能通過(guò)改變彈性單元長(zhǎng)度或彈性部位實(shí)現(xiàn)可變的剛度性能，這種結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜且不利于懸掛較重零部件時(shí)的調(diào)節(jié)。一端具有轉(zhuǎn)動(dòng)副、U副等運(yùn)動(dòng)副形式的彈性單元因其轉(zhuǎn)動(dòng)副的適應(yīng)能力，便于實(shí)現(xiàn)RCC裝置改變尺寸進(jìn)而改變剛度性能，因此本文建立具有鉸鏈的金屬梁及ESP剛度模型。目前，針對(duì)RCC機(jī)構(gòu)的研究主要是整體方案的設(shè)計(jì)及分析，未對(duì)構(gòu)成RCC機(jī)構(gòu)的彈性單元在不同鉸鏈下的剛度性能進(jìn)行系統(tǒng)的分析和比較。關(guān)于彈性單元?jiǎng)偠刃阅艿难芯浚墨I(xiàn)[6]給出了彈性梁的剛度矩陣算法，文獻(xiàn)[7]給出了變截面梁的剛度矩陣求法，但并未對(duì)剛度矩陣嘗試進(jìn)行解耦。另對(duì)ESP單元?jiǎng)偠染仃嚨慕⒓敖怦罘椒▌t尚未有針對(duì)性研究。在材料力學(xué)的連續(xù)性、均勻性、各向同性、小變形四個(gè)基本假設(shè)前提下，本文對(duì)金屬桿和ESP等彈性單元末端的剛度性能矩陣建立進(jìn)行了研究，并用伴隨變換將剛度矩陣轉(zhuǎn)為解耦形式的對(duì)角化剛度矩陣，判斷該單元的解耦性能，以此比較梁?jiǎn)卧虴SP單元在不同運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)連接時(shí)的剛度性能，為RCC設(shè)計(jì)中彈性元件的選取及剛度參數(shù)的優(yōu)化提供參考。
1 金屬梁剛度模型
金屬梁?jiǎn)卧鐖D1所示。柔性單元末端點(diǎn)O變形可表示為Δx=[uTγT]T。此處：u為末端三個(gè)方向的微小位移變形；γ為末端繞三軸的微小轉(zhuǎn)動(dòng)變形。末端點(diǎn)O受力可表示為F=[fTτT]T。此處：f為末端受力；τ為末端所受彎矩。在滿足線性假設(shè)時(shí)，柔性單元的剛度可表示為
F=KOΔX.
(1)
圖1 金屬梁?jiǎn)卧狥ig.1 Metal beam element
RCC裝置梁?jiǎn)卧哪┒藙偠刃再|(zhì)不同于懸臂梁和固定梁，在工作過(guò)程中受定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的約束，其剛度性能與有限單元方法中的梁?jiǎn)卧嗨啤Ｔ跐M足材料力學(xué)四個(gè)基本假設(shè)的前提下，等截面金屬梁?jiǎn)卧哪┒它c(diǎn)O在O-xyz坐標(biāo)系中的剛度性能可描述為
(2)
點(diǎn)E為等金屬梁軸線中點(diǎn)，其在O-xyz坐標(biāo)系中矢量可表示為OE=[0 0 -l/2]T。由文獻(xiàn)[9]，將KO轉(zhuǎn)為至點(diǎn)E的伴隨變換矩陣可表示為
(3)
(4)
KO，KE間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為
KE=(AEO)TKOAEO.
(5)
經(jīng)變換，梁?jiǎn)卧谖恢命c(diǎn)E的剛度矩陣可表示為
(6)
由式(6)可知：在該點(diǎn)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚲邔?duì)角矩陣形式，各方向剛度解耦。彈性單元具有該形式的剛度矩陣，利于形成遠(yuǎn)中心順應(yīng)機(jī)構(gòu)的末端解耦剛度性能。
2 運(yùn)動(dòng)副梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/h2>
2.1 鉸鏈梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/p>
如圖2所示為一端固定，另一端鉸鏈連接的金屬梁?jiǎn)卧-xyz坐標(biāo)系與鉸鏈固定端固結(jié)，點(diǎn)O位于梁中心點(diǎn)，Ox軸與鉸鏈旋轉(zhuǎn)軸重合。慣性坐標(biāo)系O0-x0y0z0位于梁?jiǎn)卧行狞c(diǎn)，建立末端點(diǎn)O的剛度模型。理想條件下，鉸鏈未改變ux，uz，γy，γz向的約束，以上四個(gè)方向具有與普通等截面梁?jiǎn)卧嗤膭偠刃阅埽恍鑼?duì)uy，γx向進(jìn)行剛度建模。
圖2 鉸鏈金屬梁?jiǎn)卧狥ig.2 Hinged metal beam element
先對(duì)uy向進(jìn)行剛度建模。在橫向力fy和扭轉(zhuǎn)力矩τx的作用下，末端點(diǎn)O的uy變形可表示為
uy=ub+us.
(7)
式中：ub為由力矩τx引起的位移；us為由剪切力fy引起的位移。兩者線性疊加構(gòu)成該點(diǎn)的變形位移。us，ub的變形特征可表示為
(8)
(9)
由于末端點(diǎn)O鉸鏈不受扭轉(zhuǎn)力矩，故τx=0，即理論上鉸鏈光滑不受力。將以上關(guān)系聯(lián)立代入式(7)可得
(10)
固定端點(diǎn)O0不會(huì)發(fā)生形變，同時(shí)鉸鏈梁?jiǎn)卧┒瞬皇軓澗刈饔?，其受力產(chǎn)生的彎曲在固定端將完全取決于鉸鏈端的剪切力。歸納以下兩個(gè)變形約束條件：
b)x=-l時(shí)，uy=0。
將兩約束條件代入式(10)，可算得式中常數(shù)項(xiàng)為
(11)
(12)
O-xyz坐標(biāo)系中梁末端點(diǎn)O處x=0，則該點(diǎn)在y向變形
(13)
以上表示y向的柔度性能，轉(zhuǎn)為剛度方程形式可得
(14)
分別對(duì)fy，τx求uy的導(dǎo)數(shù)，可得
(15)
(16)
τx對(duì)uy影響的形變量為零可理解為鉸鏈固定端受τx的扭矩作用，但該扭矩并不能傳遞至鉸接梁?jiǎn)卧?，因此其γx向不產(chǎn)生形變，柔度無(wú)窮大。順應(yīng)機(jī)構(gòu)末端受到該方向的扭矩作用時(shí)，由于存在多個(gè)彈性單元，所受扭矩可轉(zhuǎn)為多個(gè)大小相等方向相反的力或該扭矩作用于具該方向剛度的彈性元件上。
再對(duì)γx向進(jìn)行剛度建模。因τx不會(huì)傳導(dǎo)至梁?jiǎn)卧?，且梁末端受固結(jié)于RCC裝置上，fy不會(huì)產(chǎn)生γx向變形，故γx向不會(huì)產(chǎn)生變形，其剛度矩陣中各項(xiàng)可表示為
(17)
(18)
綜上所述，鉸鏈梁?jiǎn)卧┒它c(diǎn)O的剛度矩陣可表示為
(19)
2.2 U副梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/p>
建立末端有U副的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?，結(jié)構(gòu)如圖3所示。
圖3 U副金屬梁?jiǎn)卧狥ig.3 Universal jointed metal beam element
末端有U副的金屬梁?jiǎn)卧喈?dāng)于在末端具有兩個(gè)軸線垂直相交，轉(zhuǎn)動(dòng)軸與梁軸線相交于一點(diǎn)的彈性單元，因此其剛度性能可按兩個(gè)鉸鏈機(jī)構(gòu)建模。由式(19)可得U副梁?jiǎn)卧膭偠饶Ｐ蜑?/p>
(20)
2.3 球關(guān)節(jié)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/p>
建立球關(guān)節(jié)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?，結(jié)構(gòu)如圖4所示。
圖4 球關(guān)節(jié)梁?jiǎn)卧狥ig.4 Ball-jointed metal beam element
對(duì)末端具有球鉸鏈的梁?jiǎn)卧┒饲蜚q鏈處不承受扭轉(zhuǎn)力矩，ux，uy，γx，γy向剛度性能與2.2節(jié)中U副梁?jiǎn)卧嗤z向剛度不受球鉸鏈存在的影響，γz向的扭轉(zhuǎn)剛度為零，因此球鉸鏈梁的剛度性能表示為
(21)
3 ESP彈性單元?jiǎng)偠饶Ｐ?/h2>
ESP單元的結(jié)構(gòu)如圖5所示。其中每個(gè)橡膠片與金屬片構(gòu)成一個(gè)彈性層，是ESP彈性結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)單元。設(shè)彈性層長(zhǎng)度為t，稱為彈性層節(jié)距；δ為橡膠層厚度；r0為有效承載橫截面的半徑。ESP彈性單元有n層彈性層，每層可視作簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?。因金屬片剛度遠(yuǎn)大于橡膠材料，故模型中不考慮金屬片的剛度，即假想金屬片為剛體，進(jìn)而可通過(guò)剛度疊加原理組合橡膠層剛度得到整個(gè)彈性桿末端的剛度性能[10]。橡膠材料的拉壓剛度相差較大，需用等效彈性模量概念分析橡膠的純彎曲變形[11]。
圖5 ESP結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure diagram of ESP
由于方形截面的ESP單元具有金屬粘結(jié)性不足，可能出現(xiàn)受力集中的問(wèn)題，ESP單元采用圓形橫截面結(jié)構(gòu)，進(jìn)行剛度分析，其結(jié)構(gòu)如圖6所示。圖中：點(diǎn)O0為彈性單元固定端截面中心點(diǎn)，作為ESP單元起始點(diǎn)；點(diǎn)O為彈性單元末端中心點(diǎn)；點(diǎn)Oi為第i個(gè)彈性層末端橫截面上中心點(diǎn)。
圖6 ESP彈性單元Fig.6 ESP Element
各彈性層末端中心點(diǎn)Oi的剛度矩陣可表示為
(22)
點(diǎn)E為等截面梁軸線上一點(diǎn)，其位置距點(diǎn)O距離L=(n-1)t+δ/2。各彈性層末端點(diǎn)Oi相對(duì)點(diǎn)E的距離為li=-L/2+(i-1)t，在O-xyz坐標(biāo)系中獲得矢量OiE=[0 0li]T，將KOi轉(zhuǎn)為至點(diǎn)E的伴隨變換矩陣可表示為
(23)
式中：
(24)
KOi由伴隨變換轉(zhuǎn)換得到在點(diǎn)E處各彈性層的剛度性能并疊加。因各彈性層為串聯(lián)連接，故需用柔度疊加的方法計(jì)算KE，有
(25)
轉(zhuǎn)換后得點(diǎn)E位置的剛度矩陣為
KE=diag(K1,K2,K3,K4,K5,K6).
(26)
式中:
由此可知：在該點(diǎn)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚲邔?duì)角矩陣形式，各方向剛度解耦。
4 U副ESP彈性單元?jiǎng)偠饶Ｐ?/h2>
同鉸鏈金屬?gòu)椥詥卧膭偠刃再|(zhì)類似，有一個(gè)鉸鏈的ESP彈性單元不具通過(guò)變換獲得對(duì)角陣形式剛度矩陣的性質(zhì)。因此建立末端為U副的ESP單元?jiǎng)偠饶Ｐ停浣Y(jié)構(gòu)如圖7所示。
圖7 U副ESP單元Fig.7 Universal-jointed ESP element
點(diǎn)O0至點(diǎn)O1為ESP彈性單元，點(diǎn)O1至點(diǎn)O為剛性連接桿，長(zhǎng)度為l0。在U副彈性單元轉(zhuǎn)動(dòng)副一端沿x軸方向施加力Fx于點(diǎn)O，在點(diǎn)O1將產(chǎn)生力Fx和力矩Fxl0。點(diǎn)O1的ESP彈性元件受力可表示為
F=[fx0 0 0 τy0]T.
(27)
式中：fx=Fx；τy=Fx·l0。由外力同變形量關(guān)系式為
ΔXO1=(KO1)-1F.
(28)
可得點(diǎn)O1變形量為
ΔXO1=[ux0 0 0 γy0]T.
(29)
因點(diǎn)O的U副固定端不產(chǎn)生角度變化，則點(diǎn)O變形量可表示為
ΔXO=[ux+γyl00 0 0 0 0]T.
(30)
則點(diǎn)O的x向位移剛度可表示為
(31)
同理可得點(diǎn)O的y向位移剛度，由于U副不傳遞x、y軸向的扭矩，因此其剛度矩陣可表示為
KO=diag(KOx,KOy,KOz,0,0,Kτz).
(32)
KO=diag(KOx,KOy,KOz,0,0,0).
(33)
5 結(jié)束語(yǔ)
本文根據(jù)材料力學(xué)原理建立了具有金屬梁或ESP結(jié)構(gòu)的不同彈性單元的剛度模型，并通過(guò)伴隨變換進(jìn)行解耦。同時(shí)，在彈性單元末端添加轉(zhuǎn)動(dòng)副、U副和球副，分析其剛度矩陣的解耦性，證明了在金屬梁?jiǎn)卧駿SP單元末端添加轉(zhuǎn)動(dòng)副(鉸鏈)后，其剛度矩陣無(wú)法解耦，而U副和球副可解耦。通過(guò)對(duì)RCC機(jī)構(gòu)中常用的兩種彈性單元在不同鉸鏈約束下的剛度性能進(jìn)行比較，可為基于上述兩種單元的RCC機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供借鑒和參考。在后續(xù)研究中，可用上述單元設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的RCC機(jī)構(gòu)，以檢驗(yàn)本文剛度模型的實(shí)際應(yīng)用效果。
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Research on Stiffness Modeling of Elastic Element in RCC
CHANG Yan-ning1, WANG Zhuo-shi1, WANG Hao1, 2
(1. Shanghai Key Laboratory of Digital Manufacture for Thin-Walled Structures, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)
To obtain the stiffness performance of the metal beam element and elastomer shear pad (ESP) element in common use in the remote center compliance (RCC), the stiffness matrices were built according to the principle of elastic deformation and four basic hypothesis in the theory of material mechanics. The stiffness matrices were built at the end of each element and decoupled through adjoint transformation and the block-diagonal form were finally obtained. The stiffness models of the elastic element with different joints at the end were also built and stiffness matrices for the location of joints were given. It is found that stiffness matrices of universal joint and spherical joint can be decoupled, while revolute joint can not. Therefore, when the two kinds of elastic elements are fixed at one end, the decoupling stiffness performance for RCC can be achieved with no joint, universal joint and spherical joint at the other end. The research offers a reference to the design of RCC.
Remote center compliance; Stiffness performance; Beam element; ESP element; Moving joint; Stiffness matrix; Adjoint transformation; Decoupling
1006-1630(2016)05-0057-06
2016-07-05；
2016-08-01
國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11472172)；973計(jì)劃(2014CB046600)
常晏寧(1992-)，男，碩士生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人學(xué)。
TP273
A
10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.009
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常晏寧,王卓識(shí),王 皓
(1.上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240; 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)
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遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)彈性單元?jiǎng)偠冉Ｑ芯?/p>
常晏寧1,王卓識(shí)1,王 皓1、2
(1.上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240; 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)
為得到遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)(RCC)中常用的金屬梁?jiǎn)卧?、層疊彈性單元(ESP)的剛度性能，在材料力學(xué)四個(gè)基本假設(shè)下，根據(jù)彈性變形原理，對(duì)單元末端建立金屬梁剛度矩陣，并通過(guò)伴隨變換進(jìn)行解耦，得到其對(duì)角形式。對(duì)端部具鉸鏈梁?jiǎn)卧?、U副梁?jiǎn)卧⑶蜿P(guān)節(jié)梁等不同運(yùn)動(dòng)副的單元進(jìn)行剛度建模，給出鉸鏈處的剛度矩陣，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)副處的剛度矩陣無(wú)法解耦，而U副和球副可解耦。建立了ESP彈性單元的剛度模型，發(fā)現(xiàn)在一端固定條件下，末端自由、添加U副和添加球副均利于形成RCC機(jī)構(gòu)的解耦剛度性能。研究為RCC機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了參考。
遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)； 剛度性能； 梁?jiǎn)卧?ESP單元； 運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)； 剛度矩陣； 伴隨變換； 解耦
0 引言
RCC廣泛用于自動(dòng)化裝配領(lǐng)域，遠(yuǎn)中心柔順手腕使機(jī)器人具備一定的柔順能力，可完成間隙為微米級(jí)的插銷入孔裝配作業(yè)[1-2]。柔性桿或具有鉸鏈等結(jié)構(gòu)的柔性桿是RCC裝置常用的變形結(jié)構(gòu)，用于提供可觀的被動(dòng)順應(yīng)性能以保證軸孔插入裝配有效進(jìn)行。在插軸入孔裝配操作任務(wù)中，柔順中心位置的設(shè)置十分重要，因此需對(duì)RCC機(jī)構(gòu)中的彈性單元?jiǎng)偠冗M(jìn)行分析[3]。RCC裝置常用的彈性單元主要有金屬梁?jiǎn)卧?、帶多種鉸鏈的金屬梁?jiǎn)卧?，以及具橡膠金屬片層疊結(jié)構(gòu)的ESP單元。1986年，WHITNEY 首先介紹了用ESP單元設(shè)計(jì)RCC機(jī)構(gòu)的方法，克服了傳統(tǒng)RCC機(jī)構(gòu)在采用線性彈簧模型預(yù)測(cè)時(shí)，剛度和柔順中心誤差較大的問(wèn)題[4]。此后，采用ESP彈性單元的孔軸裝配被動(dòng)順應(yīng)柔性手腕被廣泛應(yīng)用。為提高裝配的靈活性和可靠性，提出了可變遠(yuǎn)中心柔順機(jī)構(gòu)(VRCC)的設(shè)計(jì)方案，其特點(diǎn)是柔順中心的位置可根據(jù)工作需要改變[5]。但彈性單元不利于通過(guò)變動(dòng)VRCC裝置結(jié)構(gòu)尺寸改變剛度性能，只能通過(guò)改變彈性單元長(zhǎng)度或彈性部位實(shí)現(xiàn)可變的剛度性能，這種結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜且不利于懸掛較重零部件時(shí)的調(diào)節(jié)。一端具有轉(zhuǎn)動(dòng)副、U副等運(yùn)動(dòng)副形式的彈性單元因其轉(zhuǎn)動(dòng)副的適應(yīng)能力，便于實(shí)現(xiàn)RCC裝置改變尺寸進(jìn)而改變剛度性能，因此本文建立具有鉸鏈的金屬梁及ESP剛度模型。目前，針對(duì)RCC機(jī)構(gòu)的研究主要是整體方案的設(shè)計(jì)及分析，未對(duì)構(gòu)成RCC機(jī)構(gòu)的彈性單元在不同鉸鏈下的剛度性能進(jìn)行系統(tǒng)的分析和比較。關(guān)于彈性單元?jiǎng)偠刃阅艿难芯浚墨I(xiàn)[6]給出了彈性梁的剛度矩陣算法，文獻(xiàn)[7]給出了變截面梁的剛度矩陣求法，但并未對(duì)剛度矩陣嘗試進(jìn)行解耦。另對(duì)ESP單元?jiǎng)偠染仃嚨慕⒓敖怦罘椒▌t尚未有針對(duì)性研究。在材料力學(xué)的連續(xù)性、均勻性、各向同性、小變形四個(gè)基本假設(shè)前提下，本文對(duì)金屬桿和ESP等彈性單元末端的剛度性能矩陣建立進(jìn)行了研究，并用伴隨變換將剛度矩陣轉(zhuǎn)為解耦形式的對(duì)角化剛度矩陣，判斷該單元的解耦性能，以此比較梁?jiǎn)卧虴SP單元在不同運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)連接時(shí)的剛度性能，為RCC設(shè)計(jì)中彈性元件的選取及剛度參數(shù)的優(yōu)化提供參考。
1 金屬梁剛度模型
金屬梁?jiǎn)卧鐖D1所示。柔性單元末端點(diǎn)O變形可表示為Δx=[uTγT]T。此處：u為末端三個(gè)方向的微小位移變形；γ為末端繞三軸的微小轉(zhuǎn)動(dòng)變形。末端點(diǎn)O受力可表示為F=[fTτT]T。此處：f為末端受力；τ為末端所受彎矩。在滿足線性假設(shè)時(shí)，柔性單元的剛度可表示為
F=KOΔX.
(1)
圖1 金屬梁?jiǎn)卧狥ig.1 Metal beam element
RCC裝置梁?jiǎn)卧哪┒藙偠刃再|(zhì)不同于懸臂梁和固定梁，在工作過(guò)程中受定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的約束，其剛度性能與有限單元方法中的梁?jiǎn)卧嗨啤Ｔ跐M足材料力學(xué)四個(gè)基本假設(shè)的前提下，等截面金屬梁?jiǎn)卧哪┒它c(diǎn)O在O-xyz坐標(biāo)系中的剛度性能可描述為
(2)
點(diǎn)E為等金屬梁軸線中點(diǎn)，其在O-xyz坐標(biāo)系中矢量可表示為OE=[0 0 -l/2]T。由文獻(xiàn)[9]，將KO轉(zhuǎn)為至點(diǎn)E的伴隨變換矩陣可表示為
(3)
(4)
KO，KE間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為
KE=(AEO)TKOAEO.
(5)
經(jīng)變換，梁?jiǎn)卧谖恢命c(diǎn)E的剛度矩陣可表示為
(6)
由式(6)可知：在該點(diǎn)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚲邔?duì)角矩陣形式，各方向剛度解耦。彈性單元具有該形式的剛度矩陣，利于形成遠(yuǎn)中心順應(yīng)機(jī)構(gòu)的末端解耦剛度性能。
2 運(yùn)動(dòng)副梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/h2>
2.1 鉸鏈梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/p>
如圖2所示為一端固定，另一端鉸鏈連接的金屬梁?jiǎn)卧-xyz坐標(biāo)系與鉸鏈固定端固結(jié)，點(diǎn)O位于梁中心點(diǎn)，Ox軸與鉸鏈旋轉(zhuǎn)軸重合。慣性坐標(biāo)系O0-x0y0z0位于梁?jiǎn)卧行狞c(diǎn)，建立末端點(diǎn)O的剛度模型。理想條件下，鉸鏈未改變ux，uz，γy，γz向的約束，以上四個(gè)方向具有與普通等截面梁?jiǎn)卧嗤膭偠刃阅埽恍鑼?duì)uy，γx向進(jìn)行剛度建模。
圖2 鉸鏈金屬梁?jiǎn)卧狥ig.2 Hinged metal beam element
先對(duì)uy向進(jìn)行剛度建模。在橫向力fy和扭轉(zhuǎn)力矩τx的作用下，末端點(diǎn)O的uy變形可表示為
uy=ub+us.
(7)
式中：ub為由力矩τx引起的位移；us為由剪切力fy引起的位移。兩者線性疊加構(gòu)成該點(diǎn)的變形位移。us，ub的變形特征可表示為
(8)
(9)
由于末端點(diǎn)O鉸鏈不受扭轉(zhuǎn)力矩，故τx=0，即理論上鉸鏈光滑不受力。將以上關(guān)系聯(lián)立代入式(7)可得
(10)
固定端點(diǎn)O0不會(huì)發(fā)生形變，同時(shí)鉸鏈梁?jiǎn)卧┒瞬皇軓澗刈饔?，其受力產(chǎn)生的彎曲在固定端將完全取決于鉸鏈端的剪切力。歸納以下兩個(gè)變形約束條件：
b)x=-l時(shí)，uy=0。
將兩約束條件代入式(10)，可算得式中常數(shù)項(xiàng)為
(11)
(12)
O-xyz坐標(biāo)系中梁末端點(diǎn)O處x=0，則該點(diǎn)在y向變形
(13)
以上表示y向的柔度性能，轉(zhuǎn)為剛度方程形式可得
(14)
分別對(duì)fy，τx求uy的導(dǎo)數(shù)，可得
(15)
(16)
τx對(duì)uy影響的形變量為零可理解為鉸鏈固定端受τx的扭矩作用，但該扭矩并不能傳遞至鉸接梁?jiǎn)卧?，因此其γx向不產(chǎn)生形變，柔度無(wú)窮大。順應(yīng)機(jī)構(gòu)末端受到該方向的扭矩作用時(shí)，由于存在多個(gè)彈性單元，所受扭矩可轉(zhuǎn)為多個(gè)大小相等方向相反的力或該扭矩作用于具該方向剛度的彈性元件上。
再對(duì)γx向進(jìn)行剛度建模。因τx不會(huì)傳導(dǎo)至梁?jiǎn)卧?，且梁末端受固結(jié)于RCC裝置上，fy不會(huì)產(chǎn)生γx向變形，故γx向不會(huì)產(chǎn)生變形，其剛度矩陣中各項(xiàng)可表示為
(17)
(18)
綜上所述，鉸鏈梁?jiǎn)卧┒它c(diǎn)O的剛度矩陣可表示為
(19)
2.2 U副梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/p>
建立末端有U副的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?，結(jié)構(gòu)如圖3所示。
圖3 U副金屬梁?jiǎn)卧狥ig.3 Universal jointed metal beam element
末端有U副的金屬梁?jiǎn)卧喈?dāng)于在末端具有兩個(gè)軸線垂直相交，轉(zhuǎn)動(dòng)軸與梁軸線相交于一點(diǎn)的彈性單元，因此其剛度性能可按兩個(gè)鉸鏈機(jī)構(gòu)建模。由式(19)可得U副梁?jiǎn)卧膭偠饶Ｐ蜑?/p>
(20)
2.3 球關(guān)節(jié)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?/p>
建立球關(guān)節(jié)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠饶Ｐ?，結(jié)構(gòu)如圖4所示。
圖4 球關(guān)節(jié)梁?jiǎn)卧狥ig.4 Ball-jointed metal beam element
對(duì)末端具有球鉸鏈的梁?jiǎn)卧┒饲蜚q鏈處不承受扭轉(zhuǎn)力矩，ux，uy，γx，γy向剛度性能與2.2節(jié)中U副梁?jiǎn)卧嗤z向剛度不受球鉸鏈存在的影響，γz向的扭轉(zhuǎn)剛度為零，因此球鉸鏈梁的剛度性能表示為
(21)
3 ESP彈性單元?jiǎng)偠饶Ｐ?/h2>
ESP單元的結(jié)構(gòu)如圖5所示。其中每個(gè)橡膠片與金屬片構(gòu)成一個(gè)彈性層，是ESP彈性結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)單元。設(shè)彈性層長(zhǎng)度為t，稱為彈性層節(jié)距；δ為橡膠層厚度；r0為有效承載橫截面的半徑。ESP彈性單元有n層彈性層，每層可視作簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?。因金屬片剛度遠(yuǎn)大于橡膠材料，故模型中不考慮金屬片的剛度，即假想金屬片為剛體，進(jìn)而可通過(guò)剛度疊加原理組合橡膠層剛度得到整個(gè)彈性桿末端的剛度性能[10]。橡膠材料的拉壓剛度相差較大，需用等效彈性模量概念分析橡膠的純彎曲變形[11]。
圖5 ESP結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure diagram of ESP
由于方形截面的ESP單元具有金屬粘結(jié)性不足，可能出現(xiàn)受力集中的問(wèn)題，ESP單元采用圓形橫截面結(jié)構(gòu)，進(jìn)行剛度分析，其結(jié)構(gòu)如圖6所示。圖中：點(diǎn)O0為彈性單元固定端截面中心點(diǎn)，作為ESP單元起始點(diǎn)；點(diǎn)O為彈性單元末端中心點(diǎn)；點(diǎn)Oi為第i個(gè)彈性層末端橫截面上中心點(diǎn)。
圖6 ESP彈性單元Fig.6 ESP Element
各彈性層末端中心點(diǎn)Oi的剛度矩陣可表示為
(22)
點(diǎn)E為等截面梁軸線上一點(diǎn)，其位置距點(diǎn)O距離L=(n-1)t+δ/2。各彈性層末端點(diǎn)Oi相對(duì)點(diǎn)E的距離為li=-L/2+(i-1)t，在O-xyz坐標(biāo)系中獲得矢量OiE=[0 0li]T，將KOi轉(zhuǎn)為至點(diǎn)E的伴隨變換矩陣可表示為
(23)
式中：
(24)
KOi由伴隨變換轉(zhuǎn)換得到在點(diǎn)E處各彈性層的剛度性能并疊加。因各彈性層為串聯(lián)連接，故需用柔度疊加的方法計(jì)算KE，有
(25)
轉(zhuǎn)換后得點(diǎn)E位置的剛度矩陣為
KE=diag(K1,K2,K3,K4,K5,K6).
(26)
式中:
由此可知：在該點(diǎn)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚲邔?duì)角矩陣形式，各方向剛度解耦。
4 U副ESP彈性單元?jiǎng)偠饶Ｐ?/h2>
同鉸鏈金屬?gòu)椥詥卧膭偠刃再|(zhì)類似，有一個(gè)鉸鏈的ESP彈性單元不具通過(guò)變換獲得對(duì)角陣形式剛度矩陣的性質(zhì)。因此建立末端為U副的ESP單元?jiǎng)偠饶Ｐ停浣Y(jié)構(gòu)如圖7所示。
圖7 U副ESP單元Fig.7 Universal-jointed ESP element
點(diǎn)O0至點(diǎn)O1為ESP彈性單元，點(diǎn)O1至點(diǎn)O為剛性連接桿，長(zhǎng)度為l0。在U副彈性單元轉(zhuǎn)動(dòng)副一端沿x軸方向施加力Fx于點(diǎn)O，在點(diǎn)O1將產(chǎn)生力Fx和力矩Fxl0。點(diǎn)O1的ESP彈性元件受力可表示為
F=[fx0 0 0 τy0]T.
(27)
式中：fx=Fx；τy=Fx·l0。由外力同變形量關(guān)系式為
ΔXO1=(KO1)-1F.
(28)
可得點(diǎn)O1變形量為
ΔXO1=[ux0 0 0 γy0]T.
(29)
因點(diǎn)O的U副固定端不產(chǎn)生角度變化，則點(diǎn)O變形量可表示為
ΔXO=[ux+γyl00 0 0 0 0]T.
(30)
則點(diǎn)O的x向位移剛度可表示為
(31)
同理可得點(diǎn)O的y向位移剛度，由于U副不傳遞x、y軸向的扭矩，因此其剛度矩陣可表示為
KO=diag(KOx,KOy,KOz,0,0,Kτz).
(32)
KO=diag(KOx,KOy,KOz,0,0,0).
(33)
5 結(jié)束語(yǔ)
本文根據(jù)材料力學(xué)原理建立了具有金屬梁或ESP結(jié)構(gòu)的不同彈性單元的剛度模型，并通過(guò)伴隨變換進(jìn)行解耦。同時(shí)，在彈性單元末端添加轉(zhuǎn)動(dòng)副、U副和球副，分析其剛度矩陣的解耦性，證明了在金屬梁?jiǎn)卧駿SP單元末端添加轉(zhuǎn)動(dòng)副(鉸鏈)后，其剛度矩陣無(wú)法解耦，而U副和球副可解耦。通過(guò)對(duì)RCC機(jī)構(gòu)中常用的兩種彈性單元在不同鉸鏈約束下的剛度性能進(jìn)行比較，可為基于上述兩種單元的RCC機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供借鑒和參考。在后續(xù)研究中，可用上述單元設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的RCC機(jī)構(gòu)，以檢驗(yàn)本文剛度模型的實(shí)際應(yīng)用效果。
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Research on Stiffness Modeling of Elastic Element in RCC
CHANG Yan-ning1, WANG Zhuo-shi1, WANG Hao1, 2
(1. Shanghai Key Laboratory of Digital Manufacture for Thin-Walled Structures, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)
To obtain the stiffness performance of the metal beam element and elastomer shear pad (ESP) element in common use in the remote center compliance (RCC), the stiffness matrices were built according to the principle of elastic deformation and four basic hypothesis in the theory of material mechanics. The stiffness matrices were built at the end of each element and decoupled through adjoint transformation and the block-diagonal form were finally obtained. The stiffness models of the elastic element with different joints at the end were also built and stiffness matrices for the location of joints were given. It is found that stiffness matrices of universal joint and spherical joint can be decoupled, while revolute joint can not. Therefore, when the two kinds of elastic elements are fixed at one end, the decoupling stiffness performance for RCC can be achieved with no joint, universal joint and spherical joint at the other end. The research offers a reference to the design of RCC.
Remote center compliance; Stiffness performance; Beam element; ESP element; Moving joint; Stiffness matrix; Adjoint transformation; Decoupling
1006-1630(2016)05-0057-06
2016-07-05；
2016-08-01
國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11472172)；973計(jì)劃(2014CB046600)
常晏寧(1992-)，男，碩士生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人學(xué)。
TP273
A
10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.009
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