景 蓓，魏毅強

(太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024)

?

一類分數(shù)階Euler-Bernoulli梁耦合格點系統(tǒng)解的存在唯一性

景 蓓，魏毅強

(太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024)

在Euler-Bernoulli梁格點系統(tǒng)中，考慮了熱效應影響，并且將其推廣到分數(shù)階形式，研究了一類分數(shù)階Euler-Bernoulli梁耦合格點系統(tǒng)解的存在唯一性. 其中，運用連續(xù)緊映射原理和Schauder’s 不動點定理，證明了該梁耦合格點系統(tǒng)解的存在性，運用壓縮映射原理，證明了該梁耦合格點系統(tǒng)解的唯一性. 該結果對工程中一些關于Euler-Bernoulli梁模型的梁的彈性振動問題的討論和估算有一定的指導意義.

分數(shù)階格點系統(tǒng)； Caputo導數(shù)； 巴拿赫壓縮映射原理； 存在唯一性

0 引 言

格點系統(tǒng)是一類十分重要的動力系統(tǒng)，其作為偏微分方程空間變量離散化形式有著廣泛的應用，涉及生物學[1-2]，材料科學[3]，電子工程[4]，激光理論[5]，圖像處理與模式識別[6-7]等領域. 迄今為止，已有許多關于格點動力系統(tǒng)的動力學研究，例如文獻[8]研究了一類隨機格點動力系統(tǒng)解的存在唯一性；文獻[9]討論了一類自治耦合格點非線性Schrodinger方程組的解的動力學行為； 文獻[10]研究了分數(shù)階部分耗散格點系統(tǒng)解的存在唯一性； 文獻[11]研究了分數(shù)階Timoshenko梁格點系統(tǒng)解的存在唯一性； 文獻[12]討論了整數(shù)階Euler-Bernoulli梁方程的穩(wěn)定性； 文獻[13]討論了Euler-Bernoulli類方程初值問題解的局部存在性、 整體存在性以及解的長時間漸近性； 文獻[14]討論了Euler--Bernoulli梁幾何整數(shù)階非線性方程的變化趨勢； 文獻[15]研究了彈性梁在熱膨脹狀態(tài)下的橫向非線性振動問題的整數(shù)階漸近解，等等. 本文將分數(shù)階與耦合引入到Euler-Bernoulli梁格點系統(tǒng)中，研究了一類分數(shù)階Euler-Bernoulli梁耦合格點系統(tǒng)解的初值問題，此結果在工程結構中有廣泛的應用價值和實際指導意義.具體問題如下

(1)

其初值條件為

(2)

其中,u=(ui)i∈Z，θ=(θi)i∈Z，λ，μ，δ，β，α，ρ是正常數(shù)，(fi(t))i∈Z，(gi(t))i∈Z是滿足某些條件的非線性函數(shù)序列，0

1 預備知識

記l2表示平方收斂的實序列空間

其相應的內積〈·〉和范數(shù)‖·‖分別定義如下

對于任意的u=(ui)i∈Z∈l2和v=(vi)i∈Z∈l2，定義l2上的線性算子A,B,B*如下

則可知，運算滿足

及〈B*u,v〉=〈u,Bv〉.

事實上，B*是B的伴隨算子，且易驗證

及 ‖Au‖≤4‖u‖, ‖Bu‖≤2‖u‖,

令u=(ui)i∈Z∈l2,θ=(θi)i∈Z∈l2，結合l2上的線性算子A，B，系統(tǒng)(1)～(2)等價于

(3)

其初值條件為

(4)

現(xiàn)令z=au+cDpu，則系統(tǒng)(3)～(4)等價于下面的方程

(5)

初值條件為

(6)

再令

則系統(tǒng)(5)～(6)可以寫成H空間中的抽象矩陣方程

(7)

定義H上的內積和范數(shù)如下，對任意的Φ(j)∈H, j=1,2.

設T0>0, b>0, 令

定義

2 主要結果及證明

引理 1對于任意的Φ∈X，及t∈J成立

其中 P=max{p1,p2,p3}.

事實上，

引理 2對于Φ∈X，及t∈J，有

證明由于G(t,Φ)=[0,f(t),g(t)-h(u)]T，則有

那么

(H1) G(t,Φ)+FΦ在J上關于t是勒貝格可測的；

(H2) G(t,Φ), FΦ分別在B上關于Φ是連續(xù)的；

(H3) 假設存在某正常數(shù)q∈(0,p)，使得實值函數(shù)

定理 1假設條件(H1)，(H2)，(H3)均成立，那么對任意的 p∈(0,1)，存在t0>0，使得初值問題(1)～(2)在區(qū)間[0,t0] 上至少存在一個解，其中

證明由Caputo算子的定義及性質可知，系統(tǒng)(1)～(2)解的存在性問題等價于下面積分方程解的存在性問題

記

在Ω上定義算子T如下

其中, Φ∈Ω, t∈[0,t0].

首先，我們證明T是自映射.即對任意的Φ∈Ω，有TΦ∈Ω，t∈[0,t0].

從而

即TΦ(t)∈Ω，T是自映射的.

進一步，

故{TΦ|Φ∈Ω}是一致有界的.

設Φm，Φ∈Ω，m=1，2，…，

即

因此，由條件(H2)得

于是可知

及

另一方面，

因此

故T是連續(xù)的.

對?t1, t2∈[0,t0], t1≤t2，有

故

即得{TΦ∶Φ∈Ω}是等度連續(xù)的.于是由Arzela-Ascoli即可知TΦ是相對緊的. 再由Schauder’s不動點定理可知存在Φ*∈Ω，使得

即

故初值問題(1)～(2)在區(qū)間[0,t0]上至少存在一個解.用類似的方法可以證明問題(1)～(2)在[- t0,0]區(qū)間的解的存在性.

定理 2假設(H1)，(H2)成立，并假設

其中:Φ，Ψ∈B,t∈J.

則對任意的p∈(0,1)，存在t1>0使得初值問題(1)～(2)在區(qū)間[0,t1]上存在唯一解. 其中

證明記

在Ω上定義算子T如下

其中t∈[0,t1]. 類似定理1可以證明在[0,t1]上，T是自映射的.

接下來，證明T是壓縮的.

事實上，對?Φ, Ψ∈Ω，有

于是可知

其中

故由Banach壓縮映射原理可知，T在[0,t0]上有唯一不動點，即原初值問題在區(qū)間[0,t1]上存在唯一解. 證畢.

[1]CarpioA.Patternformation，long-termtransients，andtheturing-HopfBifurcationinaspace-andtime-discretepredator-preysystem[J].BulletinofMathematicalBiology，2011，73(8)：1812-1840.

[2]ChowSN，ParetJM.Patternformationandspatialchaosinlatticedynamicalsystems-PartI[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI：FundamentalTheoryandApplications，1995，42(10)：746-751.

[3]AlHajM，F(xiàn)orcadelN，MonneauR.Existenceanduniquenessoftravelingwavesforfullyoverdampedfrenkel-kontorovamodels[J].ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis，2013，210(1)：45-99.

[4]ZhouF，LouJJ.Uniformexponentialattractorfornonautonomouspartlydissipativelatticedynamicalsystem[J].ActaMathematicaSinica，2014，19(8)：1381-1394.

[5]CarpioA.Wavetrains，self-oscillationsandsynchronizationindiscretemedia[J].PhysicaD：NonlinearPhenomena, 2005，207(1-2)：117-136.

[6]ChowSN，Mallet-ParetJ，VanVleckES.Patternformationandspatialchaosinspatiallydiscreteevolutionequations[J].RandomandComputationalDynamics，1996，4(2-3)：109-178.

[7]XuK，ZhuL，ZhangDM，etal.Synchronizationapproachfordynamichexagonaltime-frequencylatticeMCMsystem[J].RandomandComputationalDynamics，2014，25(1)：72-83.

[8]路學強，郭小勇，王蕾. 一類隨機格點動力系統(tǒng)解的存在唯一性[J]. 蘭州交通大學學報，2010，29(1)：157-160． Lu Xueqiang，Guo Xiaoyong，Wang Lei. A class of stochastic lattice system existence and uniqueness of solution[J].Journal of Lanzhou Jiaotong University，2010，29(1)：157-160．(in Chinese)

[9]陳婷. 一類格點系統(tǒng)解的漸近性行為及其分數(shù)階格點系統(tǒng)的解的存在唯一性[D]. 湘潭：湘潭大學，2012.

[10]武旭藝. 兩類分數(shù)格點系統(tǒng)解的存在唯一性與FitzHugh-Nagumo格點系統(tǒng)的指數(shù)吸引子[D].湘潭：湘潭大學，2012.

[11]王靜. 一類分數(shù)階非線性微分方程初值問題及Timoshenko梁格點系統(tǒng)解的研究[D]. 太原：太原理工大學，2015．

[12]魯小瑞. 邊界帶有干擾的Euler-Bernoulli梁方程的輸出反饋穩(wěn)定[J]. 中北大學學報(自然科學版)，2015，36(2)：103-107. Lu Xiaorui. Output feedback stability for a Euler-Bernoulli beam equation with boundary disturbance[J]. Journal of North University of China(Natural Science Edition)，2015，36(2)：103-107. (in Chinese)

[13]潘挺. Euler-Bernoulli類方程初值問題解的漸進性質[D]. 杭州：浙江大學，2010.

[14]李世榮，孫云，劉平. 關于Euler-Bernoulli 梁幾何非線性方程的討論[J]. 力學與實踐，2013，35(2)：77-80. Li Shirong，Sun Yun，Liu Ping. Discussion of Euler-Bernoulli beam-geometric nonlinear equations[J]. Mechanics in Engineering，2013，35(2)：77-80. (in Chinese)

[15]佘桂林. 基于Euler-Bernoulli 梁理論研究熱膨脹下梁的非線性振動問題[J].應用力學學報，2015，32(3)：366-371. She Guilin. Large amplitude vibration analysis of Euler-Bernoulli beams in the state of thermal expansion[J].Chinese Journal of Applied Mechanics，2015，32(3)：366-371. (in Chinese)

Existence and Uniqueness of Solutions of a Class of Fractional Order Euler-Bernoulli Beam Coupling Lattice Systems

JING Bei, WEI Yi-qiang

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

An exploration was made on existence and uniqueness of the solutions of a class of fractional order Euler-Bernoulli beam coupling lattice systems, which was effected by the thermal effect and generalized to the fractional order form. By using the principle of continuous maps and Schauder ’s fixed point theorem, the existence of solutions of the lattice system was obtained. And by using the contraction mapping theory, uniqueness of solution of the lattice system was proved. In the engineering, the result has guiding significance for the discussion and estimation of elastic vibration of beam about Euler- Bernoulli beam model.

lattice system of fractional order; Caputo derivative; Banach contraction mapping theory; existence and uniquess

2016-03-02 基金項目：國家自然科學基金面上項目(11472184)

景 蓓(1991-)，女，碩士生，主要從事分形幾何與動力系統(tǒng)的研究.

1673-3193(2016)05-0456-05

O175

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.004