李 斌，楊 杰,2

(1 西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048；2 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，陜西 西安 710048)

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基于雙層復(fù)形法的重力壩斷面優(yōu)化研究

李 斌1，楊 杰1,2

(1 西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048；2 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，陜西 西安 710048)

【目的】 進(jìn)行重力壩斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法研究，為減小重力壩斷面面積，優(yōu)化重力壩體型提供參考?！痉椒ā?以復(fù)形法為基礎(chǔ)，簡(jiǎn)化了在所有約束條件下尋找可行點(diǎn)的收縮步驟以減少計(jì)算次數(shù)，然后構(gòu)造了雙層優(yōu)化結(jié)構(gòu)，即把第1層復(fù)形的優(yōu)化結(jié)果作為第2層復(fù)形的初始點(diǎn)，再以復(fù)形法原理進(jìn)行優(yōu)化，最后以某擬建重力壩為實(shí)例進(jìn)行了壩體橫斷面的優(yōu)化分析?！窘Y(jié)果】 優(yōu)化后的各斷面特征參數(shù)均滿足要求，其斷面面積較原設(shè)計(jì)方案減小了15.97%，壩體體型更瘦，且壩體上、下游應(yīng)力分布更加合理?！窘Y(jié)論】 雙層復(fù)形法較復(fù)形法具有更高的穩(wěn)定性、更快的收斂速度，可適用于大體積、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的水工結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

水工結(jié)構(gòu)；混凝土重力壩；斷面優(yōu)化； 雙層復(fù)形法

我國(guó)有大量在建或擬建的實(shí)體重力壩，其體積龐大、修建成本高，如何進(jìn)行結(jié)構(gòu)斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)重力壩的施工進(jìn)度和成本控制具有非常重要的意義[1-3]。目前，較為普遍的結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法有蟻群算法、模擬退火算法、粒子群算法和復(fù)形法等，且都取得了不錯(cuò)的效果[4-6]。但蟻群算法是離散算法，求解連續(xù)問題需要離散化，且容易出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，不利于尋找全局最優(yōu)解。模擬退火算法的參數(shù)選取亦比較困難，參數(shù)選取不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致退火不充分，繼而導(dǎo)致算法全局搜索能力很低。在解決多峰優(yōu)化問題時(shí)，粒子群優(yōu)化算法比較容易陷入局部最優(yōu)值，從而無法找到真正的全局最優(yōu)值。復(fù)形法(Complex Method，CM)可以在m維受非線性約束的設(shè)計(jì)空間內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有k個(gè)頂點(diǎn)的多面體，不斷選擇更好點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，是解決約束最優(yōu)化問題的一種直接搜索方法[7]。影響其優(yōu)化能力的主要原因有以下3點(diǎn)：一是由于復(fù)形中包含的頂點(diǎn)多樣性不足，導(dǎo)致尋優(yōu)的范圍只能在關(guān)于最壞點(diǎn)的直線上。李亮等[8]在各個(gè)頂點(diǎn)的尋優(yōu)直線上分別尋求比各自頂點(diǎn)有所改善的新復(fù)形點(diǎn)，構(gòu)成多個(gè)新復(fù)形并選擇復(fù)形頂點(diǎn)多樣性最大的作為下一次迭代的初始復(fù)形，其還利用蟻群算法求出的較優(yōu)解代替復(fù)形頂點(diǎn)中基因型相似的頂點(diǎn)，來增強(qiáng)復(fù)形法的搜索能力[9]。二是由于隨機(jī)生成的復(fù)形或計(jì)算過程中構(gòu)成的新復(fù)形所包圍的域不夠大，容易產(chǎn)生局部最優(yōu)。莫愿斌等[10]、張敏輝[11]和張魯明[12]通過粒子群算法進(jìn)行搜索之后，對(duì)當(dāng)前種群最優(yōu)粒子的最好位置和此粒子的歷史最好位置再進(jìn)行復(fù)形法的局部搜索，來提高整個(gè)算法的尋優(yōu)能力。三是復(fù)形法容易陷入局部最優(yōu)而無法跳出。陳昌富等[13]引入退火機(jī)制來跳離局部極優(yōu)，給復(fù)形法再一次尋找全局最優(yōu)的機(jī)會(huì)，進(jìn)而繼續(xù)用復(fù)形法來搜索。

以上對(duì)復(fù)形法的改進(jìn)主要是增加算法本身或與其他算法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)過程復(fù)雜且計(jì)算次數(shù)較多。復(fù)形法原本簡(jiǎn)單可靠、理論成熟、應(yīng)用廣泛，本研究在原本復(fù)形法的基礎(chǔ)上，分析了其運(yùn)算結(jié)構(gòu)并進(jìn)行雙層復(fù)形法(Double-Layer Complex Method，DLCM)的優(yōu)化程序設(shè)計(jì)，最后通過實(shí)例驗(yàn)證該算法有一定的優(yōu)化能力且優(yōu)化結(jié)果合理，以期為重力壩斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 重力壩斷面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

重力壩斷面優(yōu)化方法較多[14-16]，數(shù)學(xué)模型主要包括設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

1.1 設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量X1、X2、X3分別為上游垂直面距離、上游坡率和下游坡率，如圖1所示，其中H為大壩總高度，B為壩頂寬度，L為大壩下游垂直面距離。

圖 1 重力壩設(shè)計(jì)斷面中的變量

1.2 目標(biāo)函數(shù)

如圖1所示，取單位寬度的壩體斷面面積W作為目標(biāo)函數(shù)，可表示為：

W=HB+(H-X1)2X2/2+(H-L)2X3/2。

(1)

1.3 約束條件

1.3.1 幾何約束 設(shè)計(jì)變量X1、X2、X3的幾何約束條件為：

X1:H/3≤X1≤2H/3;

X2:0≤X2≤0.2;

X3:0.5≤X3≤0.9;

0≤Xi;(i=1,2,3)。

1.3.2 穩(wěn)定約束 抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)應(yīng)大于規(guī)定的安全系數(shù)，參照《混凝土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范》(SL 319-2005)，在基本荷載組合下確定安全系數(shù)的約束條件為：

(2)

式中：K′為抗剪斷強(qiáng)度公式計(jì)算的安全系數(shù)；[K′]為允許安全系數(shù)；f′為壩體混凝土與壩基接觸面的抗剪斷摩擦系數(shù)；∑W′為接觸面以上的總鉛直力，kN；U為作用在接觸面的揚(yáng)壓力，kN；c′為壩體混凝土與壩基的抗剪斷凝聚力，kPa；A′為壩基接觸面面積，m2；∑P為接觸面以上的總水平力，kN。

1.3.3 應(yīng)力約束 參照《混凝土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范》(SL 319-2005)，在基本荷載組合下壩踵不出現(xiàn)拉應(yīng)力、壩趾應(yīng)力應(yīng)不大于壩基容許壓應(yīng)力，由此可得：

(3)

(4)

式中：σS、σX分別為壩踵、壩趾的垂直應(yīng)力之和，kPa；[σ]為容許壓應(yīng)力，kPa；∑W為作用于壩段上或1 m壩長(zhǎng)上全部荷載在壩基截面上法向力的總和，kN；∑M為作用于壩段上或1 m壩長(zhǎng)上全部荷載對(duì)壩基截面形心軸的力矩總和，kN·m；A為壩段或1 m壩長(zhǎng)的壩基截面積，m2；x為壩基截面上計(jì)算點(diǎn)到形心軸的距離，m；J為壩段或1 m壩長(zhǎng)的壩基截面對(duì)形心軸的慣性矩，m4。

2 雙層復(fù)形法

CM詳細(xì)內(nèi)容見文獻(xiàn)[4]，其程序設(shè)計(jì)流程見圖2[17]。圖2中虛線框外主要是形成初始復(fù)形點(diǎn)的過程，框內(nèi)為復(fù)形優(yōu)化搜索的過程。圖2中：k為復(fù)形的頂點(diǎn)數(shù)；ε為目標(biāo)函數(shù)迭代精度終止的條件值，是一個(gè)很小的正數(shù)；ζ為終止反射系數(shù)的條件值，也是一個(gè)很小的正數(shù)；s為復(fù)形點(diǎn)中可行點(diǎn)的數(shù)量；XL、XG和XR分別為復(fù)形頂點(diǎn)中的最好點(diǎn)、次好點(diǎn)和最壞點(diǎn)；F(Xα)、F(XR)分別為Xα、XR的目標(biāo)函數(shù)值。針對(duì)CM本身存在的不足，本研究對(duì)復(fù)形點(diǎn)和雙層復(fù)形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)和優(yōu)化。

趙東方 男，1995年生于云南昆明，現(xiàn)為西安交通大學(xué)計(jì)算機(jī)系碩士研究生.主要研究方向?yàn)镕PGA性能優(yōu)化.

圖 2 復(fù)形法程序設(shè)計(jì)流程圖[17]

2.1 復(fù)形點(diǎn)的改進(jìn)

復(fù)形法形成初始復(fù)形點(diǎn)的方法是首先人為給定一個(gè)可行點(diǎn)，再用(5)式隨機(jī)形成其余點(diǎn)。

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,k)。

(5)

式中：i為變量號(hào)；j為復(fù)形頂點(diǎn)號(hào)；ai、bi分別為設(shè)計(jì)變量的上、下限；R為0～1的隨機(jī)數(shù)，可由計(jì)算機(jī)自動(dòng)產(chǎn)生。

(6)

初始復(fù)形點(diǎn)的形成至關(guān)重要[18-20]，當(dāng)人為給定的初始復(fù)形點(diǎn)不可行時(shí)，則會(huì)影響對(duì)其他復(fù)形點(diǎn)的判斷，導(dǎo)致計(jì)算失敗；對(duì)其余點(diǎn)逐一判斷，每次收縮之后需再一次判斷是否為可行點(diǎn)，計(jì)算過程比較復(fù)雜。

本研究應(yīng)用Matlab語言編寫了子程序Fea、Jud和Opt。Fea以幾何約束為條件，用來產(chǎn)生一個(gè)指定上、下限的隨機(jī)復(fù)形點(diǎn)，省略了人為定義初始復(fù)形點(diǎn)的步驟；Jud以所有約束為條件，用來判斷該點(diǎn)在滿足幾何約束條件的同時(shí)是否也滿足其他約束條件，即是否為一個(gè)可行點(diǎn)，這樣形成的復(fù)形點(diǎn)全部為可行點(diǎn)，排除了人為頂點(diǎn)的影響，且省略了(6)式的收縮計(jì)算；Opt是以圖2中虛線框中的內(nèi)容為核心的優(yōu)化程序，在主程序中每調(diào)用一次該程序，則找到一個(gè)更優(yōu)的復(fù)形點(diǎn)來代替之前復(fù)形點(diǎn)中最壞的點(diǎn)。這3個(gè)程序是主程序的重要組成部分，主程序中除定義一些初始常量以外，利用這3個(gè)程序就可以很方便地進(jìn)行優(yōu)化。

2.2 雙層復(fù)形結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

形成初始復(fù)形后，選擇最壞點(diǎn)XR，再用(7)式在XR與XC的連線上作α倍的映射，得到更優(yōu)的映像點(diǎn)Xα，進(jìn)而不斷用Xα代替復(fù)形的最壞點(diǎn)XR，進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

Xα=XC+β(XC-XR)。

(7)

式中：XC為除XR點(diǎn)外其余頂點(diǎn)的中心點(diǎn)。

每次改進(jìn)復(fù)形點(diǎn)后以(8)式為收斂的判別準(zhǔn)則，如滿足式(8)，則迭代計(jì)算結(jié)束，此時(shí)復(fù)形各定點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)即為最優(yōu)解X*。

(8)

初始復(fù)形點(diǎn)的隨機(jī)性使得復(fù)形的搜索域差異較大，進(jìn)而導(dǎo)致搜索能力的較大差異；當(dāng)面對(duì)多峰極值的優(yōu)化問題時(shí)，單個(gè)復(fù)形容易陷入局部最優(yōu)點(diǎn)。

雙層復(fù)形結(jié)構(gòu)[21]是假設(shè)復(fù)形頂點(diǎn)數(shù)k=2n時(shí)，n是幾何約束的個(gè)數(shù)，首先形成第1層的n個(gè)復(fù)形，對(duì)它們優(yōu)化固定次數(shù)之后，取出各個(gè)復(fù)形的最好點(diǎn)和次好點(diǎn)，再由這些點(diǎn)形成第2層復(fù)形，完成剩下的迭代計(jì)算。n個(gè)復(fù)形增強(qiáng)了復(fù)形頂點(diǎn)的多樣性，擴(kuò)大了搜索域，也避免了單個(gè)復(fù)形易陷入局部最優(yōu)而無法跳出的缺陷。DLCM程序設(shè)計(jì)流程見圖3。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)例驗(yàn)證

3.1 工程概況

某擬建重力壩壩高40.5 m，設(shè)計(jì)水位高38 m，泥沙淤積高10.0 m，下游起坡點(diǎn)距壩頂8.0 m，下游水位2 m，壩頂寬5 m。揚(yáng)壓力折減系數(shù)α為0.3，水的容重為10 kN/m3，泥沙浮容重為8 kN/m3，內(nèi)摩擦角為32°，混凝土容重為24 kN/m3，摩擦系數(shù)f′為0.75，凝聚力為550 kPa。在基本荷載工況下迭代精度條件ε和ζ均取0.000 1，DLCM中第1層迭代計(jì)算20次，之后為第2層優(yōu)化計(jì)算，20組的平均優(yōu)化結(jié)果與原始設(shè)計(jì)的壩體特征參數(shù)見表1。

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

比較優(yōu)化前后的壩體特征參數(shù)(表1)可以看出，優(yōu)化之后的斷面整體偏瘦，壩體斷面面積比原設(shè)計(jì)方案減小了15.97%。重力壩斷面下游坡率通常為0.6～0.8，這是經(jīng)過大量實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)獲得的較為安全的參數(shù)，而本研究選取的下游坡率為0.5～0.9，目的是為了在基本荷載組合工況下尋求理論上的最優(yōu)目標(biāo)，其結(jié)果為0.552 9，說明規(guī)范中的 0.6～0.8在一般情況下是安全、合理的。該算法是在滿足所有約束條件下尋求的最優(yōu)目標(biāo)，本例中的安全系數(shù)約束條件按重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范取為3，其優(yōu)化結(jié)果也為3，說明安全系數(shù)是控制重力壩斷面的一個(gè)重要條件，如果希望斷面更優(yōu)，安全系數(shù)就會(huì)小于3，大壩就會(huì)不安全，其比原始設(shè)計(jì)的安全系數(shù)3.5小，說明原始設(shè)計(jì)的安全系數(shù)有一定的富余，特殊荷載組合下可選擇安全系數(shù)約束條件為2.5，其優(yōu)化過程依然適用。與原始的上、下游壩面應(yīng)力進(jìn)行比較，可知優(yōu)化之后的上游壓應(yīng)力更小，下游壓應(yīng)力更大，且均有一定富余，這更符合重力壩的應(yīng)力分布規(guī)律。

圖 3 雙層復(fù)形法程序設(shè)計(jì)流程圖

表 1 優(yōu)化前后壩體的特征參數(shù)

表2為CM和DLCM的20組重力壩斷面優(yōu)化結(jié)果，其中目標(biāo)函數(shù)值W較為接近，說明復(fù)形法本身具有較強(qiáng)的尋優(yōu)能力，但DLCM的計(jì)算次數(shù)更少，即計(jì)算效率更高。對(duì)目標(biāo)函數(shù)和迭代次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差而言，DLCM較CM降低了96.67%和37.5%，即該算法的計(jì)算穩(wěn)定性更強(qiáng)。圖4和5是其20組計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，為了更清楚地看到目標(biāo)函數(shù)值的差異，將優(yōu)化結(jié)果統(tǒng)一減小了525 m2，只比較有差異的小數(shù)部分。由圖4和5可見，DLCM的目標(biāo)函數(shù)接近于水平直線，且迭代次數(shù)比CM整體偏少。因此可以斷定，DLCM的計(jì)算穩(wěn)定性和搜索效率較CM都有明顯的提高。

表 2 CM和DLCM優(yōu)化結(jié)果的比較

圖 4 CM和DLCM優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比

圖 5 CM和DLCM迭代次數(shù)的對(duì)比

圖6為CM與DLCM的一次計(jì)算過程，同樣對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了放大處理。由圖6可見，復(fù)形法的迭代計(jì)算在前幾次收斂較快，以后逐次變慢，雖然雙層結(jié)構(gòu)的復(fù)形數(shù)有所增加，但最終迭代次數(shù)并沒有增加，反而有所減少。雙層復(fù)形法第1層以3個(gè)復(fù)形來搜索，擴(kuò)大了搜索范圍，當(dāng)這3個(gè)復(fù)形最后收縮結(jié)果較為相近時(shí)，說明這個(gè)點(diǎn)是全局最優(yōu)的可能性更大，反之則可防止某個(gè)復(fù)形陷入局部最優(yōu)；第2層復(fù)形點(diǎn)由第1層復(fù)形點(diǎn)的優(yōu)化結(jié)果形成，所以在20次優(yōu)化之后，3個(gè)復(fù)形過程變?yōu)?個(gè)，這樣就減小了由于初始復(fù)形點(diǎn)的隨機(jī)性帶來的影響，增強(qiáng)了復(fù)形法計(jì)算的穩(wěn)定性。

圖 6 迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)系

4 結(jié) 語

水工結(jié)構(gòu)體積大、造價(jià)高，合理的優(yōu)化可以節(jié)省造價(jià)。復(fù)形法簡(jiǎn)單可靠、理論成熟、應(yīng)用廣泛，是一種很好的水工結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。本研究對(duì)復(fù)形法進(jìn)行了改進(jìn)，并且應(yīng)用Matlab進(jìn)行了優(yōu)化程序設(shè)計(jì)，程序具有較高的冗余度。由重力壩斷面實(shí)例優(yōu)化結(jié)果可知，雙層復(fù)形法具有更高的搜索效率以及更強(qiáng)的計(jì)算穩(wěn)定性，該算法可應(yīng)用于水工結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，為重力壩的斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了重要的參考。

本研究計(jì)算實(shí)例的優(yōu)化過程相對(duì)簡(jiǎn)單，當(dāng)遇到復(fù)形點(diǎn)更多、約束條件更復(fù)雜的問題時(shí)，應(yīng)能更顯著地反映出改進(jìn)方法的優(yōu)勢(shì)。

值得指出的是，針對(duì)較為復(fù)雜的優(yōu)化問題，可以嘗試擴(kuò)大第1層復(fù)形的個(gè)數(shù)，來增大搜索全局最優(yōu)的概率，亦可以研究收縮系數(shù)對(duì)優(yōu)化過程的影響，或許可以更有效地找到全局最優(yōu)結(jié)果。

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Optimization of gravity dam section based on double-layer complex method

LI Bin1,YANG Jie1,2

(1InstituteofWaterResourcesandHydro-ElectricEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an,Shaanxi710048,China；2StateKeyLaboratoryBaseofEco-HydraulicEngineeringinAridArea,Xi’an,Shaanxi710048,China)

【Objective】 Optimization algorithm of gravity dam section design was researched to decrease the cross-section area and optimize the body of gravity dams. 【Method】 Based on the complex method,the contraction steps of searching feasible points under all constraints were simplified for the decrease of calculation times.Then,a double-layer optimization structure was constructed,i.e.the optimization results of the first layer were used as the initial points of the second layer.Complex method was used again for optimization and a gravity dam was optimized as an example.【Result】 All section characteristic parameters met the requirements after optimization,the cross-section area was reduced by 15.97% and the body was thinner.The dam stress distribution of upstream and downstream face were more reasonable.【Conclusion】 Compared with the complex method,double-complex method had higher stability and faster convergence rate,and it can be applied to optimization design of large-volume,complex hydraulic structures.

hydraulic structure;concrete gravity dam;optimization design;double-layer complex method

時(shí)間:2016-10-09 10:08

10.13207/j.cnki.jnwafu.2016.11.033

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1390.S.20161009.1008.066.html

2015-04-30

陜西省重點(diǎn)科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(2013KCT-015)；西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(106-221210)

李 斌(1989-)，男，陜西西安人，在讀碩士，主要從事水工結(jié)構(gòu)與安全監(jiān)控研究。E-mail：libin_1999@163.com

楊 杰(1971-)，男，四川大邑人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事水工結(jié)構(gòu)、水庫大壩安全及除險(xiǎn)加固研究。 E-mail：lgdajs@163.com

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1671-9387(2016)11-0228-07