趙軍

學(xué)實(shí)數(shù)，悟思想

趙軍

一、分類思想

例1若x是16的平方根，則5-x的平方根是____.

【解析】因?yàn)閤=±4.所以①當(dāng)x=4時(shí)，5-x=1，其平方根是±1；②當(dāng)x=-4時(shí)，5-x=9，其平方根是±3.故5-x的平方根是±1或±3.

【變式練習(xí)】若||x-7=5，則x的值為_____.

【思路點(diǎn)撥】絕對(duì)值等于5的數(shù)有兩個(gè)，分別是5和-5，所以要分兩種情況求解.

【方法歸納】情況不明，分類在前.

二、類比思想

【解析】任何非0實(shí)數(shù)的0次冪等于1，非0實(shí)數(shù)的負(fù)指數(shù)冪的結(jié)果只需要“底倒指反”（“底倒指反”是指底數(shù)改寫成它的倒數(shù)，指數(shù)改寫成它的相反數(shù)）.原式=

【變式練習(xí)】觀察下列等式，回答問題：

【方法歸納】（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任何數(shù)都可進(jìn)行開立方運(yùn)算，任何非負(fù)數(shù)都可進(jìn)行開平方運(yùn)算，類比有理數(shù)的相關(guān)知識(shí)，去理解無理數(shù)、實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)；（2）遇到規(guī)律問題要有序觀察，采用各個(gè)擊破的方法找規(guī)律.

三、整體思想

例3求各式中x的值.（1）25（x-2）2-36=0；（2）-（x+3）3=27.

【解析】第（1）題中把x-2視為一個(gè)整體，先求出（x-2）2的值，再開平方根求出（x-2）的值，

【思路點(diǎn)撥】先注意觀察兩個(gè)根式，其被開方數(shù)分別是2x-5和5-2x，它們互為相反數(shù)，且被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)，故可列出不等式組，求出x的值，然后得到y(tǒng)的值，最終求出2xy的值.

【方法歸納】解決問題時(shí)，要把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，整體思考問題，這樣往往能使問題的解答簡(jiǎn)潔明快.在考慮問題時(shí)，我們要有一種宏觀思維和大局意識(shí).

四、轉(zhuǎn)化思想

【解析】可將兩個(gè)數(shù)分別平方，減少根號(hào)的個(gè)數(shù)，盡量把無理向有理轉(zhuǎn)化，然后去掉相同

【變式練習(xí)】如圖1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3、4、5，求其表面上點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離.

圖1

圖2

【思路點(diǎn)撥】這是立體圖形表面上的最值問題，解題思路應(yīng)考慮將其展開，得到平面圖形后求兩點(diǎn)之間的距離.如圖2，展開后在RtΔABC中，求得點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離為74.

【方法歸納】把復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化是我們解決問題的一種思維方式.一般而言，無理問題要向有理問題轉(zhuǎn)化，立體問題要向平面問題轉(zhuǎn)化.通過轉(zhuǎn)化，達(dá)到陌生問題熟悉化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的目的.

五、逼近思想

A.段①B.段②C.段③D.段④

【解析】本題以數(shù)軸上的點(diǎn)為問題背景，考查了同學(xué)們對(duì)無理數(shù)的估算能力.解答本題的關(guān)鍵在于先估算8在哪兩個(gè)數(shù)的平方之間，再確定在哪兩個(gè)數(shù)之間.對(duì)照數(shù)軸上的數(shù)字，分別計(jì)算出它們的平方：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9.∵7.84＜8＜8.41，∴的點(diǎn)落在段③.

A.0＜m＜1B.1＜m＜2

C.2＜m＜3D.3＜m＜4

【方法歸納】對(duì)無理數(shù)，尤其是根式的比較大小、確定范圍，通常要先進(jìn)行“無理”化“有理”這樣一個(gè)過程，通過平方，達(dá)到“逼近”的目的，從而估算出其范圍.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市新街鎮(zhèn)中學(xué)）

責(zé)任編輯：沈紅艷見習(xí)編輯：李詩(shī)

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