陸久元

排列、組合的性質(zhì)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)知識(shí)模塊，在高考中占有特殊的位置，常以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，主要涉及對(duì)排列式或組合式的化簡(jiǎn)、求值、證明，有時(shí)也結(jié)合函數(shù)、方程、不等式以及二項(xiàng)式定理進(jìn)行綜合考查.本文從排列、組合的基本性質(zhì)入手，列舉與性質(zhì)相關(guān)的幾種常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題，僅供參考.

化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題

例1 設(shè)[x∈N*]，求[f（x）=Cx-12x-3+C2x-3x+1]的值.

解析 由題意得，[2x-3≥x-1，x+1≥2x-3，] 即[2≤x≤4].

[∵x∈N*]，[∴x=2，或x=3，或x=4].

∴當(dāng)[x=2]時(shí)，[f（x）=f（2）=4].

當(dāng)[x=3]時(shí)，[f（x）=f（3）=7].

當(dāng)[x=4]時(shí)，[f（x）=f（4）=11].

綜上知，[f（x）]的值為4，或7，或11.

點(diǎn)撥 對(duì)于組合數(shù)[Cmn]，要注意[n≥m]這一隱含條件. 此例要先求出變量[x]滿(mǎn)足的條件，進(jìn)而求出[x]的值，最后求出代數(shù)式[f（x）]的值.

例2 計(jì)算：（1）[C210+C310+C410+…+C1010]；

（2）[C22+C23+C24+…+C210]；

（3）[A22+A23+A24+…+A210].

解析 （1）原式=[210-（C010+C110）=1013].

（2）原式=[C33+C23+C24+…+C210]=[C34+C24+…+C210]

=[C35+C25+…+C210]=…=[C311]=165.

（3）原式=[A22?（C22+C23+C24+…+C210）]=[A22?C311]=330.

點(diǎn)撥 對(duì)于（1）式，利用性質(zhì)[C0n+C1n+C2n+…+Cnn][=2n]，采取添項(xiàng)消項(xiàng)法.對(duì)于（2）式，將[C22]巧妙換成[C33]，再利用性質(zhì)[Cmn+1=Cmn+Cm-1n]逐項(xiàng)化簡(jiǎn).對(duì)于（3）式，利用性質(zhì)[Amn=Cmn?Amm]能迅速求值.此例技巧性較強(qiáng)，熟練掌握公式及應(yīng)用（正用、逆用、變用）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例3 求值：（1）[C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn]；

（2）[C02n-3C12n+9C22n-…+-32nC2n2n].

解析 （1）設(shè)[S=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn] ①，

∵[Ckn=Cn-kn]，

∴[S=nCnn+n-1Cn-1n+…+3C3n+2C2n+C1n]，

=[nC0n+n-1C1n+…+3Cn-3n+2Cn-2n+Cn-1n] ②.

①+②得，[2S=nC0n+nC1n+…+nCn-1n+nCnn]

=[nC0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn]=[n?2n]，

所以[S=12n?2n=n?2n-1].

（2）由于[a+b2n=C02na2n+C12na2n-1b+…+C2n2nb2n]，在此式中令[a=1，b=-3，]

則[1-32n=C02n?12n+C12n-3+C22n-32+…]

[+C2n-12n-32n-1+C2n2n-32n]

=[C02n-3C12n+9C22n-…+-32nC2n2n]，

故[C02n-3C12n+9C22n-…+-32nC2n2n=4n].

點(diǎn)撥 （1）因?yàn)閇Ckn=Cn-kn]，而系數(shù)的順序與組合數(shù)中取出的元素?cái)?shù)相同，故可利用等差數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式的證明方法——倒序相加法來(lái)求解. 另外由于[kCkn=nCk-1n-1]，故本題也可用轉(zhuǎn)化通項(xiàng)法來(lái)解.

（2）對(duì)于一個(gè)組合數(shù)數(shù)列[Ckn]和一個(gè)等比數(shù)列[ak]，它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積的和往往可以利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，在等式兩邊賦予[a，b]適當(dāng)?shù)闹祦?lái)解.

解方程、證明恒等式問(wèn)題

例3 已知[C2x25=Cx+725]，求[x]的值.

解析 由題意得，[2x=x+7]，或[25-2x=x+7]，即[x=7]，或[x=6].

經(jīng)檢驗(yàn)，[x=7]，或[x=6]即為所求.

點(diǎn)撥 形如[Cf（x）n=Cg（x）n]的方程，可利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為[f（x）=g（x）]或[f（x）+g（x）=n]求解，但需注意[f（x）≤n]，且[g（x）≤n].

例4 解方程組：[Cy+1x=52x，Cyx-1=10.]

解析 原方程組化為

[x?。▂+1）！?（x-y-1）！=52x，（1）（x-1）！y！?（x-y-1）！=10，（2）]

由（2）[÷]（1）得，[y+1=4]，即[y=3]. （3）

將（3）代入[（2）]得，[（x-1）（x-2）（x-3）=60=5×4×3]，故[x=6].

故原方程組的解為[x=6，y=3.]

點(diǎn)撥 對(duì)于含排列數(shù)或組合數(shù)的方程和恒等式，既可以利用定義式求解，也可利用排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)巧妙達(dá)到目的.除此之外，在化簡(jiǎn)的過(guò)程中還需用到一些運(yùn)算技巧，如相除、相乘、代入等方法.

例5 求證：[1+12C1n+]…[+1n+1Cnn=][1n+12n+1-1.]

證明：∵[1k+1Ckn=1k+1?n！k！?（n-k）！]

[=1n+1?（n+1）?。╧+1）！?[（n+1）-（k+1）]！][=1n+1Ck+1n+1，]

∴[Cknk+1=Ck+1n+1n+1].

令k=0，1，2，…，n，則有

[1=1n+1C1n+1，][12C1n=1n+1C2n+1，][13C2n=1n+1C3n+1，]…，[1n+1Cnn=1n+1Cn+1n+1.]

將以上各式左右兩邊分別相加得，

[1+12C1n+13C2n+]…[+1n+1Cnn=1n+1（C1n+1+C2n+1+]…[+Cn+1n+1）]= [1n+12n+1-1].

點(diǎn)撥 本題中各項(xiàng)組合數(shù)的系數(shù)是不同的，通常是轉(zhuǎn)化通項(xiàng)（通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法）使其組合數(shù)的系數(shù)化為相同，然后再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或組合數(shù)的性質(zhì)求解.

與不等式相關(guān)的問(wèn)題

例6 （1） 解不等式：[Ax9>6Ax-29]；

（2）若[Cm-18>3Cm8]，求[m]的值.

解析 （1）由不等式可得，[0≤x≤9，0≤x-2≤9，9！（9-x）！>6?9?。?-x+2）！，]

其中[x∈N]，

即[0≤x≤9，2≤x≤11，（11-x）?（10-x）>6，]∴[2≤x<8]（[x∈N]）.

[∴x=2，3，4，5，6，7].

故原不等式的解集為[{2，3，4，5，6，7}].

（2）由題意得，[8?。╩-1）！（9-m）！>3?8！m！（8-m）！]，

即[m>3（9-m）]，∴[m>274].

又[∵0≤m-1≤8，0≤m≤8，]且[m∈N]，于是，[m=7]或[m=8].

點(diǎn)撥 關(guān)于排列組合數(shù)不等式問(wèn)題，一般先運(yùn)用公式將組合數(shù)或排列數(shù)“展開(kāi)”，然后運(yùn)用階乘的性質(zhì)（如[n！=n?（n-1）！]）約分化簡(jiǎn)，最后得到一個(gè)熟知的一次或二次不等式進(jìn)行求解.

排列組合的性質(zhì)是排列組合內(nèi)容的重要組成部分，雖然是選修內(nèi)容，但在不等式、方程、二項(xiàng)式定理以及概率中都有重要應(yīng)用.學(xué)好本節(jié)內(nèi)容首先要理解排列組合的性質(zhì)的含義，然后掌握一些組合數(shù)排列數(shù)的計(jì)算技巧（如化簡(jiǎn)、求和等），最后在解題的過(guò)程中注意題目中的隱含條件和細(xì)節(jié)，相信只要抓住這三點(diǎn)，勤加練習(xí)，學(xué)好本節(jié)內(nèi)容并不困難.