鄭海青， 郭爭爭， 王智劍

(石家莊鐵道大學 電氣與電子工程學院，河北 石家莊 050043)

?

一類具有扇區(qū)和斜率約束的復雜動態(tài)網絡的同步

鄭海青， 郭爭爭， 王智劍

(石家莊鐵道大學 電氣與電子工程學院，河北 石家莊 050043)

針對具有扇區(qū)約束和斜率約束條件的非線性Lur’e系統(tǒng)組成的復雜動態(tài)網絡，研究其同步問題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論，采用靜態(tài)誤差反饋控制方法實現被控網絡的同步。利用非線性函數的凸集性質，將非線性項描述為在扇區(qū)約束和斜率約束范圍內的凸組合函數，以便使等式約束條件變?yōu)椴坏仁郊s束條件。求出的反饋增益矩陣可由LMI的可行解給出。最后，通過數值例子驗證了所提方法的有效性。

復雜動態(tài)網絡；同步；Lur’e系統(tǒng)；反饋控制器

0 引言

許多實際系統(tǒng)都可以用動態(tài)復雜網絡加以描述[1-2]。同步是在復雜物理、化學和生物系統(tǒng)的控制中一個非常重要的過程。同步現象是復雜網絡的典型動力學行為，同步在工程領域有著廣泛的應用，如保密通信及諧波振蕩器的產生。Lur’e系統(tǒng)是一類非常重要的非線性系統(tǒng)，其非線性滿足一定的約束條件。由Lur’e系統(tǒng)構成的復雜動態(tài)網絡的同步已經獲得了很多研究人員的關注，文獻[3]提出了不確定Lur’e系統(tǒng)的參數辨識和非線性控制器的設計技術，文獻[4]提出了線性反饋控制器設計技術在混沌同步中的應用，文獻[5]提出了時滯狀態(tài)反饋的同步條件并分析了時滯的影響，這些同步條件均未考慮到非線性斜率限制。然而，現實中存在的一大類非線性系統(tǒng)同時滿足扇區(qū)約束條件和斜率約束條件，以往研究者們針對具有扇區(qū)約束的非線性系統(tǒng)，研究其同步的成果很多，而具有斜率約束的非線性系統(tǒng)的同步研究結論卻很少，此外，利用斜率約束條件，可以降低同步判據的保守性。

本文提出了具有扇形區(qū)域限制和斜率約束條件的非線性Lur’e型復雜網絡的同步方案。所提出的同步技術基于線性靜態(tài)誤差控制。通過求解Lur’e型動力學系統(tǒng)誤差絕對穩(wěn)定條件，結合扇區(qū)限制和斜率限制的非線性條件以及Lyapunov穩(wěn)定性條件。將等式約束條件轉變?yōu)榫哂写硇缘纳刃螀^(qū)域和斜率限制的非線性凸函數。通過LMI技術求得反饋誤差增益矩陣，最后，數值分析表明該方法的有效性。

1 預備知識

考慮如下由N個恒等節(jié)點構成的耦合復雜網絡，每個節(jié)點都可用一個Lur’e系統(tǒng)來表示，其狀態(tài)方程可描述為

式中，xi(t)表示狀態(tài)變量；A∈Rn×n，B∈Rn×m；C∈Rm×n為常數矩陣；yi(t)∈Rm是系統(tǒng)輸出；D∈Rn×n為已知的常數對稱矩陣，表示網絡的內部耦合矩陣；G=(gij)∈RN×N表示網絡的外部耦合矩陣，其滿足如下條件：如果從節(jié)點i到節(jié)點j(i≠j)之間有聯系，則gij≠0，否則gij=0，對角線元素定義為

f(·)為一非線性向量值函數，記為

并且，fl(·)(l=1,2,…,m)滿足以下的扇區(qū)約束條件和斜率約束條件

式中，yil(t)是系統(tǒng)的輸出；bl和al分別是扇區(qū)約束的下限和上限；βl和αl分別是其斜率約束的下限和上限。

2 Lur’e型復雜動態(tài)網絡的同步判據

同步控制的目標是找到一個控制器ui(t)使得被控網絡(1)的解完全同步于s(t)?？紤]網絡上每個結點都加上控制器，則被控復雜網絡描述如下

式中，ui∈Rn表示反饋控制輸入且ui=K(xi-s)，K為靜態(tài)誤差反饋控制器的增益矩陣。

采用Kronecker積的形式，被控復雜網絡動態(tài)系統(tǒng)可改寫為

式中

M1=IN?A；M2=IN?B；M3=IN?Bu；y=Hx；H=IN?C；K1=IN?K。

得到誤差動態(tài)系統(tǒng)為

式中，η(He;S)=F(ye+ys)-F(ys),ye=(ye11,…,ye1m,…,yeNl,…,yeNm)T。

根據式(2)，可以建立關于非線性函數fl(yil)-fl(ysl)的不等式

根據誤差向量的定義，得到

式中，Δl屬于凸集Co{βl,αl}的元素。

接下來，為了推導方便，做以下定義：

因此，非線性函數F(y)-F(ys)和F′(y)-F′(ys)可以寫為

根據式(10)，可以得到Lur’e型復雜網絡的同步判據。

命題1：若存在對稱正定矩陣Q11∈Rn×n，Q22∈Rm×m和矩陣?！蔙m×m，X∈Rm×m，Y∈Rm×m，Z∈Rm×n，r∈Rr×n使得如下矩陣不等式成立

式中，

Ω3=(A+λiD)Q11+BuΥ+((A+λiD)Q11+BuΥ)T。

則選取的Lyapunov函數的導數為

根據式(10)，可以得到下列等式

將式(15)加到式(14)的左側，得到

為了簡單起見，定義

不等式(16)的左邊分別左乘和右乘M和MT，得到

式中,

3 數值仿真

本小節(jié)通過一組相互耦合的蔡氏電路來驗證上述理論分析的有效性。網絡的狀態(tài)方程描述為

式中，

f(y)=g(V1)-Ga1V1=0.415 9V1-0.208 0[|V1+1|-|V1-1|]。

內部耦合矩陣D和外部耦合矩陣G分別取為

圖1～圖3是在所設計的控制器的作用下，被控網絡(20)的狀態(tài)響應曲線。可以看出，經過一段時間，系統(tǒng)的狀態(tài)軌線趨于平衡點，即整個網絡實現了同步。

圖1 狀態(tài)的變化曲線

圖2 狀態(tài)的變化曲線

圖3 狀態(tài)的變化曲線

4 結論

本文研究了具有扇區(qū)約束和斜率約束的Lur’e系統(tǒng)構成的復雜網絡的同步控制問題。與先前的同步控制方法不同，本文運用凸組合技術，將非線性性質通過等式約束條件來表示。基于Luapunov穩(wěn)定性定理和非線性函數的凸約束性質，設計靜態(tài)誤差反饋控制器，得到使網絡同步的充分條件。相應的控制增益可以通過MATLAB中的LMI工具箱得出，最后通過蔡氏電路來驗證所設計的控制器的有效性。

[1]秦孝敏.基于復雜網絡的城際鐵路網絡脆弱性分析[J].石家莊鐵道大學學報：自然科學版,2014(4):82-85,89.

[2]黃樹明.基于復雜網絡理論的客運專線網絡可靠性分析[J].石家莊鐵道大學學報：自然科學版,2012(2):85-89.

[3] Wu X, Lu J. Parameter identification and back stepping control of uncertain Lu system [J]. Chaos Solitons Fractals , 2003, 18(4):721-729.

[4] Liao X X, Chen G R. On feedback-controlled synchronization of chaotic systems[J]. International Journal of Systems Science, 2003, 34 (7): 453-461.

[5] Moon Y M , Park P, Kwon W H, et al .Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems [ J] .International Journal of Control , 2001,74 (14):1447-1455.

Synchronization of Complex Dynamical Networks with Sector and Slope Restrict

Zheng Haiqing, Guo Zhengzheng, Wang Zhijian

(School of Electrical and Electronic Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

The problem of global synchronization is studied for a class of complex dynamical networks, where each node is a general Lur’e system with sector and slope restricted nonlinearities. A static error feedback controller based on the Lyapunov stability theory is proposed for its synchronization. The nonlinearities are expressed as convex combinations of sector and slope bounds by using convex properties of the nonlinear function so that equality constraints are converted into inequality constraints. Then, the feedback gain matrix is derived through a feasible solution of LMI. Finally, a numerical example shows the effectiveness of the proposed method.

complex dynamical network; synchronization; Lur’e system; feedback controller

2015-04-28 責任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.02.20

鄭海青(1983-),女,博士,講師，主要研究方向為復雜網絡同步與控制。E-mail:80496225@qq.com

TP13

A

2095-0373(2016)02-0102-05

鄭海青，郭爭爭 ，王智劍.一類具有扇區(qū)和斜率約束的復雜動態(tài)網絡的同步[J].石家莊鐵道大學學報:自然科學版,2016,29(2):102-106.