李星云

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，圖形是其主要表現(xiàn)形式。幾何直觀是以圖形為研究對(duì)象進(jìn)行思考和想象的一種能力，是“圖形與幾何”的核心目標(biāo)。除此之外，幾何直觀也滲透在數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等領(lǐng)域。數(shù)學(xué)知識(shí)具有“數(shù)”與“形”的雙重特征，如函數(shù)、度量、解析幾何等。只有從數(shù)、形兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，才能更好地理解和把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而幾何直觀就是從“形”的角度展示數(shù)學(xué)。學(xué)生憑借幾何直觀能力，不僅能夠輕松地從運(yùn)動(dòng)和變換的角度研究和學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，而且可以利用圖形研究代數(shù)等其他領(lǐng)域的問(wèn)題。因此，可以說(shuō)，幾何直觀是研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具，也是一種基本能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）給出了幾何直觀的定義，并在不同領(lǐng)域?qū)缀沃庇^都提出了相應(yīng)的要求，數(shù)學(xué)教師必須深刻理解幾何直觀的內(nèi)涵、意義，并思考如何在教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

一、幾何直觀的內(nèi)涵

幾何直觀包括“幾何”和“直觀”。幾何指的是圖形；直觀包括兩層含義，一是直接觀察到的事物，二是根據(jù)觀察到的事物進(jìn)行想象、思考和綜合。由此可知，幾何直觀的含義是：根據(jù)直接觀察到的圖形進(jìn)行想象、思考和綜合。[1]直觀是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定義、關(guān)系等內(nèi)容的直接感知和把握。與直覺(jué)不同的是，直觀需要以邏輯作為支撐，是人在后天學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中慢慢積累而成的?！稑?biāo)準(zhǔn)》針對(duì)幾何直觀的作用作出了解釋性說(shuō)明：幾何直觀通過(guò)圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，探究解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。[2]

實(shí)物直觀、圖形直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀和替代物直觀是小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何直觀的四種主要表現(xiàn)形式。[3]實(shí)物直觀指的是以實(shí)物為依托的幾何直觀能力。與其他類型相比，實(shí)物直觀是生活中現(xiàn)實(shí)存在的，能夠比較直觀地表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系。比如，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)的數(shù)時(shí)，可以借助小棒來(lái)理解十進(jìn)制的含義，小棒就是實(shí)物直觀。簡(jiǎn)約符號(hào)直觀是借助抽象或簡(jiǎn)約的符號(hào)來(lái)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，如行程問(wèn)題中的線路圖。圖形直觀是指利用幾何圖形的直觀能力，比如，圖1巧妙地運(yùn)用了3個(gè)矩形面積的關(guān)系解釋乘法分配率的公式：a（b+c）=ab+ac。替代物直觀是實(shí)物直觀、圖形直觀和簡(jiǎn)約符號(hào)直觀的綜合，“替代物”既可以是具體實(shí)物、幾何圖形，也可以是抽象的符號(hào)，如分?jǐn)?shù)的除法可以利用線段圖和符號(hào)進(jìn)行直觀理解。

綜上所述，圖形不僅是數(shù)學(xué)重點(diǎn)研究的對(duì)象，而且是數(shù)學(xué)研究的得力工具。合理運(yùn)用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，一方面可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)對(duì)象，幫助學(xué)生理解和記憶，另一方面可以幫助學(xué)生找到更為直觀的解決方法。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力就是要訓(xùn)練學(xué)生利用圖形解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從“形”的視角思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

二、幾何直觀的教育價(jià)值

（一）化繁為簡(jiǎn)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)相對(duì)于其他學(xué)科來(lái)說(shuō)，抽象性和邏輯性比較強(qiáng)，學(xué)生對(duì)新事物的認(rèn)知主要依賴具體的實(shí)物，再加上小學(xué)生的認(rèn)知水平處于具體運(yùn)算階段逐漸向形式運(yùn)算階段轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵期，因而學(xué)好數(shù)學(xué)的難度比較大。如果利用直觀形象的背景以及幾何圖形，在抽象知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題之間架起橋梁，那么復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題就會(huì)變得一目了然，學(xué)生也易于理解，進(jìn)而逐步增強(qiáng)解答難題的信心，并從中體會(huì)到學(xué)習(xí)的愉悅和數(shù)學(xué)的美感，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。

例如，貨車和客車分別同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次相遇地點(diǎn)離甲地85千米。相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后立刻返回，第二次相遇地點(diǎn)離乙地15千米，求甲、乙兩地間的距離。該題是兩個(gè)行程問(wèn)題的綜合，對(duì)于初次接觸該題型的學(xué)生而言，幾乎不可能一步到位得出答案。教師若利用線段圖（見(jiàn)圖2）就能對(duì)行程過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)直觀的描述，降低題目的難度，學(xué)生就能夠抓住行程過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)，即客車行駛的路程是甲、乙兩地距離的3倍，所用的時(shí)間是貨車所用時(shí)間的3倍。

（二）深化理解，訓(xùn)練邏輯推理能力

教師利用合適的幾何模型、圖形對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行描述和解釋，有利于打開(kāi)學(xué)生的思路，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，透徹理解數(shù)學(xué)問(wèn)題。幾何直觀利用圖形或模型對(duì)數(shù)學(xué)概念、定義和公式進(jìn)行直觀的演繹和推導(dǎo)，使分析問(wèn)題的過(guò)程變得更加顯性、清晰，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力。

例如，盈虧問(wèn)題是小學(xué)階段的重要題型之一，雖然已經(jīng)有成型的公式可以套用，只要學(xué)生能夠判斷出屬于哪一種類型便可輕松得出答案，但是要讓學(xué)生真正理解盈虧問(wèn)題的實(shí)質(zhì)卻并不容易，對(duì)此，教師可以利用幾何直觀進(jìn)行解釋分析。舉例如下：開(kāi)學(xué)初，某班組織幾名學(xué)生搬書，若每人搬18本，還有2本沒(méi)有人搬；若每人搬20本，有1名同學(xué)不用搬。請(qǐng)問(wèn)一共有幾名同學(xué)去搬書？教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖的形式，對(duì)該題進(jìn)行直觀的描述，讓學(xué)生能夠輕松地理解幾個(gè)變量之間的關(guān)系。如圖3所示，書的總數(shù)和搬書的人數(shù)固定不變，實(shí)線線段表示書的總數(shù)，這樣，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)前后兩次分配的差（20+2=22）是由于每個(gè)人多搬了2本書所導(dǎo)致，從而可以直接得出答案是11個(gè)人。

（三）提升綜合能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

已有的腦科學(xué)研究成果顯示：人的左腦主要進(jìn)行抽象思維，對(duì)遇到的問(wèn)題進(jìn)行邏輯分析和運(yùn)算；而右腦則負(fù)責(zé)形象思維，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行直觀形象的分析。只有左右腦協(xié)調(diào)工作時(shí)，才能成功地解決問(wèn)題。因此，學(xué)生憑借直觀形象的載體解決實(shí)際問(wèn)題，也是對(duì)右腦的開(kāi)發(fā)和利用。在一定程度上，想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力是無(wú)限的。從本質(zhì)上來(lái)看，幾何直觀是利用圖形進(jìn)行想象的一種能力，它不僅有助于學(xué)生深入理解問(wèn)題，而且能夠從中找到巧妙的解決方法。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行描述和分析，讓學(xué)生嘗試采用數(shù)形結(jié)合的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例如，通過(guò)操作、觀察和想象，學(xué)生知道將長(zhǎng)方形進(jìn)行平行移動(dòng)能夠得到長(zhǎng)方體，將長(zhǎng)方體旋轉(zhuǎn)一周能夠得到圓柱體。因此，在圖形與幾何領(lǐng)域，借助幾何直觀，學(xué)生能夠知道點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的事實(shí)。同時(shí)，教師還可以讓學(xué)生嘗試將自己喜歡的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，想象并設(shè)計(jì)出各種立體圖形。學(xué)生在不斷的嘗試和探索過(guò)程中，能夠逐漸提高解決問(wèn)題的能力，形成創(chuàng)新的意識(shí)。

三、幾何直觀能力的培養(yǎng)策略

幾何直觀在圖形與幾何中發(fā)揮著重要的作用，推動(dòng)著其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。圖形是幾何直觀的研究對(duì)象與工具，這使得其貫穿于整個(gè)圖形與幾何領(lǐng)域，學(xué)生不僅需要認(rèn)識(shí)各種圖形及其性質(zhì)，還需要了解圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等變換運(yùn)動(dòng)，讓幾何圖形學(xué)“動(dòng)”起來(lái)是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的有效途徑。在相對(duì)抽象的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，幾何直觀的運(yùn)用可以將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象和關(guān)系變得顯性化，因此，尋找數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀模型是該領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生直觀能力的重要措施。在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域，教師利用直觀材料進(jìn)行教學(xué)，能夠幫助學(xué)生在理解統(tǒng)計(jì)過(guò)程與統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)上形成數(shù)據(jù)分析觀念。在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，在具體的問(wèn)題解決活動(dòng)中，教師可以借助實(shí)物直觀培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力是圖形與幾何的教學(xué)目標(biāo)之一，而幾何直觀能力又是影響中小學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的重要因素，教師必須重視。在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，教師可從以下幾個(gè)方面入手。

（一）深刻理解幾何直觀的內(nèi)涵

有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力關(guān)鍵在于兩點(diǎn)。第一，教師對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)及把握程度。在教學(xué)中，教師關(guān)于幾何直觀的知識(shí)儲(chǔ)備量以及把控能力，直接影響著學(xué)生對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)和掌握。第二，教師要具有主動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識(shí)，善于挖掘?qū)W生的幾何直觀潛質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

例如，彩繩每米售價(jià)2.5元，購(gòu)買2米、3米、4米……8米彩繩分別需要多少元？對(duì)于熟練掌握小數(shù)乘以整數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這道題目并不難。當(dāng)然，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生用圖像說(shuō)話，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，比如利用圖像估計(jì)購(gòu)買彩繩所花費(fèi)的金額，為學(xué)習(xí)正比例關(guān)系做好鋪墊。如果教師不具備培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的意識(shí)，只是讓學(xué)生用乘法尋求答案，那么就無(wú)法充分挖掘這道題目蘊(yùn)含的深層價(jià)值。教師如果具備豐富的幾何直觀知識(shí)，在備課時(shí)就會(huì)考慮幾何直觀的教育功能，主動(dòng)挖掘教材或教學(xué)參考書中可以利用的素材，并在教具的選擇和習(xí)題的安排上充分發(fā)揮幾何直觀的教育功能。

（二）引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣

良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。圖形是幾何直觀重要的研究對(duì)象與工具，學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是培養(yǎng)幾何直觀能力的基礎(chǔ)。小學(xué)生自制力比較差，注意力容易分散，教學(xué)中教師培養(yǎng)學(xué)生畫圖的習(xí)慣，既能夠讓學(xué)生集中注意力，又能夠提高學(xué)生的繪圖技能和動(dòng)手能力，并在動(dòng)手操作中體會(huì)幾何直觀的價(jià)值。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生盡可能地通過(guò)動(dòng)手畫圖來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生畫圖的過(guò)程可以將頭腦中抽象的思維方式和思考過(guò)程變得圖形化、直觀化，使思考過(guò)程更加清晰、有條理。畫圖不僅可以在解決具體問(wèn)題時(shí)運(yùn)用，當(dāng)學(xué)習(xí)完一個(gè)單元或整個(gè)章節(jié)的內(nèi)容后，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)脠D形對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，將知識(shí)間的脈絡(luò)體系進(jìn)行整理，提高對(duì)知識(shí)的整體把握能力。

例如，教師在教學(xué)時(shí)可以利用知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖，幫助學(xué)生厘清知識(shí)間的聯(lián)系。小學(xué)高年級(jí)學(xué)生已經(jīng)初步了解三視圖，會(huì)從正面、左面和上面判斷圖形的特征并選出相應(yīng)的圖形，有時(shí)還能夠繪制出簡(jiǎn)單的圖形，這樣不僅加深了對(duì)三視圖的認(rèn)識(shí)，還提高了畫圖能力。

（三）尋找數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀模型

小學(xué)生抽象思維水平較低，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)離不開(kāi)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物，比如，一個(gè)蘋果對(duì)應(yīng)1，兩根香蕉對(duì)應(yīng)2。當(dāng)學(xué)生開(kāi)始接觸數(shù)時(shí)，教師可以使用點(diǎn)子圖和具體的事物（如小棒、積木條）幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)。在小學(xué)低年級(jí)階段，教師應(yīng)用直觀模型可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。比如，在方格中放一些圓點(diǎn)，一個(gè)圓點(diǎn)代表一個(gè)元素，一個(gè)方格代表一個(gè)集合，整數(shù)的加減運(yùn)算就可以通過(guò)圓點(diǎn)的增加或減少來(lái)實(shí)現(xiàn)。

例如，為了解釋5×6=30的算理，教師可以利用方格直觀展示，把兩個(gè)方格的點(diǎn)排成5行6列的矩陣形式。再如，學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、圓柱等立體圖形時(shí)，教師可以引入生活事例，也可以引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中哪些對(duì)象是已經(jīng)學(xué)過(guò)的幾何圖形，并讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)。除了上課時(shí)準(zhǔn)備的直觀教具，教師還可以利用多媒體展示更為復(fù)雜的直觀模型，如球體的形成過(guò)程或立體圖形的切面展示。在統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，教師可以通過(guò)直觀模型呈現(xiàn)問(wèn)題的背景，如利用小圓片代替教材中的礦泉水瓶、套圈等，幫助學(xué)生直觀理解平均數(shù)的含義。

（四）引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個(gè)角度理解數(shù)學(xué)

很多數(shù)學(xué)內(nèi)容具有數(shù)與形的雙重特征。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想與方法，解題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生需要對(duì)所學(xué)知識(shí)與技能具有貫通式的認(rèn)識(shí)與理解。因此，教師有必要培養(yǎng)學(xué)生具備數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)，讓學(xué)生能夠從數(shù)與形兩個(gè)方面理解數(shù)學(xué)。

例如，在小學(xué)階段，學(xué)生初步接觸正比例函數(shù)。與中學(xué)階段不同的是，小學(xué)階段只是從有限的自變量認(rèn)識(shí)正比例關(guān)系，因而教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出其中一部分正比例函數(shù)的圖像，并嘗試?yán)脠D像解決問(wèn)題。相反，在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域，當(dāng)需要學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行解釋時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將圖中的信息轉(zhuǎn)化成數(shù)據(jù)再進(jìn)行分析。

（五）重視幾何圖形的變換

發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力是圖形與幾何的核心教學(xué)目標(biāo)之一。重視幾何圖形的變換是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力最有效的途徑，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)或圖形的變換，才能真正把握?qǐng)D形的性質(zhì)。[4]小學(xué)生接觸的基本圖形幾乎都是對(duì)稱的，如長(zhǎng)方形、圓、長(zhǎng)方體等，但基本圖形可以通過(guò)變換或運(yùn)動(dòng)得到更多不同的圖形。

例如，長(zhǎng)方形通過(guò)變換得到平行四邊形，三角形通過(guò)變換和平移可以得到平行四邊形。圖形的變換不僅是幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，還是研究其他圖形的工具，教師應(yīng)當(dāng)充分利用圖形的變換，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解圖形的性質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系。

（六）加強(qiáng)不同版本教材的整合

不同版本的數(shù)學(xué)教材對(duì)幾何直觀的重視程度有所差別。以北師大版數(shù)學(xué)教材為例，該教材重視利用幾何直觀幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，闡述數(shù)學(xué)原理。

例如，學(xué)習(xí)小數(shù)乘整數(shù)這節(jié)內(nèi)容，北師大版數(shù)學(xué)教材不僅通過(guò)小數(shù)的加法讓學(xué)生理解小數(shù)的乘法，還運(yùn)用圖形解釋算理（見(jiàn)圖4）。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，要研讀多種版本的教科書，并借鑒其他版本數(shù)學(xué)教材中好的想法與設(shè)計(jì)意圖，充分利用各種教學(xué)資源，在教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀的構(gòu)想設(shè)計(jì)教學(xué)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中直觀地理解數(shù)學(xué)，進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，從而形成直觀想象這一核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)編 歐孔群）