胡志祥, 王飛宇

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

基于正交誤差函數(shù)的振動信號瞬時頻率計算

胡志祥, 王飛宇

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

瞬時頻率計算是振動信號處理中的重要內(nèi)容,而希爾伯特變換是計算信號瞬時頻率最常用的方法,若信號的希爾伯特變換與其正交信號不相等,會導致信號瞬時頻率計算不準確。文章推導了2組正交誤差函數(shù)估計公式,提出了通過補償正交誤差函數(shù)以獲得更為準確的正交信號,從而提升瞬時頻率估計精度的方法，并利用數(shù)值分析驗證了方法的有效性。

瞬時頻率;希爾伯特變換;單分量信號;經(jīng)驗調幅調頻分解;正交信號

非平穩(wěn)信號分析的一個重要內(nèi)容是估計信號的瞬時頻率,這對評價振動系統(tǒng)的狀態(tài)具有重要作用。對于多自由度系統(tǒng)的振動信號,目前廣泛使用的希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform,HHT)首先利用經(jīng)驗模式分解方法對多分量信號進行分解,得到一系列本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function,IMF),然后利用希爾伯特變換計算各IMF的幅值和瞬時頻率[1-2]。經(jīng)驗模式分解可以將多分量信號分解為一系列單分量信號。對于一個實信號,文獻[3]結合希爾伯特變換給出了解析信號的定義，Ville將解析信號的相位函數(shù)的導數(shù)視為實信號瞬時頻率,這也是學術界廣泛接受的一種瞬時頻率定義方法[4]。因此,希爾伯特變換常用于計算信號的瞬時頻率。然而,當單分量信號的幅值函數(shù)和純調頻函數(shù)不滿足Bedrosian乘積定理的要求時,利用希爾伯特變換不能正確地對信號進行解調和頻率計算[5]。為解決這一問題,文獻[6]提出了經(jīng)驗調幅調頻分解方法,通過遞歸地使用樣條函數(shù)來擬合信號幅值,最終提取出IMF的幅值和純調頻項,再利用反余弦法計算信號瞬時頻率。然而由于樣條函數(shù)擬合誤差,通過反余弦法計算的瞬時頻率在信號極值點處會產(chǎn)生畸變。

采用希爾伯特變換進行純調頻信號瞬時頻率計算時,信號的希爾伯特變換與其正交信號之差為正交誤差函數(shù)。Nuttall定理給出了正交誤差函數(shù)的能量計算公式,并指出一般情況下正交誤差函數(shù)的能量不為0[7-8]。如果正交誤差函數(shù)的能量為0,那么利用希爾伯特變換能夠準確地計算出瞬時頻率。本文根據(jù)正交誤差函數(shù)的特點,推導了2組正交誤差函數(shù)的計算公式,通過補償正交誤差函數(shù)得到正交信號,即可計算精確的信號瞬時頻率；最后,利用仿真算例驗證了補償正交誤差函數(shù)對提高瞬時頻率計算精度的效果。

1 信號瞬時頻率和希爾伯特變換

單分量信號可表示為:

(1)

其中,a(t)為信號的幅值函數(shù);φ(t)為信號的相位函數(shù)。相位函數(shù)對時間的導數(shù)φ′(t)為信號的瞬時頻率。經(jīng)驗模式分解得到的IMF可視為單分量信號。利用希爾伯特變換可構造解析函數(shù):

(2)

(3)

(4)

(5)

其中,H[·]表示希爾伯特變換;A(t)、φ1(t)為利用希爾伯特變換計算出的信號幅值函數(shù)和相位函數(shù)。φ1′(t)即利用希爾伯特變換計算出的信號瞬時頻率。若信號的希爾伯特變換與其正交信號相等,則利用(3)式和(4)式就能計算出精確的信號幅值和頻率。然而,Nuttall定理表明一般情況下信號的希爾伯特變換與其正交信號不相等,兩者之差稱為正交誤差函數(shù)[7-8],即

(6)

其中,a(t)sinφ(t)為信號x(t)的正交信號。Nuttal定理還給出了正交誤差函數(shù)的能量計算公式:

(7)

其中,W(ω)為復信號a(t)[cosφ(t)+i sinφ(t)]的傅里葉變換。盡管Nuttal定理給出了正交誤差函數(shù)能量計算公式,但并不能直接求出正交誤差函數(shù)。下面推導2種估計純調頻信號正交誤差函數(shù)的方法,通過補償正交誤差函數(shù)得到純調頻信號對應的正交信號,從而通過反正切函數(shù)獲得精確的瞬時參數(shù)計算精度。

2 正交誤差函數(shù)估計

下面利用希爾伯特變換的性質,推導估計正交誤差函數(shù)的2組公式。2組公式都適用于純調頻信號正交誤差函數(shù)估計,計算結果可相互參照。在對實際單分量信號進行處理時,可先采用經(jīng)驗調幅調頻分解方法獲得原信號的幅值函數(shù)和純調頻信號,再對純調頻信號進行瞬時頻率估計[6]。首先通過正交誤差函數(shù)補償獲得較為精確的正交信號,再通過反正切法計算純調頻信號的瞬時頻率。

2.1 正交誤差函數(shù)直接計算法

考慮純調頻信號x=cosφ,設

(8)

(9)

其中,φ1為由希爾伯特變換得到的信號相位函數(shù)。若ε=0,此時利用希爾伯特變換可精確地求得原信號的正交信號,正交誤差函數(shù)為0。若ε≠0,根據(jù)(3)式及(8)式,可得:

(10)

由此可得:

(11)

再根據(jù)(9)式,可得二次方程:

(12)

求解(12)式并排除無意義解,ε可表示為:

(13)

利用級數(shù)展開并忽略高次項,可得：

(14)

根據(jù)(14)式,可得:

(15)

當sinφ1>0時，取負號,當sinφ1<0時，取正號。A、φ1、ε等參數(shù)可由單次希爾伯特變換結果推導,因此(15)式提供了一種估算原信號的正交信號的方法,適用于純調頻信號正交誤差函數(shù)估計,可將該方法稱為直接法。

2.2 正交誤差函數(shù)計算的兩步法

利用迭代希爾伯特變換的性質,可推導出另一種正交誤差函數(shù)估計算法。對純調頻信號x=cosφ,構造復信號cosφ+i sinφ,盡管該信號可能不是解析信號,但一般有φ′>0,其頻譜主要集中在正頻區(qū)域,負頻區(qū)域能量較小,且負頻區(qū)域能量集中于零頻附近,因此正交誤差函數(shù)主要包含低頻成分,且取值較小。

對x進行希爾伯特變換,并利用正交誤差函數(shù)的定義,可得其幅值為:

(16)

利用泰勒級數(shù),并忽略高次項,可得：

(17)

因此,根據(jù)(5)式,通過希爾伯特變換后可以得到新的純調頻信號及其正交信號為:

(18)

(19)

再次計算x1(t)的希爾伯特變換,注意到正交誤差函數(shù)為慢變函數(shù),近似地利用Bedrosian乘積定理[5],可得：

(20)

利用(19)式和(20)式,可得出x1(t)對應的正交誤差函數(shù),即

(21)

在對純調頻信號進行分析時,e1可利用2次希爾伯特變換進行計算,進而根據(jù)(21)式,可估計信號x=cosφ對應的正交誤差函數(shù)。由于利用了2次希爾伯特變換,可將該方法稱為兩步法。

3 算 例

考慮調幅調頻信號s=[1+0.5cos(πt)]×cos[10πt+9sin(πt)],其瞬時頻率為ω=10π+9πcos(πt)。為計算該信號的幅值函數(shù)和瞬時頻率,先利用經(jīng)驗調幅調頻分解法對原信號進行分解。原信號波形及分解出的純調頻信號如圖1所示,通過對比純調頻信號的理論值和分解結果可發(fā)現(xiàn)，經(jīng)驗調幅調頻分解法具有較高精度,分解出的純調頻信號可用作后續(xù)瞬時頻率計算。

用x表示信號s的純調頻項,其正交信號為y=sin[10πt+9sin(πt)]。若構造復信號x+iy,則可繪出其傅里葉頻譜,如圖2所示。在負頻區(qū)域復信號包含部分能量,而按希爾伯特變換構造的復信號x+iH(x)負頻區(qū)域能量為0,因而信號希爾伯特變換與其正交信號不相等,正交誤差函數(shù)能量不為0。為提高瞬時頻率估計精度,可先估計正交誤差函數(shù),再得到信號x對應的正交信號,最后通過反正切法計算出信號瞬時頻率。在實際計算時x是未知的,應利用經(jīng)驗調幅調頻分解法得到純調頻信號,再代入(15)式或(21)式計算正交誤差函數(shù)。直接法和兩步法得到的正交誤差函數(shù)估計結果及與理論值對比,如圖3所示。

圖1 原始信號及其對應的純調頻信號

圖2 復信號x+iy的傅里葉變換

圖3 正交誤差函數(shù)估計結果

由圖3可見,2種方法估計出的正交誤差函數(shù)都比較接近理論值。利用(7)式計算正交誤差函數(shù)的能量為9.54×10-2,而直接法和兩步法計算的能量分別為2.9×10-3和2.7×10-3,可見估計精度較高。應當注意的是,直接法利用 (15) 式計算正交誤差函數(shù)時,當cosφ1接近0時會造成正交誤差函數(shù)估計值的突變,使正交誤差函數(shù)曲線包含毛刺,需利用濾波方法進行平滑處理,圖3是經(jīng)濾波去噪的結果。而兩步法估計出的正交誤差函數(shù)不經(jīng)處理即可用于后續(xù)計算。

為研究補償正交誤差函數(shù)對瞬時頻率估計精度的改善效果,利用希爾伯特變換(Hilbert transform,HT)、反余弦法得到的信號瞬時頻率和經(jīng)正交誤差補償后得到的瞬時頻率如圖4所示。

圖4 瞬時頻率估計結果對比

參照(7)式計算各種方法頻率估計誤差的能量作為誤差指標。由于正交誤差函數(shù)不為0,希爾伯特變換得到的信號瞬時頻率與理論值相比含有振蕩誤差,頻率估計誤差的能量為7.98×10-1。由于受到反余弦法經(jīng)驗調幅調頻分解法中樣條插值誤差的影響,分解出的純調頻函數(shù)極值可能大于1或小于-1,因而估計出的瞬時頻率包含突變,誤差的能量達5.55×105。通過對比,經(jīng)過正交誤差函數(shù)補償后得到的信號瞬時頻率更為接近理論值,誤差的能量分別為1.84×10-1和1.86×10-1?？梢?不論是采用直接法還是采用兩步法計算正交誤差函數(shù)來獲得純調頻信號對應的正交信號,最后通過反正切法計算出的信號瞬時頻率都更接近理論值,估計精度大幅提高。

4 結 論

本文推導了2種估計純調頻信號正交誤差函數(shù)的計算公式,利用算例驗證了公式的正確性及補償正交誤差函數(shù)對提高瞬時頻率估計精度的有效性。通過理論推導和數(shù)值算例得到以下結論:

(1) 直接法和兩步法都可有效地計算正交誤差函數(shù),盡管推導中略去了高次項,但數(shù)值分析表明2種方法都能近似地得到正交誤差函數(shù)。實際信號處理中2種方法所得結果可相互參照。

(2) 利用經(jīng)驗調幅調頻分解法提取出單分量信號的純調頻信號,通過希爾伯特變換和正交誤差函數(shù)來獲得其正交信號,再利用反正切法計算出信號瞬時頻率,精度高于利用希爾伯特變換和反余弦法得到的結果。

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(責任編輯 張淑艷)

Vibration signal instantaneous frequency estimation based on quadrature error function

HU Zhixiang, WANG Feiyu

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

It is important to compute instantaneous frequency(IF) in the field of vibration signal processing. Hilbert transform method is one of the most frequently used methods for IF computation. If the Hilbert transform of a signal is not equal to its quadrature signal, error will occur in IF estimation. Thus two sets of formulas are derived to compute quadrature error function and the quadrature error function compensation is proposed to obtain accurate quadrature signal, and then IF estimation accuracy can be improved. Finally, the effectiveness of the proposed method is proved by numerical analysis.

instantaneous frequency(IF); Hilbert transform; mono-component signal; empirical AM-FM decomposition; quadrature signal

2015-09-11；

2016-03-04

國家自然科學基金資助項目(51408177);中國博士后科學基金資助項目(2014M551802)

胡志祥(1985-),男,江西南昌人,博士,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.12.017

TN911.7

A

1003-5060(2016)12-1676-04