于新穎

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 信息學(xué)院，山西 太原 030031)

自適應(yīng)濾波算法分析及仿真

于新穎

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 信息學(xué)院，山西 太原 030031)

主要對(duì)自適應(yīng)濾波算法展開了研究和討論，重點(diǎn)對(duì)LMS算法、NLMS算法以及RLS算法做了詳細(xì)的說明和對(duì)比，在算法原理、算法性能分析方面說明了各自算法的優(yōu)越性。通過MATLAB仿真，對(duì)每種算法的收斂性、學(xué)習(xí)曲線和誤差分析等方面進(jìn)行了分析。

自適應(yīng)；噪聲對(duì)消；LMS算法；NLMS算法；RLS算法

由于真實(shí)客觀環(huán)境中噪聲的特性常常是不平穩(wěn)的，因而自適應(yīng)濾波在噪聲對(duì)消中的應(yīng)用有著廣闊的發(fā)展前景。隨著自適應(yīng)噪聲對(duì)消技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)用于自適應(yīng)噪聲對(duì)消系統(tǒng)的算法也發(fā)生了很大的變遷。其中最常用的是LMS(最小均方算法)和RLS(遞歸最小二乘算法)，而LMS算法[1]以其算法簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小，實(shí)現(xiàn)容易等優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛應(yīng)用，但固定步長(zhǎng)的LMS算法在收斂速率，跟蹤速率和權(quán)失調(diào)噪聲要求方面存在矛盾；為了解決這一矛盾，人們研究出了變步長(zhǎng)的LMS算法。但基于變步長(zhǎng)LMS的算法存在收斂特性和失調(diào)量受步長(zhǎng)影響的缺點(diǎn)，且最優(yōu)步長(zhǎng)不太容易確定，因此NLMS，ELMS等關(guān)于LMS的改進(jìn)的濾波算法得到了發(fā)展。RLS這種算法是對(duì)輸入信號(hào)自相關(guān)的矩陣求逆，進(jìn)而不斷遞推估計(jì)實(shí)現(xiàn)權(quán)值更新的，具有更快的收斂速度，但這種算法計(jì)算起來(lái)較為復(fù)雜，存儲(chǔ)量大，不適用于實(shí)時(shí)性要求高的場(chǎng)合；另外一個(gè)使用局限是，輸入信號(hào)自相關(guān)的矩陣求逆之后必須具有正定性，否則會(huì)引起算法發(fā)散。

1 算法介紹

1.1 最小均方(LMS)算法

LMS算法是隨機(jī)梯度算法家族中的一員，簡(jiǎn)單性是它的一個(gè)顯著特點(diǎn)，而且它不需要計(jì)算有關(guān)的相關(guān)函數(shù)，也不需要矩陣求逆運(yùn)算，因此它也是線性自適應(yīng)濾波算法的參考標(biāo)準(zhǔn)[2]。

LMS算法采用的是一種瞬時(shí)估計(jì)，即用n時(shí)刻的平方誤差性能函數(shù)|e(n)|2作為瞬時(shí)均方誤差ξ=E[e2(n)]的估值，其實(shí)質(zhì)是以當(dāng)前輸出誤差、當(dāng)前參考信號(hào)和當(dāng)前權(quán)系數(shù)求得下個(gè)時(shí)刻的權(quán)系數(shù)。

LMS算法輸出信號(hào)y(n)、輸出誤差e(n)及權(quán)系數(shù)W(n)的計(jì)算公式為：

y(n)=W(n)XT(n) .

(1)

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-W(n)XT(n) .

(2)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)X(n) .

(3)

其中μ是控制自適應(yīng)速度與穩(wěn)定性的增益常數(shù),稱為步長(zhǎng)因子，選擇時(shí)，應(yīng)該綜合考慮收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的要求。

自適應(yīng)濾波器收斂的條件是：

LMS算法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，適應(yīng)變化能力強(qiáng)，但其則具有收斂的速度較慢的缺點(diǎn)。為了能適用于信號(hào)實(shí)時(shí)性處理的場(chǎng)合，如何提高LMS這種算法的自適應(yīng)速度就顯得尤為重要。

局限LMS算法收斂這一要素的主要原因有：

1) 步長(zhǎng)因子不能過大，不然算法最終不收斂；

2) 收斂速度及均方誤差不能兼得。

這兩個(gè)原因都與步長(zhǎng)有關(guān)，LMS算法中的步長(zhǎng)是唯一能夠控制算法迭代過程的參量，必然是改進(jìn)LMS算法性能的唯一著手點(diǎn)。

1.2 歸一化最小均方(NLMS)算法

LMS算法是通過對(duì)梯度矢量各分量單個(gè)數(shù)據(jù)取樣值的估計(jì)得到的，沒有進(jìn)行平均，才會(huì)使梯度估計(jì)中存在著噪聲。NLMS引入變步長(zhǎng)的迭代過程[3]，加快了收斂速度。

NLMS算法的輸出信號(hào)y(n)、輸出誤差e(n)及權(quán)系數(shù)W(n)的計(jì)算公式為：

y(n)=W(n)XT(n) .

(4)

e(n)=d(n)-y(n) .

(5)

(6)

此即歸一化LMS算法，其步長(zhǎng)被輸入信號(hào)的范數(shù)平方除，因而較LMS算法具有更好的穩(wěn)定性和收斂性。

1.3 遞歸最小二乘(RLS)算法

RLS算法是一個(gè)遞歸實(shí)現(xiàn)，其收斂速率比一般的LMS濾波器快一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此它在線性自適應(yīng)濾波器中應(yīng)用非常廣泛[4]。

RLS算法的輸出信號(hào)y(n)、輸出誤差e(n)及權(quán)系數(shù)W(n)的計(jì)算公式為：

y(n)=WT(n-1)X(n) .

(7)

e(n)=d(n)-y(n) .

(8)

W(n)=W(n-1)+g(n)[d(n)-X(n)WT(n-1)] .

(9)

其中，增益矢量g(n)=C(n-1)X(n)/[λ+XT(n)C(n-1)X(n)]；C(n)為自相關(guān)矩陣Rxx(n)的逆矩陣，其定義式為C(n)=λ-1[C(n-1)-g(n)XT(n)C(n-1)]，且C(0)=δ-1I(I為單位矩陣，δ為小的正實(shí)數(shù))；常數(shù)λ是遺忘因子，要求0<λ≤1。

RLS算法主要應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)、自適應(yīng)控制和自適應(yīng)信號(hào)處理等領(lǐng)域。主要優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，因此在快速信道均衡、 實(shí)時(shí)系統(tǒng)辨識(shí)和實(shí)際序列分析中得到廣泛的應(yīng)用[4]，其主要缺點(diǎn)是每次迭代計(jì)算量大。

2 自適應(yīng)算法的MATLAB仿真

2.1 LMS算法的MATLAB仿真

輸入為正弦信號(hào)與隨機(jī)噪聲的迭加，隨機(jī)噪聲的幅值小于1，在取不同步長(zhǎng)情況下，LMS算法的誤差函數(shù)曲線如圖1所示，誤差函數(shù)圖中縱坐標(biāo)表示誤差的大小。

(a) u=0.03,N=300,k=16

(b) u=0.03,N=300,k=32

(c) u=0.05,N=300,k=32

2.2 NLMS算法的MATLAB仿真

1) 輸入為正弦信號(hào)與隨機(jī)噪聲的迭加，隨機(jī)噪聲的幅值小于1。NLMS均值曲線圖仿真結(jié)果如圖2所示。每個(gè)圖中的橫坐標(biāo)都表示迭代次數(shù)，學(xué)習(xí)曲線中縱坐標(biāo)表示均方誤差的大小。

圖2 NLMS算法u=0.8和u=1學(xué)習(xí)曲線

2) 當(dāng)輸入信號(hào)為正弦函數(shù)與噪聲的疊加時(shí)，LMS和NLMS的性能對(duì)比如圖3所示。

圖3 LMS和NLMS算法的誤差比較

2.3 RLS算法的MATLAB仿真

仿真采用多權(quán)的自適應(yīng)橫向?yàn)V波系統(tǒng)，期望響應(yīng)是一個(gè)經(jīng)過濾波的高斯隨機(jī)噪聲，采用RLS算法的自適應(yīng)濾波學(xué)習(xí)曲線和矢量估計(jì)誤差曲線如圖4所示。

(a) RLS算法的學(xué)習(xí)曲線

(b) RLS算法的誤差曲線

3 結(jié)果分析

1) LMS算法最大的優(yōu)點(diǎn)是易于實(shí)現(xiàn)，而且對(duì)有限寄存器長(zhǎng)度造成的實(shí)現(xiàn)誤差不敏感，在實(shí)際生活和生產(chǎn)中應(yīng)用較為廣泛。

由圖1三組不同情況下LMS算法的誤差圖的對(duì)比可以看出，開始時(shí)誤差比較類似于正弦函數(shù)，隨著自適應(yīng)過程的進(jìn)行，誤差越來(lái)越小并且隨機(jī)性增大，隨著迭代次數(shù)的增加逐漸趨于零附近。由圖(b)、圖(c)比較可知，u越小，收斂速度越慢，但穩(wěn)態(tài)誤差較小；由圖(a)、圖(b)比較可知，階數(shù)k越小，收斂越快，但穩(wěn)態(tài)誤差較大。從而驗(yàn)證了在迭代收斂過程中，誤差函數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加逐漸趨于零，學(xué)習(xí)曲線也趨于在附近小幅度波動(dòng)，甚至為零。但是LMS算法的收斂速度和其穩(wěn)定性能是相互矛盾的；步長(zhǎng)較大時(shí)收斂速度較快，但其穩(wěn)定性較差；步長(zhǎng)較小時(shí)收斂速度較慢，但其穩(wěn)定性較好。

2) 由圖2可知，u越大，曲線收斂的越快，越容易趨于零，但曲線卻更不光滑，振蕩較大，符合NLMS算法的規(guī)律。另外，在NLMS算法中，當(dāng)u太大時(shí)，學(xué)習(xí)曲線反而會(huì)發(fā)散；克服了LMS算法的缺點(diǎn)，算法本身可看成是一種變步長(zhǎng)的自適應(yīng)算法，它的步長(zhǎng)大小與輸入信號(hào)的信噪比有關(guān)。

3) RLS算法在收斂速度和信號(hào)穩(wěn)定性方面的性能都比LMS和NLMS算法良好，收斂速度比LMS算法快一個(gè)數(shù)量級(jí)，收斂性能與輸入信號(hào)的頻譜特性無(wú)關(guān)而且對(duì)信號(hào)的跟蹤能力較強(qiáng)，誤差較小。但是RLS算法涉及到矩陣求逆，計(jì)算復(fù)雜度很高，所需的存儲(chǔ)量極大，不利于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)[5]。

4 結(jié)論

本論文主要介紹了三種常用的自適應(yīng)算法：LMS、NLMS及RLS，并通過MATLAB仿真，從收斂性、誤差函數(shù)和學(xué)習(xí)曲線等方面對(duì)這三種算法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析。結(jié)果表明，LMS算法易于廣泛的應(yīng)用，但步長(zhǎng)因子存在難以調(diào)和的矛盾；NLMS在收斂速度上有了明顯的改進(jìn)，是對(duì)于LMS的優(yōu)化；RLS收斂速度和穩(wěn)定性都很好，但計(jì)算量過大，不利于大范圍推廣。

[1] 王海峰,陳偉,黃秋元.基于LMS算法自適應(yīng)噪聲抵消器的分析研究[J].計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程,2009,37(3):85-87.

[2] 秦彥平.基于DSP地下漏水定位系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)[D].內(nèi)蒙古大學(xué)，2010.

[3] 文靜,文玉梅,李平.基于噪聲白化準(zhǔn)則的自適應(yīng)噪聲抵消方法[J].儀器儀表學(xué)報(bào),2010,31(8):1693-1698.

[4] 肖林.LMS和RLS算法的研究與實(shí)現(xiàn)[J].中山大學(xué)研究生期刊，2010,31(2):73-81.

[5] 余慧.基于DSP反饋?zhàn)赃m應(yīng)噪聲抵消器研究與設(shè)計(jì)[D].湖南大學(xué),2010.

The Analysis and Simulation of Adaptive Filtering Algorithms

Yu Xinying

(SchoolofInformation,BusinessCollegeofShanxiUniversity,TaiyuanShanxi030031,China)

This paper mainly makes a study and discussion about the algorithms of adaptive filtering. It focuses on the detail description and comparison of the LMS algorithm, NLMS algorithm and RLS algorithm, shows the superiority of each algorithm through the principle and performance. With the help of MATLAB simulation, this paper analyzes the convergence, learning curve and error analysis of each algorithm.

adaptive; noise cancellation; LMS algorithm; NLMS algorithm; RLS algorithm

2016-08-24

于新穎(1987- )，女，河北唐山人，助教，碩士研究生，自適應(yīng)信號(hào)處理方向。

1674- 4578(2016)06- 0007- 02

TP701

A