周霞

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

中加高?！俺Ｎ⒎址匠獭闭n程教學(xué)的比較分析

周霞

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

通過(guò)對(duì)阜陽(yáng)師范學(xué)院、滑鐵盧大學(xué)“常微分方程”課程在課程設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與手段、實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)、考核方式等五個(gè)方面的比較分析，探索該課程教改的若干新思路，為“常微分方程”教學(xué)改革提供一定的借鑒和啟示。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，兩校在教學(xué)理念、具體的課程教學(xué)方面各有所長(zhǎng)。為此，需揚(yáng)長(zhǎng)棄短，不斷優(yōu)化課程設(shè)置和教學(xué)模式，確立系統(tǒng)的教學(xué)觀(guān)念，整合教學(xué)內(nèi)容，重視實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，改進(jìn)管理和考核方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)其學(xué)習(xí)知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力，從而實(shí)現(xiàn)該課程培養(yǎng)應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才的目標(biāo)。

常微分方程；課程教學(xué)；中加高校；比較分析

“常微分方程”是高等院校數(shù)學(xué)學(xué)科的核心課程，其課程理論體系嚴(yán)謹(jǐn)、抽象程度高，在本科階段教學(xué)中起著承前啟后的作用。同時(shí)，常微分方程實(shí)際應(yīng)用廣泛、實(shí)踐性強(qiáng)，是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)重要觸角，現(xiàn)實(shí)世界中很多實(shí)際問(wèn)題都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?。因此，“常微分方程”的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且還越來(lái)越多地應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的一些領(lǐng)域。

在信息化時(shí)代，學(xué)生的生活及學(xué)習(xí)方式在不停的改變，這就要求高校的人才培養(yǎng)機(jī)制、培養(yǎng)目標(biāo)、教育模式、課程教學(xué)能夠適應(yīng)這種變化，跟上時(shí)代步伐。如何有效解決“常微分方程”課程教學(xué)內(nèi)容多而課時(shí)有限的矛盾？如何使得常微分方程課程教學(xué)與時(shí)俱進(jìn)地達(dá)到教學(xué)目標(biāo)？教學(xué)實(shí)踐中不少教師都進(jìn)行了有效的探索，包括PBL（問(wèn)題導(dǎo)向?qū)W習(xí)）教學(xué)模式[1]、三段式分層教學(xué)模式[2]、研究性教學(xué)模式[3]、啟發(fā)式教學(xué)模式[4]、案例教學(xué)模式[5,6]等等，都具有一定的借鑒意義?；诮虒W(xué)改革與探索的實(shí)踐，結(jié)合筆者在加拿大滑鐵盧大學(xué)訪(fǎng)學(xué)期間對(duì)“常微分方程”課程的學(xué)習(xí)和思考，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩所高校本科階段“常微分方程”課程設(shè)置及教學(xué)等方面存在著一些明顯的異同。

1 比較與分析

1.1 課程設(shè)置比較分析

根據(jù)阜陽(yáng)師范學(xué)院2013版普通本科學(xué)分制人才培養(yǎng)方案，全校只有數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院的數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)和統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)“常微分方程”課程，均為專(zhuān)業(yè)核心課程；學(xué)時(shí)分別為：68學(xué)時(shí)、48學(xué)時(shí)、45學(xué)時(shí)；每個(gè)學(xué)時(shí)45分鐘；開(kāi)設(shè)學(xué)期分別為：第四學(xué)期、第四學(xué)期，第三學(xué)期?；F盧大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院有School of Computer Science（CS）,Department of Applied Mathematics（AMath）,Department of Combinatorics and Optimization（SO）,Department of Pure Mathematics（PMath）,Department of Statistics and Actuarial Science（SC）,Institude for Quantum Computing (IQC)五個(gè)學(xué)部，每個(gè)學(xué)部下面有不同的研究方向。每年分為三個(gè)學(xué)期：Fall Term（F）（秋季學(xué)期），Winter Term（W）（冬季學(xué)期），Spring Term（S）（春季學(xué)期）。全校開(kāi)設(shè)“常微分方程”課程的專(zhuān)業(yè)有：AMath（應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)），Business and Economics（經(jīng)濟(jì)及工商管理專(zhuān)業(yè)）、Earth and Engineering（地球?qū)I(yè)和工程學(xué)專(zhuān)業(yè)）、Physics and Chemistry（物理和化學(xué)專(zhuān)業(yè)），均開(kāi)設(shè)39學(xué)時(shí)，每學(xué)時(shí)50分鐘（見(jiàn)表1）

表1 阜陽(yáng)師范學(xué)院和滑鐵盧大學(xué)“常微分方程”課程設(shè)置一覽表

從課程設(shè)置上看，阜陽(yáng)師范學(xué)院只有數(shù)學(xué)學(xué)院開(kāi)設(shè)，而物理與電子工程學(xué)院、計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院、商學(xué)院、經(jīng)濟(jì)學(xué)院、生物與食品工程學(xué)院、化學(xué)與材料工程學(xué)院等均未開(kāi)設(shè)此課程。其實(shí)，微分方程在物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)和金融等領(lǐng)域的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)也有很多應(yīng)用，它是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)重要紐帶和工具。比如：牛頓的運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律,能量守恒定律、化學(xué)元素的衰變規(guī)律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲幅趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析都可以歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究?；凇俺Ｎ⒎址匠獭闭n程的性質(zhì)及其應(yīng)用價(jià)值，滑鐵盧大學(xué)根據(jù)學(xué)科的性質(zhì)及現(xiàn)有學(xué)科發(fā)展要求、針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)均開(kāi)設(shè)了該門(mén)課程。

1.2 教學(xué)內(nèi)容比較分析

阜陽(yáng)師范學(xué)院目前使用的教材為《常微分方程（第三版）》（王高雄、周之銘等編著），主要內(nèi)容有七章。在課時(shí)有限的情況下，教師一般能夠講授完前五章所涵蓋的內(nèi)容。該教材注重邏輯性和系統(tǒng)性。滑鐵盧大學(xué)的微分方程課程教學(xué)內(nèi)容主要包括：一階微分方程，二階線(xiàn)性微分方程，Laplace變換，線(xiàn)性微分方程系統(tǒng)，級(jí)數(shù)解，非線(xiàn)性微分方程和穩(wěn)定性，攝動(dòng)法，向量微分方程和數(shù)值方法。內(nèi)容注重應(yīng)用性、開(kāi)放性和時(shí)代性。（見(jiàn)表2）

表2 阜陽(yáng)師范學(xué)院和滑鐵盧大學(xué)“常微分方程”課程主要內(nèi)容一覽表

從課程內(nèi)容上看，如果按照文獻(xiàn)[3]中作者所述，將微分方程課程內(nèi)容分為基礎(chǔ)模塊（方程的基本概念、解法、解的理論）、應(yīng)用模塊（方程的實(shí)際應(yīng)用舉例并用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)）和拓展模塊（常微分方程知識(shí)延拓以及對(duì)學(xué)科發(fā)展動(dòng)態(tài)趨勢(shì)的介紹）的話(huà)，阜陽(yáng)師范學(xué)院常微分方程課程主要講授了基礎(chǔ)模塊，而應(yīng)用模塊和拓展模塊的內(nèi)容講授較少。比如，用三大數(shù)學(xué)軟件Mathematica，Matlab，Maple來(lái)處理方程中的問(wèn)題幾乎不涉及；Laplace變換的應(yīng)用這一內(nèi)容也僅僅安排了1小節(jié)并作為選學(xué)內(nèi)容；定性理論與穩(wěn)定性理論、微分方程最新研究方向和成果介紹也幾乎不涉及。而滑鐵盧大學(xué)開(kāi)設(shè)的常微分方程課程內(nèi)容則涵蓋了基礎(chǔ)模塊、應(yīng)用模塊和拓展模塊。應(yīng)用模塊方面，安排了計(jì)算機(jī)和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的內(nèi)容。給出現(xiàn)實(shí)生活中問(wèn)題，比如，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)、第二宇宙速度計(jì)算、2003年的非典事件、各種傳染病事件、股票價(jià)格預(yù)測(cè)等等，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，建立常微分方程模型，根據(jù)這些模型的解析解、近似解的性質(zhì)，解釋這些現(xiàn)象，預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展，進(jìn)行優(yōu)化或控制，從而科學(xué)地指導(dǎo)社會(huì)生活和生產(chǎn)實(shí)踐。另外，從上表2中可以看到，滑鐵盧大學(xué)對(duì)“Laplace變換的應(yīng)用、級(jí)數(shù)解、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)”這三個(gè)內(nèi)容很重視，至少用這門(mén)課程總課時(shí)的三分之一時(shí)間來(lái)學(xué)習(xí)。然而，這三個(gè)內(nèi)容在國(guó)內(nèi)的常微分方程教學(xué)中很少講解，通常作為自學(xué)內(nèi)容。拓展模塊方面，滑鐵盧大學(xué)講授有定性與穩(wěn)定性理論、種群競(jìng)爭(zhēng)生物系統(tǒng)、微分方程在控制論和動(dòng)力系統(tǒng)中最新研究問(wèn)題等等內(nèi)容，而這些內(nèi)容又是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展過(guò)程中探索理論新問(wèn)題所必須要掌握和使用的。

1.3 教學(xué)方法與手段比較分析

1.3.1 教學(xué)方法比較分析

阜陽(yáng)師范學(xué)院的常微分方程課程是按照自然班開(kāi)設(shè)，班級(jí)人數(shù)較多，學(xué)生的基礎(chǔ)參差不齊。由于課程內(nèi)容的邏輯性強(qiáng)，課堂教學(xué)基本上以“講授式”和“填鴨式”教學(xué)方法為主，以“互動(dòng)式”、“討論式”和“探究式”方法為輔，并根據(jù)內(nèi)容的差異靈活選擇不同的教學(xué)方法。比如講解“常微分方程基本概念、一階（高階）微分方程解的基本定理時(shí)多采用“講授式”，而講解“方程求解”則采用“講授式、討論式、探究式”相結(jié)合的教學(xué)方法。一般地，教師先講解其中一種解法，然后再和學(xué)生共同探討其他解法，一起探討這種解法還能用于哪些類(lèi)型的方程？由于人數(shù)多、學(xué)生基礎(chǔ)不同、興趣愛(ài)好不同、學(xué)習(xí)積極性不高等因素導(dǎo)致“互動(dòng)式、討論式、探究式”教學(xué)效果較差。

滑鐵盧大學(xué)的微分方程課程，Amath 250一年三學(xué)期均開(kāi)設(shè)，Amath 350、Amath 351、Math 218、Math 228一年開(kāi)設(shè)兩個(gè)學(xué)期，Amath 251在秋季學(xué)期開(kāi)設(shè)。由于課程開(kāi)設(shè)頻次多，所以選課的學(xué)生數(shù)并不多。學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇合適的時(shí)間來(lái)上課（修學(xué)分），所以上課班級(jí)的人數(shù)也不固定。由于上課班級(jí)人數(shù)少，互動(dòng)方便，選擇了這一課程的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都差不多，接受知識(shí)程度快慢相差不大，課程又是學(xué)生根據(jù)個(gè)人興趣和前期基礎(chǔ)選擇的，所以學(xué)習(xí)興趣高，這為“互動(dòng)式”、“討論式”和“探究式”教學(xué)提供了可行性條件；加上國(guó)外多數(shù)學(xué)生具備良好的文獻(xiàn)查閱和課下閱讀材料的習(xí)慣，所以綜合采用多種教學(xué)方法效果較好。

1.3.2 教學(xué)方式比較分析

根據(jù)阜陽(yáng)師范學(xué)院常微分方程課程所使用教材的內(nèi)容和知識(shí)體系編排情況，采用遞進(jìn)式的演繹方法[7]較多。比如：在講解“一階微分方程的初等解法”時(shí)，通常遵循“變量分離方程→齊次微分方程→一階線(xiàn)性微分方程→Bernoulli方程→恰當(dāng)方程→隱式方程”這一順序。先講最特殊的變量分離方程的直接積分法，再講可化為變量分離方程的齊次方程和一階線(xiàn)性微分方程，接著是可化為一階線(xiàn)性微分方程的Bernoulli方程，然后講恰當(dāng)方程和積分因子法。前者是后者的特例，后者是前者的推廣。齊次方程令u=x-1y化成變量分離方程，一階線(xiàn)性微分方程令y=c(x)e∫p(x)dx化成變量分離方程，Bernoulli方程令z=y1-n化成線(xiàn)性方程，恰當(dāng)方程可用直接積分法，非恰當(dāng)方程通過(guò)尋找積分因子轉(zhuǎn)化成恰當(dāng)方程。講授這些內(nèi)容一般需要8個(gè)課時(shí)。

滑鐵盧大學(xué)的常微分課程基本上根據(jù)教師的Course Notes來(lái)講授，教學(xué)方式采用總分式的遞歸方法[7]較多。仍以講解“一階微分方程的初等解法”為例，按照“實(shí)際問(wèn)題引入Bernoulli方程→隱式方程→為了求解Bernoulli方程，乘以積分因子轉(zhuǎn)化為方程恰當(dāng)方程→變量分離方程；而變量分離方程、齊次方程、一階線(xiàn)性微分方程乘以積分因子轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程”這一順序。先從一個(gè)特殊一階線(xiàn)性微分方程Bernoulli方程出發(fā)，為了求出方程的解，研究出積分因子法，又探討積分因子法可以用于哪些方程，比如變量分離方程、齊次方程、一階線(xiàn)性微分方程。這一章整個(gè)內(nèi)容看似只應(yīng)用積分因子法講了一個(gè)Bernoulli方程的求解，事實(shí)上變量分離方程、齊次方程、一階線(xiàn)性微分方程、恰當(dāng)方程、隱式方程的求解都隨之講解。一般用3個(gè)課時(shí)。

演繹式教學(xué)方式和遞歸式教學(xué)方式這兩種不同的教學(xué)方式，針對(duì)同一方程產(chǎn)生不同的解法，最后殊途同歸。

1.3.3 教學(xué)手段比較分析

阜陽(yáng)師范學(xué)院“常微分方程”課程教學(xué)基本上使用“PPT+板書(shū)”，使用PPT可圖文并茂地演示，需要推演數(shù)學(xué)過(guò)程的地方一般采用板書(shū)，在板書(shū)過(guò)程使得學(xué)生有時(shí)間去思考。但也會(huì)出現(xiàn)教師過(guò)于依賴(lài)多媒體完全使用PPT教學(xué)現(xiàn)象。

在滑鐵盧大學(xué)的Amath 250，Amath 251，Amath 350、Amath 351、Math 218、Math 228“常微分方程”課程教學(xué)中，筆者所旁聽(tīng)的課堂上6位教師在講授基礎(chǔ)模塊內(nèi)容的時(shí)候均沒(méi)有使用多媒體PPT輔助教學(xué)，只有在應(yīng)用模塊和拓展模塊的講解上使用多媒體輔助教學(xué)。應(yīng)用模塊使用多媒體教學(xué)的內(nèi)容：用三大數(shù)學(xué)軟件Mathematic、Maple、Matlab輔助求解常微分方程的數(shù)值解、繪制積分曲線(xiàn)及判斷非線(xiàn)性方程穩(wěn)定性問(wèn)題；根據(jù)實(shí)際生活中的實(shí)例建立常微分方程模型，借助三大數(shù)學(xué)軟件研究所建立的微分方程模型。拓展模塊中，要求學(xué)生查閱文獻(xiàn)，選擇自己感興趣的該門(mén)課程最新研究成果認(rèn)真學(xué)習(xí)，在課堂上做presentation（陳述），為了節(jié)約時(shí)間，學(xué)生會(huì)使用PPT來(lái)演示presentation內(nèi)容。

1.4 實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)比較分析

由于該課程課時(shí)少而邏輯性和理論性都很強(qiáng)，在課程教學(xué)中很容易偏重理論教學(xué)而輕實(shí)際應(yīng)用，再加上該課程的教學(xué)要求和教材對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)都沒(méi)有做出明確規(guī)定，所以阜陽(yáng)師院的“常微分方程”教學(xué)幾乎沒(méi)有設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。文獻(xiàn)[8]作者在研究國(guó)內(nèi)外工科院校高等數(shù)學(xué)教材區(qū)別時(shí)指出，國(guó)內(nèi)教材的應(yīng)用題選材無(wú)論是例題還是習(xí)題基本上只限于在物理、幾何中的傳統(tǒng)應(yīng)用，很少反映出現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，也很少涉及到其他領(lǐng)域。事實(shí)上，國(guó)內(nèi)其他的“常微分方程”教材也有類(lèi)似現(xiàn)象：給出的實(shí)際問(wèn)題的題材少，涉及面范圍窄，內(nèi)容陳舊，跟不上熱點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生因而往往提不起學(xué)習(xí)興趣，要么不愿意去做實(shí)驗(yàn)，即使做了也只是把建立起來(lái)的方程用所學(xué)的方法求解而已。文獻(xiàn)[9]作者也指出，國(guó)內(nèi)“常微分方程”課程教學(xué)重視理論教學(xué)，很少涉及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。另一方面，國(guó)內(nèi)班級(jí)學(xué)生數(shù)多，目前還做不到每人都帶筆記本電腦到課堂跟著老師操作。缺少了實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的“常微分方程”課程，就剩下理論分析和邏輯推導(dǎo)，課堂枯燥乏味，學(xué)生不能主動(dòng)學(xué)習(xí)，更體會(huì)不到微分方程來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題，無(wú)法真正培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)。

滑鐵盧大學(xué)的“常微分方程”課程全部安排有實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)。用Mathematic、Maple、Matlab軟件求解線(xiàn)性方程組及繪制解曲線(xiàn)，判斷非線(xiàn)性微分方程（組）的穩(wěn)定性問(wèn)題。在講解完相應(yīng)的理論內(nèi)容后，會(huì)有相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。另外，滑鐵盧大學(xué)常微分方程課程教學(xué)主要依據(jù)Course Notes，每學(xué)期的Course Notes都會(huì)更新。上課選材內(nèi)容廣泛、多樣、新穎，與學(xué)科發(fā)展前沿聯(lián)系緊密。教師通常會(huì)選擇近期發(fā)生在學(xué)生身邊的生活題材作為問(wèn)題，要求學(xué)生對(duì)該問(wèn)題用常微分方程建模，利用所學(xué)的知識(shí)求解方程，如果有解析解，用數(shù)學(xué)軟件畫(huà)出解曲線(xiàn)，如果沒(méi)有解析解，用數(shù)學(xué)軟件求出近似數(shù)值解，再畫(huà)出近似解曲線(xiàn)，然后來(lái)解釋當(dāng)初提出的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，最后寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。如此，學(xué)生既解決了發(fā)生在自己周?chē)母信d趣的問(wèn)題，又完成了實(shí)驗(yàn)報(bào)告。實(shí)驗(yàn)報(bào)告的成績(jī)會(huì)納入到課程的總成績(jī)計(jì)算中，學(xué)生的積極性很高。

1.5 考核方式比較分析

阜陽(yáng)師范學(xué)院的“常微分方程”課程考核通常分為考試或考查兩種形式。無(wú)論哪種形式，最終的總成績(jī)均主要由兩個(gè)部分組成：期末成績(jī)占70%左右，平時(shí)成績(jī)占30%左右。期末成績(jī)可開(kāi)卷考試也可閉卷考試，平時(shí)成績(jī)根據(jù)平時(shí)出勤、作業(yè)、上課表現(xiàn)而定。

滑鐵盧大學(xué)的“常微分方程”課程考核則為綜合考核，期末成績(jī)和平時(shí)成績(jī)所占比重由任課老師自己設(shè)定，一般情況是：期末成績(jī)占50%-60%，平時(shí)成績(jī)占50%-40%。平時(shí)成績(jī)包括：作業(yè)、小測(cè)驗(yàn)、報(bào)告（或陳述）及期中考試等成績(jī)。不包括對(duì)學(xué)生的考勤。

2 啟發(fā)與思考

2.1 確立系統(tǒng)的教學(xué)觀(guān)念

“常微分方程”課程的教學(xué)目標(biāo)，要求學(xué)生系統(tǒng)掌握建立常微分方程模型的方法、過(guò)程和運(yùn)算技能，理解常微分方程的基本概念和理論。通過(guò)常微分方程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，從而實(shí)現(xiàn)該課程培養(yǎng)應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才的目標(biāo)。因此，在課程體系的設(shè)置、課程內(nèi)容組織和實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目安排的過(guò)程中，教師應(yīng)確立系統(tǒng)的教學(xué)觀(guān)念。不僅要重視該課程的理論知識(shí)，也要將理論知識(shí)與未來(lái)的研究工作或?qū)嶋H運(yùn)用有機(jī)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生能夠深入了解微分方程在未來(lái)工作中的實(shí)際應(yīng)用，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)其學(xué)好該課程的熱情。同時(shí)，要科學(xué)論證，結(jié)合經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展對(duì)專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)的需要，針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)不同層次的學(xué)生開(kāi)設(shè)常微分方程課程，使不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生可以選擇適合本專(zhuān)業(yè)及自身需要的常微分方程課程來(lái)學(xué)習(xí)。

2.2 優(yōu)化整合教學(xué)內(nèi)容

為了實(shí)現(xiàn)常微分方程課程的教學(xué)目標(biāo)，除了要重視基礎(chǔ)模塊內(nèi)容的掌握，還有注重運(yùn)用模塊的培養(yǎng)和拓展模塊的了解。吸取滑鐵盧大學(xué)常微分方程課程教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合國(guó)內(nèi)的常微分方程課程教學(xué)現(xiàn)狀，我們可以整合基礎(chǔ)模塊內(nèi)容、補(bǔ)充運(yùn)用模塊內(nèi)容。在教學(xué)中整合一階方程的求解、高階方程的求解、一階方程組的求解；優(yōu)化一階（高階）微分方程解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解的連續(xù)性定理等內(nèi)容；加強(qiáng)Laplace變換方法、級(jí)數(shù)解方法、攝動(dòng)法三種方法求解常微分方程方面內(nèi)容的講解；補(bǔ)充Mathematic、Maple、Matlab三大軟件求解微分方程或者描繪微分方程解曲線(xiàn)，判別解的定性與穩(wěn)定性問(wèn)題，以及講解實(shí)際問(wèn)題、建模實(shí)例的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

2.3 重視實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)

雖然不能完全參照滑鐵盧大學(xué)“常微分方程”課程的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)安排，但從課程教學(xué)效果角度來(lái)看，應(yīng)該在課程教學(xué)安排中明確規(guī)定應(yīng)有的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，課后作業(yè)也應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充些難度適中、實(shí)際生活背景強(qiáng)的一些實(shí)際問(wèn)題，尤其是當(dāng)下發(fā)生在學(xué)生身邊的熱點(diǎn)問(wèn)題。因?yàn)閷?duì)這些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的描述、認(rèn)識(shí)和分析，可以建立用常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型，對(duì)該微分方程進(jìn)行求解或定性分析，將結(jié)果用于解釋現(xiàn)象或預(yù)測(cè)及控制未來(lái)的發(fā)展。信息化時(shí)代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)輔助分析已深入到“常微分方程”的教學(xué)與研究中。求解線(xiàn)性微分方程需要用到的矩陣特征值、特征向量、行列式、指數(shù)函數(shù)計(jì)算、檢驗(yàn)微分方程組的平衡點(diǎn)、微分方程解曲線(xiàn)的繪制、Laplace變換方法應(yīng)用都要用到Mathematic、Maple、Matlab軟件輔助教學(xué)，而不同的軟件所用的函數(shù)命令也不相同（詳細(xì)函數(shù)命令請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］）。所以，充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)技術(shù)在“常微分方程”課程教學(xué)中的輔助作用，也應(yīng)視為該課程的一個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)。

2.4 改進(jìn)管理和考核方式

國(guó)內(nèi)的課程教學(xué)，從準(zhǔn)備上課材料、備課、上課、答疑、作業(yè)設(shè)置、批改作業(yè)、講解作業(yè)、期中測(cè)試、期末測(cè)試、成績(jī)的錄入都是由任課教師負(fù)責(zé)。由于所有學(xué)生的作業(yè)內(nèi)容一致、答案唯一，所以學(xué)生作業(yè)答案雷同現(xiàn)象嚴(yán)重，導(dǎo)致老師花了很多時(shí)間卻在做“無(wú)用功”。相比之下，滑鐵盧大學(xué)的常微分方程課程，其上課材料準(zhǔn)備、備課、上課、成績(jī)錄入這些是由任課教師完成，作業(yè)設(shè)置和期中期末測(cè)試由任課教師主導(dǎo)，TA（助教）協(xié)助完成；作業(yè)批改和講解及平時(shí)的Quize（小測(cè)驗(yàn)）有專(zhuān)門(mén)的一個(gè)TA負(fù)責(zé)，課程答疑有另一個(gè)專(zhuān)門(mén)的TA負(fù)責(zé)。而常微分方程課外學(xué)習(xí)作業(yè)則分為：assignment（作業(yè)）、quize（小測(cè)驗(yàn)）、report（報(bào)告）及presentation（陳述）。因其形式多樣、答案不唯一，學(xué)生抄作業(yè)現(xiàn)象很少；而且，作業(yè)成績(jī)占最后總成績(jī)比重很大?？疾旎F盧大學(xué)采取的“多方式、取總評(píng)”考核評(píng)價(jià)方式及其實(shí)施結(jié)果，筆者認(rèn)為課程考核分為平時(shí)出勤、作業(yè)完成、期中測(cè)試、小論文寫(xiě)作、實(shí)驗(yàn)報(bào)告、期末閉卷考試6個(gè)部分更合理。每個(gè)部分可以根據(jù)專(zhuān)業(yè)性質(zhì)不同設(shè)置不同的相應(yīng)比重，得到最后的總評(píng)。這樣的考核，其效果是既讓學(xué)生掌握了基本的理論知識(shí)，又注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，因此值得借鑒。

3 小結(jié)

通過(guò)對(duì)阜陽(yáng)師范學(xué)院和滑鐵盧大學(xué)“常微分方程”的課程設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與手段、實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)、考核方式等五個(gè)方面的對(duì)比分析，我們能夠得到關(guān)于“常微分方程”課程教學(xué)和改革方面的若干借鑒和啟示，在辯證分析兩者特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，取長(zhǎng)補(bǔ)短，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，不斷優(yōu)化課程教學(xué)目標(biāo)。一方面，借鑒國(guó)外課程教學(xué)方面的經(jīng)驗(yàn)做法，可使“常微分方程”的課程教學(xué)基于本科培養(yǎng)方案的前提下不斷提升課程效果和質(zhì)量，優(yōu)化本科“常微分方程”課程的教學(xué)目標(biāo)。另一方面，教師應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，針對(duì)“常微分方程”課程的特點(diǎn)，用科學(xué)發(fā)展的思維構(gòu)建系統(tǒng)的教學(xué)觀(guān)念、革新和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，豐富和創(chuàng)新教學(xué)方法、重視和增加實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)。如此，“常微分方程”課程方能適應(yīng)信息化時(shí)代的教育教學(xué)理念和要求，彰顯學(xué)科功能，培養(yǎng)出有創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的專(zhuān)門(mén)應(yīng)用人才。

[1]羅 丹，王光秀.中外大學(xué)PBL教學(xué)模式比較研究[J].桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2016，30（1）：110-112．

[2]岳宗敏．“常微分方程”課程的三段式分層教學(xué)模式探析[J].中國(guó)電力教育，2009，128（1）：47-48．

[3]馮艷青．“常微分方程”課程教學(xué)中研究性教學(xué)模式的探索[J].科技信息，2011，（9）：118,89．

[4]崔仁浩，劉 萍．“常微分方程”課程啟發(fā)式教學(xué)初探[J].繼續(xù)教育研究，2016，（3）：119-121．

[5]宋旭霞.常微分方程范例教學(xué)的研究[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，24（1）：100-103,45．

[6]汪 凱.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的常微分方程案例教學(xué)設(shè)計(jì)[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，36（3）：86-89,101．

[7]程亞煥，崔紅雨.數(shù)學(xué)文化在常微分方程教學(xué)中的滲透[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，36（2）：78-80．

[8]陳文彥，馬紅鋁.國(guó)內(nèi)外工科院校高等數(shù)學(xué)教材比較研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31（3）：42-45．

[9]王振國(guó).本科院?！冻Ｎ⒎址匠獭氛n程的教學(xué)改革與實(shí)踐[J].教育理論與實(shí)踐，2015，21（35）：56-57．

[10]容志新，李艷會(huì).計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件在常微分方程中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代計(jì)算機(jī)(專(zhuān)業(yè)版)，2008，（4）：7-9．

Analysis of course teaching on“Ordinary Differential Equations”between Chinese and Canadian colleges and universities

ZHOU Xia
(School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China)

By comparing and analyzing the five aspects of“Ordinary Differential Equations”course teaching in curriculum provision,content of course,teaching methods and media,experimental sections,evaluation mode between Fuyang Normal University and University of Waterloo,exploring the new thinking,some experience and advice are provided for teaching reform of“Ordinary Differential Equation”.Thus,we should adopt its good points and avoid its shortcomings,optimizing course arrangement and teaching mode,establishing systemic teaching idea,integrating content of course,paying attention to experiment part, ameliorating management style and evaluation mode,improving student’s interest in learning,training the ability to learn and use knowledge,to realize the application-oriented and innovative-oriented training goal.

Ordinary Differential Equations;course teaching;Chinese and Canadian colleges and universities

G642

：A

：1004-4329（2016）04-118-06

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-118-06

2016-09-30

安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（皖教秘人［2014］181號(hào)）；阜陽(yáng)師范學(xué)院中青年骨干教師項(xiàng)目(校人職[2016]2號(hào))；阜陽(yáng)師范學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目（2014JXTD01）資助。

周 霞（1981- ），女，博士，副教授，研究方向：隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性。