王華寧， 宋 飛， 蔣明鏡

(1. 同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院, 上海 200092; 2. 山西省交通科學(xué)研究院 黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山西 太原 030006； 3. 山西省交通科學(xué)研究院 黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山西 太原 030006； 4. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院, 上海 200092)

流變巖體中支護(hù)圓形隧道施工過(guò)程的時(shí)效理論解

王華寧1,2,3， 宋 飛1， 蔣明鏡4

(1. 同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院, 上海 200092; 2. 山西省交通科學(xué)研究院 黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山西 太原 030006； 3. 山西省交通科學(xué)研究院 黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山西 太原 030006； 4. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院, 上海 200092)

針對(duì)水平和豎向地應(yīng)力不相等的一般地應(yīng)力條件下圓形隧道的斷面開(kāi)挖、縱向推進(jìn)及襯砌施工問(wèn)題，用任意黏彈性模型模擬不同巖石流變特性，用與時(shí)間相關(guān)的開(kāi)挖函數(shù)模擬隧道斷面開(kāi)挖過(guò)程，用虛擬支護(hù)力等效縱向開(kāi)挖效應(yīng)，并在隧道開(kāi)挖完成后的任意時(shí)刻施加彈性支護(hù).采用復(fù)變函數(shù)方法和拉普拉斯變換技術(shù)給出用復(fù)位勢(shì)表達(dá)的邊界條件和圍巖、襯砌接觸位置協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)于復(fù)位勢(shì)中待定項(xiàng)系數(shù)的方程.通過(guò)求解方程確定待定項(xiàng)系數(shù)，從而得到開(kāi)挖與支護(hù)整個(gè)施工過(guò)程任意時(shí)刻圍巖位移和應(yīng)力理論解答，并與相同條件下有限元解進(jìn)行了對(duì)比.根據(jù)解答分析了圍巖位移和應(yīng)力的分布規(guī)律以及襯砌施加時(shí)刻對(duì)圍巖位移和應(yīng)力的影響.根據(jù)現(xiàn)有解析程序，可以形成快速預(yù)測(cè)隧道施工力學(xué)狀態(tài)的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，方便、快捷地進(jìn)行相似工程條件下的初步設(shè)計(jì).

隧道； 支護(hù)； 黏彈性； 施工過(guò)程； 理論解

地下工程施工是一個(gè)長(zhǎng)期過(guò)程，當(dāng)考慮巖土體流變特性時(shí)，流變時(shí)效和施工過(guò)程疊加，使圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)的力學(xué)狀態(tài)與時(shí)間相關(guān)，因此，隧道設(shè)計(jì)中需要考慮施工過(guò)程和巖土體時(shí)效特性，以便合理預(yù)測(cè)并控制圍巖位移與應(yīng)力.圓形斷面隧道無(wú)論在TBM (Tunnel Boring Machine)工法還是鉆爆法施工中都最為常見(jiàn)[1]；任意形狀的非圓形隧道也可近似等效為圓形截面進(jìn)行初步計(jì)算[2].解析方法可以用于工程初步設(shè)計(jì)，方便、快捷地計(jì)算全域各點(diǎn)的應(yīng)力、位移，揭示各參量的內(nèi)在機(jī)理，并可檢驗(yàn)數(shù)值計(jì)算的正確性[3].

在支護(hù)深埋圓形洞室問(wèn)題的理論分析中，Savin[4]給出單向拉伸情況下無(wú)限平板彈性支護(hù)與孔口完全接觸和光滑接觸情況下的應(yīng)力彈性解.蔣斌松[5]針對(duì)空間軸對(duì)稱(chēng)襯砌結(jié)構(gòu)和荷載的情形給出了考慮地下襯砌分段施工彈性問(wèn)題的解析解.為考慮施加襯砌前圍巖已發(fā)生的位移，Li等[6-7]引入與圍巖半徑相關(guān)的系數(shù)ε，利用復(fù)變函數(shù)方法給出帶內(nèi)壓支護(hù)圓形壓力隧洞應(yīng)力和位移彈性解.Lu等[8]引入圍巖位移釋放系數(shù)η，用復(fù)變函數(shù)方法推導(dǎo)出雙向不等壓、帶襯砌的彈性理論解答.當(dāng)考慮掌子面縱向推進(jìn)效應(yīng)，Carranza-Torres等[9]引入釋放系數(shù)fR，推導(dǎo)出雙向不等壓情況下圍巖與襯砌完全接觸和光滑接觸2種情況的彈性解.

對(duì)黏彈性問(wèn)題，理論解大多針對(duì)水平和豎向地應(yīng)力相等的軸對(duì)稱(chēng)情況.Sulem等[10]將圍巖模擬為Kelvin-Voigt模型,給出支護(hù)隧道支護(hù)力和位移的解析解.當(dāng)考慮隧道縱向施工空間效應(yīng)時(shí)，劉保國(guó)等[11]將釋放荷載看成時(shí)間的函數(shù)，將圍巖和襯砌模擬為黏彈性材料，用拉普拉斯變化法推演了均勻地應(yīng)力下圓形洞室圍巖與支護(hù)之間相互作用的時(shí)效規(guī)律.Fahimifar等[12]通過(guò)引入λ系數(shù)模擬掌子面的影響，用Burgers模型模擬巖石蠕變，推得隨時(shí)間變化的圍巖位移和應(yīng)力.Nomikos等[13]考慮襯砌施加時(shí)刻，將圍巖模擬為Burgers黏彈性體，給出軸對(duì)稱(chēng)情況下支護(hù)隧道位移和支護(hù)力的理論解.在實(shí)際工程中，隧道斷面開(kāi)挖并非一次成型.當(dāng)考慮施工順序時(shí)，王華寧等[14-15]針對(duì)黏彈性巖體中單層和雙層支護(hù)圓形隧洞的施工問(wèn)題，利用拉普拉斯變換和逆變換給出考慮施工順序時(shí)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的黏彈性理論解.以上軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的求解相對(duì)簡(jiǎn)單，但實(shí)際中水平和豎向地應(yīng)力不一定相等(雙向不等壓)，此時(shí)徑向支護(hù)力隨角度不再是定值，一般情況下存在切向支護(hù)力，且兩者均為時(shí)間的函數(shù)，求解復(fù)雜.對(duì)雙向不等壓支護(hù)圓形洞室問(wèn)題，焦春茂等[16]認(rèn)為支護(hù)前隧道孔邊只有彈性變形,用積分算子法得到黏彈性與彈性解的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并利用該關(guān)系得到圍巖應(yīng)力和位移黏彈性理論解.卞躍威等[17]考慮掌子面縱向推進(jìn)效應(yīng)，利用支護(hù)隧洞的彈性解和對(duì)應(yīng)原理得到黏彈性解析解.以上研究中沒(méi)有考慮斷面開(kāi)挖過(guò)程.對(duì)大斷面的隧洞，除存在垂直于斷面的縱向開(kāi)挖(掌子面的推進(jìn))，斷面也非一次成型.鉆爆法常采用斷面分部開(kāi)挖，而TBM施工可采用分次擴(kuò)孔的方式.當(dāng)隧道斷面逐步開(kāi)挖時(shí)，邊界隨時(shí)間變化，不可以直接應(yīng)用對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行求解.

本文在前期研究[14-15]基礎(chǔ)上，嘗試導(dǎo)出水平和豎向地應(yīng)力不相等的一般地應(yīng)力條件下黏彈性巖體中圓形隧道開(kāi)挖和支護(hù)過(guò)程中應(yīng)力、位移的理論解答.在推導(dǎo)中隧道為先受力、后開(kāi)挖，考慮了任意縱向推進(jìn)速度、任意時(shí)刻施加襯砌和斷面的擴(kuò)孔式開(kāi)挖過(guò)程，并采用任意黏彈性模型模擬不同巖石的黏彈性流變特性.

1 力學(xué)模型

在針對(duì)黏彈性巖體中圓形隧道施工力學(xué)分析的理論推導(dǎo)中，為避免在數(shù)學(xué)上求解的困難，必須對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行一定簡(jiǎn)化，假定：①深埋隧道，可忽略重力梯度效應(yīng)[18]；豎向和水平向地應(yīng)力分別為p0，λp0，其中λ為側(cè)壓力系數(shù).②圍巖為均勻、各向同性黏彈性材料.圖1給出3種常用黏彈性模型，可以模擬不同類(lèi)型巖石在不同應(yīng)力水平下的流變特性，例如廣義開(kāi)爾文模型可以模擬在較低應(yīng)力水平下巖石的穩(wěn)態(tài)蠕變階段.其中GH，GK為不同彈性元件的剪切模量；ηH，ηK為不同黏性元件的黏性系數(shù).③襯砌處于彈性階段.④隧洞斷面在t=0時(shí)刻開(kāi)始開(kāi)挖，用開(kāi)挖函數(shù)Rd(t)表征斷面的任意開(kāi)挖過(guò)程.開(kāi)挖函數(shù)Rd(t)選用如下形式：

(1)

式中：t為時(shí)間(t=0為隧道開(kāi)挖時(shí)刻)；t0為開(kāi)挖完成時(shí)刻；R(t)為根據(jù)斷面開(kāi)挖過(guò)程確定的函數(shù)；R1為開(kāi)挖完成后洞口的半徑.若t0=0則表示斷面瞬時(shí)開(kāi)挖完畢，即R(t)=R1.開(kāi)挖完畢后t=t1時(shí)刻施加襯砌.⑤在實(shí)際施工中，縱向并非一次成型，受掌子面空間效應(yīng)的影響，簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題時(shí)，可以認(rèn)為作用在研究斷面上的釋放荷載與縱向推進(jìn)過(guò)程相關(guān)[11].為避免考慮縱向開(kāi)挖(掌子面推進(jìn))時(shí)三維計(jì)算的困難，用作用在研究截面內(nèi)邊界的虛擬支護(hù)力σr，f(t)和σrθ，f(t)等效縱向推進(jìn)的三維效應(yīng)[9]：

(2)

a麥克斯維爾模型b開(kāi)爾文模型c廣義開(kāi)爾文模型

圖1 黏彈性模型

Fig.1 Viscoelastic physical models

所以可以將該問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題，力學(xué)模型和坐標(biāo)系如圖2所示.對(duì)存在剪切地應(yīng)力情況，可認(rèn)為其主應(yīng)力為p0，λp0，將本文中坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)至主方向，則文中解答也可適用.襯砌厚度d=R1-R2.理論推導(dǎo)中符號(hào)規(guī)定與彈性力學(xué)相同，即拉應(yīng)力為正，與極坐標(biāo)方向一致的位移為正.

圖2 力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model

2 黏彈性問(wèn)題應(yīng)力與位移的復(fù)位勢(shì)表達(dá)

采用復(fù)變函數(shù)理論結(jié)合拉普拉斯變換技術(shù)進(jìn)行黏彈性問(wèn)題求解.若φ(k)和ψ(k)為第k組外載對(duì)應(yīng)的2個(gè)黏彈性復(fù)位勢(shì)，文獻(xiàn)[19]對(duì)應(yīng)力邊值問(wèn)題給出黏彈位移(ux,(k)v和uy,(k)v)、應(yīng)力(σx,(k)v，σy,(k)v和σxy,(k)v)與復(fù)位勢(shì)φ(k)，ψ(k)的關(guān)系如下：

(3)

(4)

表1 剪切松弛模量Tab.1 Shear relaxation moduli for the viscoelastic models

假設(shè)l組外載分別在t=tb1,tb2,…,tbl時(shí)刻開(kāi)始作用于結(jié)構(gòu)，并分別在t=tm1,tm2,…,tml時(shí)刻移除，根據(jù)黏彈性問(wèn)題疊加原理[20]和卷積的拉普拉斯變換性質(zhì)，t(t≥tbl)時(shí)刻的總響應(yīng)為之前所有荷載分別作用于結(jié)構(gòu)而引發(fā)的在t時(shí)刻響應(yīng)的疊加，由式(3)得總位移(ux,v和uy,v)為

(5)

其中

(6)

由式(4)得增量應(yīng)力(σx,v，σy,v和σxy,v)為

(7)

3 施工全過(guò)程力學(xué)狀態(tài)的求解

3.1 隧洞開(kāi)挖階段的位移與應(yīng)力

襯砌施加之前(0≤t

(8)

(9)

由黏彈性問(wèn)題疊加關(guān)系，式(8)疊加支護(hù)力作用下圍巖的位移解答可用于支護(hù)階段圍巖的位移計(jì)算，式(9)疊加支護(hù)力作用下圍巖的應(yīng)力解答可用于支護(hù)階段圍巖的應(yīng)力計(jì)算.

3.2 支護(hù)階段圍巖、襯砌位移與應(yīng)力的復(fù)位勢(shì)表達(dá)

施加襯砌后，由于圍巖與襯砌間的相互作用將在接觸處產(chǎn)生支護(hù)面力.設(shè)該面力單獨(dú)作用于圍巖洞口時(shí)圍巖對(duì)應(yīng)的復(fù)位勢(shì)為φR和ψR(shí)；而單獨(dú)作用于襯砌結(jié)構(gòu)時(shí)襯砌對(duì)應(yīng)的復(fù)位勢(shì)為φS和ψS.根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)，可以用羅朗級(jí)數(shù)表示如上4個(gè)復(fù)位勢(shì)[8].

圍巖對(duì)應(yīng)的復(fù)位勢(shì)為

(10)

襯砌對(duì)應(yīng)的復(fù)位勢(shì)為

(11)

式中：ak，bk，ck，dk，ek，fk(k=1,2,3,…,∞)為與時(shí)間相關(guān)的待定系數(shù).因?yàn)橐r砌在t=t1時(shí)刻才施加，所以引入新時(shí)間變量t′=t-t1表達(dá)以上復(fù)位勢(shì).由于襯砌尚處彈性階段，根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論可得襯砌位移和應(yīng)力的表達(dá)式(t′≥0，即t≥t1).

位移為

uSr(z,t′)+iuSθ(z,t′)=

(12)

應(yīng)力為

(13)

式中：GS，KS分別為襯砌的剪切和體積模量.此階段圍巖受地應(yīng)力和支護(hù)面力2組荷載作用，根據(jù)式(5)，圍巖位移可疊加得到：

uRr(z,t)+iuRθ(z,t)=uRr,(1)(z,t)+uRr,(2)(z,t′)+

(14)

其中

(15)

為支護(hù)面力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的圍巖位移.由于支護(hù)作用，圍巖產(chǎn)生的增量應(yīng)力為

(16)

支護(hù)階段圍巖應(yīng)力σRr與σRθ即為式(9)、式(16)的疊加.分析可知，只要得到式(10)、式(11)中的待定系數(shù)，即可獲得圍巖和襯砌在支護(hù)階段的應(yīng)力和位移場(chǎng).本文根據(jù)邊界條件和協(xié)調(diào)條件進(jìn)行復(fù)位勢(shì)系數(shù)求解.

3.3 復(fù)位勢(shì)系數(shù)的確定

(17)

(18)

位移協(xié)調(diào)條件為

(19)

將式(14)、式(8)、式(12)代入式(19)可得用復(fù)位勢(shì)表達(dá)的位移協(xié)調(diào)條件.式(19)含有卷積積分不易求解，且含有t,t′ 2個(gè)時(shí)間變量.為得到關(guān)于待定系數(shù)的代數(shù)方程，將所有時(shí)間變量統(tǒng)一為t′，然后針對(duì)t′對(duì)邊界條件式(17)、式(18)和協(xié)調(diào)條件式(19)進(jìn)行拉普拉斯變換.利用卷積拉普拉斯變換的性質(zhì)，式(19)處理后的結(jié)果為

(20)

(21)

將式(10)、式(11)代入式(17)、式(18)并進(jìn)行拉普拉斯變換可得關(guān)于復(fù)位勢(shì)待定項(xiàng)系數(shù)的另外2個(gè)方程：

(22)

(23)

令式(21)、式(22)、式(23)等式兩邊ekiθ項(xiàng)系數(shù)相等(k=-∞,…，+∞)，可以得到一系列關(guān)于復(fù)位勢(shì)待定項(xiàng)系數(shù)拉普拉斯變換量的代數(shù)方程.

通過(guò)式(21)兩邊ekiθ項(xiàng)系數(shù)相等(k=-∞,…，+∞)可得如下等式.對(duì)于e0有

(24)

對(duì)于eiθ有

(25)

對(duì)于e2iθ有

(26)

對(duì)于e3iθ有

(27)

對(duì)于e(k+2)iθ(k≥2)有

(28)

對(duì)于e-iθ有

(29)

對(duì)于e-kiθ(k≥2)有

(30)

通過(guò)式(22)兩邊ekiθ項(xiàng)系數(shù)相等(k=-∞,…,+∞)，對(duì)于e0有

(31)

對(duì)于eiθ有

(32)

對(duì)于e2iθ有

(33)

對(duì)于e(k+2)iθ(k≥1)有

(34)

對(duì)于e-kiθ(k≥1)有

(35)

通過(guò)式(23)兩邊ekiθ項(xiàng)系數(shù)相等(k=-∞,…，+∞)，對(duì)于e0有

(36)

對(duì)于eiθ有

(37)

對(duì)于e(k+1)iθ(k≥1)有

(38)

對(duì)于e-iθ有

(39)

對(duì)于e(-k-1)iθ(k≥1)有

(40)

3.4 解的退化驗(yàn)證

(41)

4 理論計(jì)算與有限元結(jié)果的對(duì)比

為檢驗(yàn)本文理論和解答的正確性，利用有限元軟件ANSYS進(jìn)行與理論解相同模型下的計(jì)算，將結(jié)果與理論解答進(jìn)行對(duì)比.在埋深300 m左右開(kāi)挖一圓形洞室，圍巖主要為泥巖和砂巖，重度γ=26.3 kN·m-3.根據(jù)埋深計(jì)算得到p0=7.89 MPa，側(cè)壓力系數(shù)λ=0.65[22].圍巖采用廣義開(kāi)爾文模型(圖1c)，根據(jù)反分析可得巖石參數(shù)：GH=550 MPa，GK=458 MPa，ηK=4 000 MPa·d[23].襯砌為混凝土材料，剪切模量為GS=10 000 MPa，泊松比μS=0.2.隧道斷面采用兩次擴(kuò)孔開(kāi)挖方式，初始洞型半徑R0=1 m(t=0)，最終洞型半徑R1=6 m(t=t0=2 d)，即式(1)中的Rd(t)為:

(42)

支護(hù)厚度d=300 mm，即R2=5.7 m.忽略三維效應(yīng)的影響.ANSYS軟件計(jì)算時(shí)，取第5天施加襯砌，通過(guò)復(fù)制面命令建立襯砌區(qū)域，提取圍巖與襯砌接觸處的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)編號(hào)得到節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)并將接觸處節(jié)點(diǎn)進(jìn)行x，y方向位移耦合；在求解過(guò)程中，通過(guò)單元的生死命令模擬隧道開(kāi)挖和施加襯砌的過(guò)程，由于建模時(shí)程序中設(shè)定了節(jié)點(diǎn)位移耦合，所以在激活襯砌單元的時(shí)候圍巖位移不會(huì)出現(xiàn)反彈現(xiàn)象.

由于結(jié)構(gòu)幾何和受力均是上下和左右對(duì)稱(chēng)，數(shù)值計(jì)算時(shí)取結(jié)構(gòu)的1/4，約束下邊界豎向位移和左邊界水平位移.計(jì)算范圍和有限元網(wǎng)格如圖3所示.圖4給出圍巖與襯砌接觸位置0°，45°和90°處的位移和應(yīng)力時(shí)程對(duì)比,其中ux，uy分別表示x，y方向的位移；σx，σy，σxy分別表示x,y方向的正應(yīng)力和切應(yīng)力.圖4中解析解與有限元解位移量相對(duì)誤差最大值為：1.24 mm，應(yīng)力絕對(duì)誤差最大值為0.256 MPa，誤差較小，表明解析解答正確.相比數(shù)值解，解析解能方便地更改幾何與物理參數(shù)，在應(yīng)用于初步設(shè)計(jì)中更為有效.

圖3 有限元計(jì)算模型及網(wǎng)格(單位：m)Fig.3 Model and mesh in FEM simulation (unit: m)

a 位移

b 應(yīng)力圖4 隧道孔口位置點(diǎn)處位移和應(yīng)力的有限元比較Fig.4 Comparison between analytical and FEM results on displacements and stresses for the points on the tunnel boundary

5 算例分析

為進(jìn)一步研究隧道開(kāi)挖和支護(hù)整個(gè)施工過(guò)程的位移、應(yīng)力的變化規(guī)律，現(xiàn)取一算例進(jìn)行分析.巖石和襯砌參數(shù)、斷面開(kāi)挖方式與第4節(jié)相同.隧道縱向推進(jìn)速率取vl=4 m·d-1.為與工程慣用符號(hào)一致，算例中位移和應(yīng)力均與公式中符號(hào)相反，即：指向洞心位移位正；壓應(yīng)力為正.算例分析中的位移為開(kāi)挖后的增量位移；應(yīng)力為全應(yīng)力.

5.1 襯砌施加時(shí)刻對(duì)位移、應(yīng)力分布的影響

取4種襯砌施加時(shí)刻：①t1=2 d，即挖完立即支護(hù)；②t1=5 d；③t1=10 d；④t1=20 d.圖5、圖6分別給出位移基本穩(wěn)定時(shí)刻(t=65 d)，圍巖與襯砌接觸位置(r=6 m)處的位移與應(yīng)力分布圖.圖5可看出，圍巖徑向位移從0°到90°逐漸增大，環(huán)向位移先增大后減小，其中在45°處達(dá)到最大，徑向位移的總體量值比環(huán)向位移大.圖6可看出，圍巖徑向和環(huán)向正應(yīng)力隨角度增大而減小，其中環(huán)向正應(yīng)力數(shù)值較大，量值變化更劇烈，而徑向正應(yīng)力隨角度變化非常平緩.圍巖切應(yīng)力隨角度先增大后減小，在45°處達(dá)到最大，但總體量值不大.從圖5、圖6可看出，在不同襯砌施加時(shí)刻，圍巖位移和應(yīng)力分布形態(tài)大致相同，但襯砌施加越早，圍巖位移越小，圍巖與襯砌接觸處徑向正應(yīng)力和切應(yīng)力越大，而環(huán)向正應(yīng)力越小，即圍巖處于更安全的狀態(tài).對(duì)于本文算例，在不同襯砌施加時(shí)刻,穩(wěn)定后圍巖位移的差別為30%左右；而徑、環(huán)向正應(yīng)力量值差別接近，即從比例上講，初砌施加時(shí)刻對(duì)徑向正應(yīng)力影響更加明顯.

a 徑向位移

b 環(huán)向位移圖5 隧道內(nèi)邊界處位移在不同襯砌施加時(shí)刻隨角度的變化Fig.5 Displacements on the tunnel boundary versus the angle at four installation times

a 徑向正應(yīng)力

b 環(huán)向正應(yīng)力

c 切應(yīng)力圖6 隧道內(nèi)邊界處應(yīng)力在不同襯砌施加時(shí)刻隨角度的變化Fig.6 Stresses on the tunnel boundary versus the angle at four installation times

5.2 襯砌施加時(shí)刻對(duì)位移、應(yīng)力時(shí)程變化的影響

仍取上述4種襯砌施加時(shí)刻，圖7、圖8給出4種情況在圍巖與襯砌接觸位置θ=45°處的位移與應(yīng)力時(shí)程.從圖7可看出，第1次擴(kuò)孔該處位移很小，第2次擴(kuò)孔后圍巖位移在施加襯砌前迅速增大,施加襯砌后增長(zhǎng)速度明顯減緩.施加襯砌時(shí)刻越早，施加襯砌后圍巖位移需更長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)定.圖8為圍巖應(yīng)力時(shí)程圖.該處徑向正應(yīng)力和切應(yīng)力第1次擴(kuò)孔后較大，第2次擴(kuò)孔后瞬間減少，施加襯砌之后均逐漸增大；環(huán)向正應(yīng)力第1次擴(kuò)孔后較小，第2次擴(kuò)孔后瞬間增大，施加襯砌后逐漸減小，最后均趨于穩(wěn)定；由于縱向推進(jìn)的影響，圍巖受到虛擬支護(hù)力作用，所以施加襯砌前圍巖徑向正應(yīng)力和切應(yīng)力并不等于零，同時(shí)環(huán)向正應(yīng)力也表現(xiàn)出漸變形態(tài)，5 d之后，即與掌子面距離大于20 m，縱向推進(jìn)基本不再產(chǎn)生影響.襯砌施加時(shí)刻越早，各應(yīng)力至穩(wěn)定所需要時(shí)間越長(zhǎng).解答可以給出整個(gè)施工過(guò)程中圍巖任意位置位移和應(yīng)力隨時(shí)間變化，用以預(yù)測(cè)并控制圍巖的位移，特別是施加初砌后圍巖的位移量；可以明確各點(diǎn)應(yīng)力路徑.

a 徑向位移

b 環(huán)向位移圖7 不同襯砌施加時(shí)刻隧道內(nèi)邊界θ=45°處位移隨時(shí)間的變化Fig.7 Displacements versus time on the tunnel boundary (θ=45°) at different liner installation times

a 徑向正應(yīng)力

b 環(huán)向正應(yīng)力

c 切應(yīng)力圖8 不同襯砌施加時(shí)刻隧道內(nèi)邊界θ=45°處應(yīng)力隨時(shí)間的變化Fig.8 Stresses versus time on the tunnel boundary (θ=45°) at different liner installation times

6 結(jié)論

利用平面彈性復(fù)變函數(shù)方法和拉普拉斯變換，考慮隧道縱向推進(jìn)的影響，推導(dǎo)了水平和豎向地應(yīng)力不相等的一般地應(yīng)力條件下黏彈性巖體中圓形隧洞開(kāi)挖和支護(hù)過(guò)程的理論解答.給出的解答可適用于任何黏彈性模型的巖體、任意縱向推進(jìn)速度和擴(kuò)孔式開(kāi)挖方式、任意時(shí)刻施加初砌的情況.位移、應(yīng)力解答與相同模型的有限元解答進(jìn)行對(duì)比，誤差較小.對(duì)某地下隧道施工模擬分析表明:加初砌后的徑向位移隨時(shí)間呈指數(shù)形式增長(zhǎng)且最終穩(wěn)定于某一數(shù)值，不同襯砌施加時(shí)刻圍巖位移、應(yīng)力的分布和形態(tài)大致相同，襯砌施加時(shí)刻越早，支護(hù)力越大，相應(yīng)穩(wěn)定后的圍巖位移量越小，但所需穩(wěn)定時(shí)間越長(zhǎng).襯砌施加時(shí)刻對(duì)圍巖與襯砌接觸位置的徑向正應(yīng)力影響更明顯，不同襯砌施加時(shí)刻穩(wěn)定后位移的差別為30%左右.通過(guò)本文解答可以得到整個(gè)施工過(guò)程中各點(diǎn)位移、應(yīng)力隨時(shí)間變化關(guān)系.

[1] 劉泉聲, 黃興, 時(shí)凱, 等. 煤礦超千米深部全斷面巖石巷道掘進(jìn)機(jī)的提出及關(guān)鍵巖石力學(xué)問(wèn)題[J]. 煤炭學(xué)報(bào), 2012, 37(12): 2006.

LIU Quansheng, HUANG Xin, SHI Kai,etal. Utilization of full face roadway boring machine in coal mines deeper than 1 000 km and the key rock mechanics problems[J]. Journal of China Coal Society, 2012, 37(12):2006.

[2] 李培楠, 劉俊, 蘇鋒, 等. 任意形狀隧道圍巖應(yīng)力與位移的解析延拓求解[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2013, 41(1):1483.

LI Peinan, LIU Jun, SU Feng,etal. Analytical continuation method for solving stress and displacement of surrounding rock buried tunnel excavation with arbitrary shape section[J]. Journal of Tongji University: Natural Science, 2013, 41(1):1483.

[3] Carranza-Tores C, Fairhurst C. The elasto-plastic response of underground excavations in rock masses that satisfy the Hoek-Brown failure criterion[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science and Geomechanics Abstract, 1999, 36(99): 777.

[4] Savin G N. Stress concentration around holes[M]. London: Pergamon Press, 1961.

[5] 蔣斌松. 地下襯砌的變幾何應(yīng)力分析[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 1999, 1(1): 44.

JIANG Binsong. On stress analysis of geometrically altered underground structures[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1999, 1(1):44.

[6] Li S C, Wang M B. An elastic stress-displacement solution for a lined tunnel at great depth[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2008, 45(4): 486.

[7] Wang M B, Li S C. A complex variable solution for stress and displacement field around a lined circular tunnel at great depth[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2009, 33(3): 939.

[8] Lu A Z, Zhang L, Zhang N. Analytic stress solutions for a circular pressure tunnel at pressure and great depth including support delay[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2011, 8(3): 514.

[9] Carranza-Torres C, Rysdahl B, Kasim M. On the elastic analysis of a circular lined tunnel considering the delayed installation of the support[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2013, 61(10): 57.

[10] Sulem J, Panet M, Guenot A. An analytical solution for time-dependent displacements in a circular tunnel[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences &Geomechanics Abstracts, 1987, 24(87): 155.

[11] 劉保國(guó), 杜學(xué)東. 圓形洞室圍巖與結(jié)構(gòu)相互作用的黏彈性解析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2004, 23(4): 561.

LIU Baoguo, DU Xuedong. Visco-elastical analysis on interaction between supporting structure and surrounding rocks of circle tunnel[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(4): 561.

[12] Fahimifar A, Tehrani F M, Hedayat A,etal. Analytical solution for the excavation of circular tunnels in a visco-elastic Burger’s material under hydrostatic stress field[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2010, 25(4): 297.

[13] Nomikos P, Rahmannejad R, Sofianos A. Supported axisymmetric tunnels within linear viscoelastic burgers rocks[J]. Rock Mechanics & Rock Engineering, 2011, 44(5): 553.

[14] 王華寧, 曹志遠(yuǎn), 李?lèi)? 考慮斷面及縱向施工效應(yīng)時(shí)支護(hù)圓形洞室黏彈解析分析[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2011, 33(8): 1159.

WANG Huaning, CAO Zhiyuan, LI Yue. Analytic researches on lined circular tunnels in viscoelastic rock mass considering effects of cross-section and longitudinal construction[J]. Chinese Joural of Geotechnical Engineering, 2011, 33(8): 1159.

[15] Wang H N, Li Y, Ni Q. Analytical solutions for the construction of deeply buried circular tunnels with two liners in rheological rock[J]. Rock Mechanics & Rock Engineering, 2013, 46(6): 1481.

[16] 焦春茂, 呂愛(ài)鐘. 黏彈性圓形巷道支護(hù)結(jié)構(gòu)上的荷載及其圍巖應(yīng)力的解析解[J]. 巖土力學(xué), 2004(S1): 103.

JIAO Chunmao, LU Aizhong. Analytical solution of loads on supporting structure for circular tunnel and stresses in viscoelastic surrounding rock[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004(S1): 103.

[17] 卞躍威, 夏才初, 肖維民, 等. 非靜水壓力場(chǎng)中考慮應(yīng)力釋放的圓形隧道黏彈性解[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2013, 32(S2): 3455.

BIAN Yuewei, XIA Caichu, XIAO Weimin,etal. Viscoelastic solution of circular tunnel under asymmetric hydrostatic pressure considering stress release[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2013, 32(S2): 3455.

[18] 蘇鋒, 陳福全, 施有志. 深埋雙隧洞開(kāi)挖的解析延拓法求解[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2012, 31(2): 365.

SU Feng, CHEN Fuquan, SHI Youzhi. Analytic continuation solution of deep twin-tunnels[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2012, 31(2): 365.

[19] 王華寧, 蔣明鏡, 何平. 流變巖體中橢圓洞室斷面開(kāi)挖過(guò)程的力學(xué)分析[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2013, 35(11): 1979.

WANG Huaning, JIANG Mingjing, HE Ping. Analytical solutions for elliptical tunnels in rheological rock considering excavation [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(11): 1979.

[20] 楊挺青. 黏彈性力學(xué)[M]. 武漢：華中理工大學(xué)出版社，1990.

YANG Tingqing. Viscoelastic mechanics[M]. Wuhan: Huazhong University of Science Press, 1990.

[21] 何平, 王華寧.深埋圓形壓力隧洞施工過(guò)程的黏彈性解析解[J]. 力學(xué)季刊, 2012, 33(1): 45.

HE Ping, WANG Huaning. Analytical viscoelastic solution of deeply buried circular tunnel considering excavation process[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2012, 33(1): 45.

[22] 張寧. 巖體初始地應(yīng)力場(chǎng)發(fā)育規(guī)律研究[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 2002.

ZHANG Ning. Study on the current crustal stress field in the rockmass[D]. Hangzhou: Zhejiang University，2002.

[23] Feng X T, Chen B R, Yang C X,etal. Identification of visco-elastic models for rocks using genetic programming coupled with the modified particle swarm optimization algorithm[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2006, 43(5): 789.

Analytical Solutions for the Construction of Circular Tunnel Accounting for Time-dependent Characteristic of the Rheological Rock

WANGHuaning1, 2, 3,SONGFei1,JIANGMingjing4

(1. School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Key Lab of Highway Construction & Maintenance Technology in Loess Region, Ministry of Transport, PRC, Shanxi Transportation Research Institute, Taiyuan 030006, China; 3. Shanxi Key Laboratory of Highway Construction & Maintenance Technology in Loess Region, Shanxi Transportation Research Institute, Taiyuan 030006, China; 4. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

The problems of lined circular tunnel construction subject to non-hydrostatic initial stresses were considered, accounting for cross-section excavation, longitudinal advancement, and any installation time of the elastic liner. In the derivation, linear viscoelastic models were adopted to simulate the rheological properties of the rock, time dependent excavation process and fictitious stresses were considered to simulate sequential excavation and tunnel advancement, respectively. According to the complex variable method and Laplace transform technique, the boundary and compatibility conditions were expressed by the two potentials, and the equations with respect to the coefficients in potentials were established afterwards. The analytical solutions for stress and displacement were then provided for the whole construction process after the determination of the coefficients by solving these equations. A good agreement between results from Finite Element Method and the analytical solutions had been obtained. Based on analytical solutions, a comprehensive parametrical analyses were then carried out to investigate the distribution discipline of displacements and stresses of the rock, as well as the influence of liner installation time on displacements and stresses of the rock. According to presented solutions, a fast predicting system for the mechanical state of the rock can be obtained and the ones provide much convenient way for preliminary design of tunnel construction.

tunnel; support; viscoelastic; sequential construction; analytical solution

2016-02-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(11572228，51639008)；黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(KLTLR-Y13-15)；國(guó)家“九七三”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃 (2014CB046901)

王華寧(1975— ),女，教授，博士生導(dǎo)師，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)閹r土工程數(shù)值與解析方法. E-mail: wanghn@#edu.cn

TU435

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