葛 婷， 符鋅砂， 李海峰， 龍立敦

(1. 華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院, 廣東 廣州 510640； 2. 蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院, 江蘇 蘇州 215011；3. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院, 湖南 長沙 410007)

公路空間幾何特性對汽車運動影響

葛 婷1,2， 符鋅砂1， 李海峰3， 龍立敦1

(1. 華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院, 廣東 廣州 510640； 2. 蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院, 江蘇 蘇州 215011；3. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院, 湖南 長沙 410007)

從三維的角度采用曲率、撓率代替?zhèn)鹘y(tǒng)平、縱線形設(shè)計參數(shù)對公路中心線的空間幾何特性進行描述，并在Frenet標(biāo)架的基礎(chǔ)上，將汽車視為剛體，從微觀角度建立了以三維線形指標(biāo)曲率、撓率為控制量的汽車空間運動模型.結(jié)合已有設(shè)計資料，對公路線形的空間幾何特性對汽車運動的影響進行了詳細(xì)分析.研究發(fā)現(xiàn)曲率的設(shè)置對汽車行駛起主導(dǎo)作用，撓率的影響相對較小；傳統(tǒng)路線設(shè)計方法忽略了平、縱線形的耦合使得組合線形的曲率、撓率的連續(xù)性存在不同程度的衰減，直接影響到行車運動狀態(tài)的平穩(wěn)變化和行車舒適性水平.

公路； 空間幾何特性； 曲率； 撓率； Frenet標(biāo)架； 運動學(xué)

汽車在道路上行駛時，駕駛員所關(guān)心的主要是車輛的加速、制動、轉(zhuǎn)向方面的運行平穩(wěn)性和行駛舒適性，在自由流條件下，這些運動特性主要受前方視野一定范圍內(nèi)的線形幾何特性影響.傳統(tǒng)公路幾何設(shè)計將帶狀公路濃縮為一條空間曲線，分別對其平面和縱斷面投影進行相應(yīng)設(shè)計，然后組合形成中心線.關(guān)鍵線形設(shè)計參數(shù)如最小半徑、最大縱坡等的確定僅考慮汽車單方向的行駛特性，忽略了其他方向的交互作用和對駕駛員生理、心理的影響，相應(yīng)設(shè)計規(guī)范對線形組合也僅作了模糊規(guī)定，無法在實踐中執(zhí)行，使得汽車在曲線路段因失穩(wěn)和操作不當(dāng)而發(fā)生車禍的現(xiàn)象時有發(fā)生.隨著公路運輸向高速化、人性化的發(fā)展，線形條件對行車安全性及舒適性的影響愈加敏感.

近10多年來，各國學(xué)者逐漸意識到忽略公路三維線形本質(zhì)對行車安全和舒適性所帶來的嚴(yán)重影響，并嘗試從三維角度對現(xiàn)行路線設(shè)計方法和交通安全進行改進和提高[1-3].公路線形設(shè)計要素與汽車運動特性的關(guān)系模型是公路線形設(shè)計的理論基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵幾何線形指標(biāo)確定的依據(jù)，目前相關(guān)學(xué)者主要從以下3個方面展開研究：一是根據(jù)路段實測數(shù)據(jù)統(tǒng)計回歸建立線形幾何要素與運行速度之間的關(guān)系模型，進而從宏觀角度確定和分析線形幾何要素變化對汽車運動特性和行車安全的影響，Misaghi等[4]對常用的運行速度預(yù)測模型進行了詳細(xì)的總結(jié)和分析；二是通過對車輛模型適當(dāng)簡化，結(jié)合汽車運動學(xué)和動力學(xué)建立理論分析模型，如目前廣泛使用的速度與圓曲線半徑的關(guān)系模型即是將車輛假設(shè)為質(zhì)點通過汽車平面轉(zhuǎn)彎時的受力分析建立的[5]，國內(nèi)一些學(xué)者還建立了可能運行速度預(yù)測模型[6]、理論運行速度模型[7]；三是借助于專業(yè)的軟件，結(jié)合自身需求進行相應(yīng)的模型設(shè)置，在此基礎(chǔ)上對線形幾何要素與汽車運動特性進行動態(tài)分析和評價[8].但上述研究均是建立在傳統(tǒng)二維線形幾何要素簡單疊加的基礎(chǔ)上，鮮有建立平、縱線型組合后的空間線形對汽車運動特性的影響分析，關(guān)于公路真三維線形設(shè)計和現(xiàn)有二維設(shè)計方法存在的具體不足仍待進一步研究.

為此，本文從公路本身是一條可供車輛及其使用者行駛的空間三維曲線這一本質(zhì)入手，利用微分幾何曲線論中的曲率、撓率代替二維平、縱線形設(shè)計指標(biāo)對公路中心線的空間幾何特性進行描述.在Frenet標(biāo)架基礎(chǔ)下結(jié)合新建的公路三維線形指標(biāo)對汽車的空間運動進行分析，建立曲率、撓率與速度、加速度、急動度之間的關(guān)系模型.

1 公路空間幾何特性描述指標(biāo)

公路中心線數(shù)學(xué)上可表示為一條三維空間曲線r(l)=[x(l),y(l),z(l)]，其中參數(shù)l表示弧長，即樁號；x(l)，y(l)，z(l)為曲線上任一點的坐標(biāo)函數(shù).傳統(tǒng)公路中心線通過不同平、縱線形單元組合得到，而平、縱線形單元又由不同的基本線形要素構(gòu)成.取中心線上任一點P，該點位于第i個平面單元和第j個縱斷面單元中，如圖1所示，R為平曲線半徑，α為方位角，kp為P點的平面曲率，lis和lie分別為第i個平面單元起、終點樁號，kpis和kpie分別是第i個平面單元起、終點平面曲率，ijs和ije分別為第j個縱斷面單元起、終點縱坡，ljs和lje分別為第j個縱斷面單元起、終點樁號.在平、縱線形中取相同微分單元dl，得P點坐標(biāo)如下：

(1)

a 公路平、縱線形組合示意

b 第i單元平面線形及平面曲率

c 第j單元縱斷面線形及坡度圖1 公路線形示意Fig.1 Schematic diagram of highway alignment

二維平面曲線的形狀完全由其平面曲率唯一決定，而縱斷面線形主要由縱坡變化情況確定.但平、縱線形組合后的空間曲線的形狀難以根據(jù)平面曲率和縱坡直觀反映，兩者之間的耦合效果無法量化.根據(jù)曲線論可知，三維曲線的空間走向和形狀可完全由其基本幾何不變量曲率和撓率確定.其中，曲率表示曲線彎曲的程度，撓率是刻畫曲線空間彎曲狀況的另一個重要的幾何量，表示空間曲線相對于平面的扭轉(zhuǎn)程度.故可將三維空間中的曲線理解為將一根直線通過彎曲(曲率)和扭轉(zhuǎn)(撓率)得到[9]，見圖2，其中，κ為曲率，τ為撓率.當(dāng)撓率為零時，該曲線為二維平面內(nèi)的曲線，其形狀完全由曲率唯一決定.因此，本文采用曲率、撓率這2個三維線形指標(biāo)代替?zhèn)鹘y(tǒng)二維線形參數(shù)來客觀描述公路中心線的空間幾何特性.根據(jù)微分幾何，曲率和撓率的計算如下：

(2)

圖2 空間曲線生成示意Fig.2 Generation of the spatial curves

將式(1)代入曲率和撓率計算公式中，可建立傳統(tǒng)二維設(shè)計要素平面曲率、縱坡和三維線形指標(biāo)曲率、撓率之間的關(guān)系模型，如式(3)所示：

(3)

2 汽車空間運動模型

為了準(zhǔn)確地對汽車空間運動進行數(shù)學(xué)描述，必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.圖3為汽車的空間運動分析時所需的全局坐標(biāo)系和車輛坐標(biāo)系.全局坐標(biāo)系為固定慣性坐標(biāo)系OXYZ，位于路線起點，其3個方向的單位矢量分別為i，j，k.車輛坐標(biāo)系為原點OC固定于車輛重心處，并隨車輛一起移動的動坐標(biāo)系OCXCYCZC，見圖3，其中，3個坐標(biāo)軸依次指向車輛前進方向、橫向彎道一側(cè)和垂直這2個方向構(gòu)成的

豎向方向；α，β，γ分別對應(yīng)車輛的側(cè)傾角、俯仰角和橫擺角.路線設(shè)計時假定汽車沿公路中心線行駛，則汽車重心軌跡在空間上與公路中心線相互平行，其線形構(gòu)成數(shù)學(xué)上均可用r(l)進行描述.空間曲線上任意一點處可定義一個由單位切矢量T、單位主法矢量N和單位副法矢量B構(gòu)成的Frenet標(biāo)架[10].該Frenet標(biāo)架與上述定義的車輛坐標(biāo)系重合，各個方向的單位矢量如下：

(4)

研究分析時將汽車視作剛體，其空間運動由平移和旋轉(zhuǎn)共6個自由度構(gòu)成，分別為沿T方向的縱向移動、沿N方向的側(cè)向移動、沿B方向的豎向運動，以及繞T軸的側(cè)傾運動、繞N軸的俯仰運動和繞B軸的橫擺運動(見圖3).平移運動可由其重心在全局坐標(biāo)系OXYZ中的位置矢量r(l)=[x,y,z]T表示；旋轉(zhuǎn)運動可視為Frenet標(biāo)架相對于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動，采用旋轉(zhuǎn)角[α,β,γ]表示.通過轉(zhuǎn)換矩陣可將車輛運動從全局固定坐標(biāo)系OXYZ轉(zhuǎn)化至車輛坐標(biāo)系OCXCYCZC中進行分析，見下式：

(5)

通過上述轉(zhuǎn)換將汽車空間運動進行了簡化分析，只需考慮汽車在車輛坐標(biāo)系中的空間平移運動.理論上道路中心線可看成是汽車重心隨時間變化的行駛軌跡，數(shù)學(xué)上可表示為一條三維空間曲線r(l)=[x(l),y(l),z(l)]T.在幾何意義上，曲率表示曲線的單位切矢量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度，撓率表示空間曲線的副法矢量相對于弧長的轉(zhuǎn)動速度，則有

(6)

將式(4)中的T,N和B對l求導(dǎo)，結(jié)合式(6)，即可得到T，N，B三軸隨弧長的變化情況，即Frenet-Serret公式[11]，如式(7)所示.

(7)

由此可知，當(dāng)Frenet標(biāo)架確定后，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣和旋轉(zhuǎn)角也隨之確定.Frenet標(biāo)架和曲率、撓率一樣是空間曲線的基本幾何不變量，曲率、撓率可以完全確定一條空間曲線形狀，而Frenet標(biāo)架可以完整、唯一地表示沿空間曲線運動過程中狀態(tài)方向的變化.故以Frenet標(biāo)架為基礎(chǔ)，將公路線形幾何特性對汽車空間運動的影響分析轉(zhuǎn)換為汽車重心軌跡隨公路線形變化時相應(yīng)的汽車運動狀態(tài)的變化進行研究.數(shù)學(xué)上，曲線相對于路徑參數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是速度，二階導(dǎo)數(shù)是加速度.結(jié)合Frenet標(biāo)架，將r(l)對時間t求導(dǎo)，建立汽車運動指標(biāo)與公路線形幾何特征指標(biāo)κ，τ和Frenet標(biāo)架之間的關(guān)系模型，如下式所示：

圖3 參考坐標(biāo)系Fig.3 Reference coordinate system

(8)

由此可知，公路線形幾何特性對汽車行駛過程中各個方向的運動起主要控制作用.以側(cè)向加速度和豎向急動度為例，當(dāng)曲率為零時，空間上為一條直線，此時側(cè)向加速度為零，不存在沿側(cè)向移動的趨勢；隨著曲率增大，曲線彎曲越明顯，產(chǎn)生的側(cè)向加速度也越大(見圖4a).當(dāng)撓率為零時，空間上為一直線，此時不會產(chǎn)生豎向振動；當(dāng)曲率、撓率均不為零時，汽車除會產(chǎn)生側(cè)向運動的趨勢外，還會產(chǎn)生沿豎向偏離平面運動的趨勢，撓率絕對值越大，車偏離TN構(gòu)成的密切面的旋轉(zhuǎn)速度也越大(見圖4b).即汽車空間運動變化并不是單個曲率或撓率的作用，而是兩者耦合的作用.考慮到公路線形設(shè)計的需要，與平面曲率類似，引入正負(fù)號來反映空間曲率的彎曲方向，空間曲率小于零、大于零分別意味著沿切線方向前進時逆時針(向左)或順時針(向右)轉(zhuǎn)動.

a 側(cè)向加速度

b 速率為100 km·h-1的豎向急動度圖4 三維線形參數(shù)與汽車運動學(xué)指標(biāo)之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between 3-D geometric parameters and kinematics indexes

3 實例分析

為了明確傳統(tǒng)公路線形空間幾何特性對汽車運動特性的影響，本文以設(shè)計速度為100 km·h-1的某段公路為例進行研究分析，具體平、縱線形設(shè)計資料見圖5，結(jié)合式(3)計算得到組合線形的曲率、撓率見圖6.假定汽車分別以100，80，60 km·h-13種速度沿該路段行駛，可得到相應(yīng)的運動學(xué)指標(biāo)變化情況(以側(cè)向加速度和豎向急動度為例)，如圖7.

根據(jù)式(3)可知，公路線形空間幾何特性的變化主要與平面曲率、縱坡及其變化率有關(guān)，平面、縱斷面線形設(shè)計僅簡單地滿足了平面曲率、縱坡的連續(xù)，并沒有保證平面曲率變化率、縱坡變化率的連續(xù)以及平縱線形組合后的空間曲線的幾何連續(xù)性.由圖6中橢圓標(biāo)示出的部分路段可以明顯看出二維設(shè)計和三維組合的不同，在二維平縱線形要素變化處，組合線形的空間曲率和撓率存在不同程度突變，空間線形的連續(xù)性存在不同程度的衰減.尤其當(dāng)平面直線段直接與圓曲線段連接不設(shè)緩和曲線時，在直圓和圓直點處，曲率跳躍最為明顯，見圖6a橢圓標(biāo)示出的K17+000～K18+000中間路段，這充分說明了現(xiàn)行道路設(shè)計方法在平面線形中增設(shè)緩和曲線不僅可以實現(xiàn)平面曲率的連續(xù)，還可以降低空間曲線曲率的突變量；但當(dāng)緩和曲線與豎曲線組合時，在豎曲線要素變化處緩和曲線的過渡作用被削弱，曲率、撓率均存在明顯的突變.由此可見，組合線形不是簡單的平、縱疊加，線形組合的空間耦合效果可通過曲率和撓率進行合理評估和分析.

a 平面線形設(shè)計資料

b 縱斷面線形設(shè)計資料圖5 公路平、縱線形設(shè)計資料Fig.5 Horizontal and vertical alignments of highway

a 空間曲率

b 撓率圖6 公路線形空間曲率與撓率Fig.6 Curvature and torsion of highway alignments

a vT=100 km·h-1時aN與l之間的關(guān)系

b vT=100 km·h-1時JB與l之間的關(guān)系

c vT=80 km·h-1時aN與l之間的關(guān)系

d vT=80 km·h-1時JB與l之間的關(guān)系

e vT=60 km·h-1時aN與l之間的關(guān)系

f vT=60 km·h-1時JB與l之間的關(guān)系圖7 以不同速率行駛時的運動學(xué)指標(biāo)變化情況Fig.7 Changes of vehicle kinematics indexes with different speeds

結(jié)合式(8)中的運動學(xué)模型可知，一條路徑是否可供汽車穩(wěn)定行駛主要由路徑的曲率和撓率決定，其中曲率起主要控制作用，撓率主要影響車輛豎向急動度變化.傳統(tǒng)設(shè)計方法建立的組合線形的曲率、撓率的不連續(xù)會直接影響到車輛的操作，使得側(cè)向加速度和急動度也會產(chǎn)生急劇變化.目前國內(nèi)外諸多學(xué)者均采用加速度及急動度作為行車安全與舒適性的評價指標(biāo)，并對駕駛員行駛過程中所能忍受的最大加速度及急動度進行了詳細(xì)的研究[12-13].根據(jù)已有實測數(shù)據(jù)和我國公、鐵路線形設(shè)計中的一般規(guī)定，綜合確定行車舒適性的運動學(xué)指標(biāo)的閾值分別為：aN,com=1.0 m·s-2，jN,com=0.6 m·s-3，jB,com=0.24 m·s-3，其中，aN,com，jN,com，jB,com分別為側(cè)向加速度、側(cè)向急動度和豎向急動度舒適性閾值.由圖7可知，當(dāng)汽車以設(shè)計速度100 km·h-1穩(wěn)定行駛時，K17+000處由于空間曲率過小，相應(yīng)的側(cè)向加速度超過了行車舒適性的閾值(圖7a)，圖6a橢圓標(biāo)示出的K16+000和K17+500～K18+000中間路段曲率不連續(xù)，則該處的側(cè)向加速度存在跳躍突變，使得側(cè)向急動度遠(yuǎn)超0.6 m·s-3閾值；圖7中豎向急動度雖未超過行車舒適性閾值，但由于K15+000和K16+000處撓率的突變，使得豎向急動度也產(chǎn)生了突變.力學(xué)上急動度的突變會形成沖擊力，輕則影響行車舒適性，重則影響運動系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，對行車安全構(gòu)成威脅[14-15].為保證行車安全和舒適，建議在K15+000～K17+500處需限速60 km·h-1.由此可見，現(xiàn)行路線設(shè)計方法忽略了平、縱線形空間耦合的影響，使得組合線形的曲率、撓率的連續(xù)性存在不同程度的衰減，并不能滿足汽車穩(wěn)定行駛和行車舒適的要求.

4 結(jié)語

從三維角度采用曲率、撓率描述公路組合線形的空間幾何特性，研究發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)平、縱線形設(shè)計方法并不能保證組合線形的連續(xù)性，在二維線形要素變化處，組合曲線的曲率和撓率存在不同程度的衰減.在Frenet標(biāo)架基礎(chǔ)上對汽車空間運動進行了分析，建立了三維線形指標(biāo)曲率、撓率與汽車空間運動指標(biāo)速度、加速度、急動度之間的關(guān)系模型，模型表明公路三維線形中的曲率對汽車空間運動狀態(tài)起主導(dǎo)作用，撓率僅與豎向急動度變化有關(guān).為保證汽車運行的平穩(wěn)性，公路線形設(shè)計時應(yīng)至少保證二階幾何連續(xù)，即曲率連續(xù).結(jié)合已有道路數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)平縱分離式路線設(shè)計方法并不能滿足汽車穩(wěn)定行駛和行車舒適性的要求，公路線形設(shè)計必須考慮線形的空間幾何特性.建立的空間運動模型可為運營期局部路段限速值的確定以及后續(xù)公路真三維設(shè)計提供理論參考.

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Influence of Spatial Geometric Properties of Highway Alignments on Vehicle Kinematics

GETing1,2,FUXinsha1,LIHaifeng3,LONGLidun1

(1. School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China; 2. School of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China; 3. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410007, China)

Firstly, curvature and torsion instead of traditional two-dimensional (2-D) horizontal and vertical indexes were used to describe the spatial geometric properties of highway alignment according to the curve theory of differential geometry. Then the vehicle was treated as a rigid body and a new motion model was established with the curvature and torsion as the control variables base on the Frenet Frame. Finally, an example was analyzed to demonstrate the influence of spatial geometric properties of an existing highway on vehicle kinematics. It is found that the setting of curvature plays a leading role in the spatial motion, while the torsion affects the motion less. The coupling effects of horizontal and vertical alignments were ignored during traditional design process, which led to the continuity degradation of curvature and torsion, and directly affected the smooth variation of vehicle motion and driving comfort.

highway; spatial geometric properties； curvature; torsion; Frenet Frame; kinematics

2015-06-11

國家自然科學(xué)基金(51278202，51408229)

葛 婷(1987—),女,工學(xué)博士,主要研究方向為道路設(shè)計理論與方法、交通安全.E-mail:geting_happy@163.com

李海峰(1980—),男,副教授,工學(xué)博士,主要研究方向為道路設(shè)計理論與方法、三維GIS.E-mail:lihaifeng@csu.edu.cn

U412.3

A