周衛(wèi)東，鄭 蘭，廖成毅，蔡佳楠

（1．哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001；2．中國船舶及海洋工程設計研究院，上海200011；3．中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽合肥230088）

多重狀態(tài)時滯系統(tǒng)的min-max魯棒預測控制

周衛(wèi)東1，鄭 蘭1，廖成毅2，蔡佳楠3

（1．哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001；2．中國船舶及海洋工程設計研究院，上海200011；3．中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽合肥230088）

針對一類帶有擾動、多重狀態(tài)時滯的凸多面體不確定離散非線性系統(tǒng)，基于預測控制理論提出一種minmax魯棒預測控制算法。將模型預測控制問題描述為一類無限時域min-max優(yōu)化問題；采用LMI技術把此問題轉變?yōu)橐活惒捎肔MI描述的約束問題，設計了狀態(tài)反饋控制器；運用所給信息構造一個改進的Lyapunov-Krasovskii泛函，根據(jù)模型預測控制基本原理來求解此優(yōu)化問題，同時給出了控制器存在的定理及相關證明，進而獲得所設計控制器存在的新判據(jù)及狀態(tài)反饋矩陣構造方法，在此基礎上給出了魯棒模型預測控制算法流程。最后，給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸進魯棒穩(wěn)定定理，理論及仿真分析驗證了控制器設計的可行性及系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性。

非線性擾動；多重狀態(tài)時滯；離散非線性系統(tǒng)；狀態(tài)反饋控制；模型預測控制；線性矩陣不等式

模型預測控制（model predictive controlMPC）具有模型預測、滾動優(yōu)化和反饋校正三個主要特性。對模型要求低、設計簡單、魯棒性強而且能夠有效的處理狀態(tài)、控制等方面的約束問題，在工業(yè)界受到廣泛的關注［1］。

在實際生產(chǎn)過程中不確定性與擾動是不可避免且無法預知的，而魯棒預測控制因其既具備魯棒控制的優(yōu)點，可以處理模型的不確定性，又兼具預測控制的滾動優(yōu)化思想，彌補了經(jīng)典MPC的不足，因此得到學者們的極大重視［2-8］。文獻［2］基于LMI方法給出了一類具有時變時滯、輸入約束和擾動的離散系統(tǒng)的控制器設計方法；文獻［3］解決了前提不匹配情況下T-S模糊時滯系統(tǒng)的控制器設計問題，該文降低了設計的保守性；文獻［4-5］針對具有輸入約束的離散時滯系統(tǒng)通過LMI技術研究了一種魯棒模型預測控制器設計方法，但是在時滯為常數(shù)時研究的；文獻［6］采用魯棒預測控制方法研究了一類帶有非線性擾動的多重時滯不確定系統(tǒng)的控制律設計問題，但所考慮的系統(tǒng)為連續(xù)的；文獻［7］解決了一類帶有區(qū)間時滯的離散非線性系統(tǒng)的預測控制器設計問題；文獻［8］研究了一類時滯為多重的不確定離散線性系統(tǒng)的控制器設計方法，所提方法保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可行性。然而，有關多重狀態(tài)時滯與擾動同時存在的不確定離散非線性系統(tǒng)的魯棒預測控制問題還有待進一步研究。本文在文獻［7-8］的基礎上，討論了一類既具有非線性擾動又同時存在多重狀態(tài)時滯的不確定離散非線性系統(tǒng)的魯棒預測控制器設計問題。

1 問題描述與預備知識

記號:Rn為n維歐幾里德空間，Rn×m為n×m維實矩陣的集合，In為n×n維單位矩陣。符號?代表相應的對稱塊矩陣，即如果H，R是對稱矩陣，則

考慮如下一類具有多重狀態(tài)時滯和非線性擾動的不確定離散非線性系統(tǒng):

式中:x（k）∈Rnx是系統(tǒng)的狀態(tài)，u（k）∈Rnu為系統(tǒng)的輸入，f（x（k），x（k-d1），…，x（k-dm））是非線性擾動，為方便表述，令fk:=f（x（k），x（k-d1），…，x（k-dm）），且滿足:

式中:0＜d1＜…＜dm表示系統(tǒng)的時滯，x（k）= φ（k），-dm≤k≤0是系統(tǒng)的初始條件。系統(tǒng)（1）中的系統(tǒng)矩陣是未知的，并且可以表示成凸組合的形式，即

其中

式中:Co表示由L個頂點［A01A11…Am1B01］，…，［A0LA1L…AmLB0L］構成的凸多面體集，即存在L個非負系數(shù)0≤λi（k）≤1（i=1，2，…，L），使得

系統(tǒng)（1）的模型預測控制問題可描述為如下問題:設計一種魯棒預測控制器使所研究系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定同時獲得下面的魯棒性能指標，即需要考慮如下min-max優(yōu)化問題:

式中:Q1＞0為性能指標中狀態(tài)的對稱加權矩陣，R＞0為控制的對稱加權矩陣表示k時刻對k+j時刻輸入的預測表示k時刻對k+j時刻狀態(tài)的預測，并且有

式（6）表示未來控制輸入的無限時域和系統(tǒng)預測狀態(tài)的二次魯棒性能指標，式（7）表示系統(tǒng)的狀態(tài)預測模型。

針對系統(tǒng)（1），設計如下的狀態(tài)反饋控制律:

控制目標:求取所設計控制器中的增益矩陣K，并要求控制輸入使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

針對系統(tǒng)（1），構造如下的Lyapunov-Krasovskii函數(shù):

假設在每一個k≥d1時刻是可測量的。在k時刻，假設對所有的［A0（k） A1（k）…Am（k） B（k）］∈Ω，i≥0，有下式成立:

其中

為了使J∞(k)有界，令因此將不等式（10）兩邊同時從j=0到 j=∞求和，可得

因此:

根據(jù)本文所需先給出下面的兩個引理。

引理1［9］（Schur補）矩陣不等式:

式中:Q( x)=QT(x)，R( x)=RT(x)，S( x)是關于x的仿射函數(shù)，則式（13）等價于:1）Q( x)＞0，R( x)-ST(x)Q-1(x)S( x)＞0；2）R( x)＞0，Q( x)-S( x)R-1(x)ST(x)＞0。

引理2［10］設W0(x)和W1(x)都是關于x∈Rn的二次函數(shù)，如果對任意的x∈Rn-{0}，有W1(x)＜0，并且存在常數(shù)ρ＞0使得

W0(x)-ρW1(x)＜0， x≠0（14）

成立，則有W0(x)＜0。

2 控制器設計及穩(wěn)定性分析

2．1 基于LMI的模型預測控制器設計

定理1考慮含有延時的離散不確定時滯系統(tǒng)（1），同時令為采樣k時刻狀態(tài)x（k）的測量值。如果存在標量γ（k）＞0，ρ＞0，對稱的正定矩陣Q，Qdi，P0，Pd1，…，Pdm和適當維數(shù)的矩陣Y滿足下述形式的LMI優(yōu)化問題，那么一定存在狀態(tài)反饋控制律u滿足性能目標（10），其中狀態(tài)反饋增益K=YQ-1。

其中

證明:由于式（9）是性能指標的上界，可以通過求解下面的問題把這個界減至最低:

其中，

應用Schur補，式（18）可寫為

將式（19）分別左乘和右乘矩陣diag( I，P)，則有

則不等式（16）成立。下面將證明不等式（17）成立。

取Lyapunov-Krasovskii函數(shù)（9），對它求差分有

則

其中

通過計算:

進一步:

把式（22）～（24）代入到式（21），有

其中

考慮式（10）和u（k）=Kx（k），設

其中，Θ2=diag( Pd1-P0+Q1+KTRK，-Pd1，…，-Pdm，0)又因為式（2）可以寫成:

其中

根據(jù)引理2，存在數(shù)λ＞0使得W0(x)-λW1(x)＜0成立，則W0(x)＜0，即

其中

再利用Schur補有

其中

又因為式關于系統(tǒng)矩陣滿足［A0（k） A1（k）…Am（k） B（k）］∈Ω，根據(jù)凸集的基本性質，式（31）成立當且僅當對凸包Ω的每個頂點都成立，即式（31）成立當且僅當式（17）成立。

2．2 控制算法

綜合上面的控制器設計過程，系統(tǒng)（1）的控制算法如下:

1）測量當前時刻系統(tǒng)的狀態(tài)x（k），并獲得過去時刻的狀態(tài)x（k-1），…，x（k-d1），…，x（k-dm）；

3）選擇適當?shù)膶ΨQ正定矩陣Q1和R；

4）定義優(yōu)化問題（5）～（7）中的各個變量，標量γ（k）＞0，ρ＞0，正定對稱矩陣Q，Qdi，P，Pd1，…，Pdm和適當維數(shù)的矩陣Y；

5）用MATLAB中的LMI工具箱求解優(yōu)化問題（5）～（7），得到最優(yōu)解γ（k），ρ，Y，Q，Qdi，P0，Pd1，…，Pdm；

6）計算出狀態(tài)反饋預測控制控制器增益矩陣K=YQ-1；

8）令k=k+1，重復步驟1）～7）。

2．3 可行性與穩(wěn)定性分析

引理3［11］（可行性） 如果定理1中該優(yōu)化問題在k時刻是可行的，那么它對所有k+j，j＞0都是可行的。

定理2如果優(yōu)化問題（5）～（7）在k時刻是可行的，則由定理1給出的狀態(tài)反饋控制器u（k）= Kx（k）使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定。

證明由引理3可知最優(yōu)化問題（5）～（7）是可行的。所以假設分別表示最優(yōu)化問題（5）～（7）在k時刻和k+1時刻的最優(yōu)解，最優(yōu)狀態(tài)分別為和

由上述假設可知:

這里i=1，2，…，d1，…，dm。則有

又因為測量狀態(tài)

式（35）說明V( k｜k)是單調非增且有界的Lyapunov函數(shù)，當k→∞時，有x( k)→0。由離散Lyapunov穩(wěn)定性理論可以說明閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。

3 仿真結果與分析

考慮如下帶有非線性擾動、時滯和凸多面體不確定的離散非線性系統(tǒng):

其中

圖1 狀態(tài)x1(k)的時間響應曲線Fig．1 Time response of the state x1(k)

圖3是控制器曲線圖，可以看出在該控制器的作用下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的而且性能也很好。

4 結論

1）基于LMI技術及變量變換思想提出了一種min-max魯棒預測控制算法，將時域為無限時的最小、最大優(yōu)化問題轉換為一類凸優(yōu)化問題。解決了一類同時帶有多重狀態(tài)時滯、擾動和多面體不確定離散非線性系統(tǒng)的控制器設計問題。

2）算法通過利用所構造的改進的二次Lyapunov-Krasovskii泛函得到了所設計的控制器存在的新判據(jù)。應用LMI技術得到的魯棒預測控制器，保證了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，并分析了控制算法的可行性。

3）最后的仿真結果表明了該方法的有效可行。

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Min-max robust predictive control for multi-state time-delay systems

ZHOU Weidong1，ZHENG Lan1，LIAO Chengyi2，CAI Jianan3
（1．College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2．Marine Design and Research Institute of China，Shanghai 200011，China；3．China Electronics Technology Group Corporation No．38 Research Institute，Hefei 230088，China）

For a class of convex polyhedron uncertain discrete nonlinear systems with disturbance and multi-state time delays，a min-max robust predictive control algorithm is proposed based on the predictive control theorem．Firstly，the model prediction control problem is described as a class of min-max problems for an infinite time-domain．Then，using liner matrix inequalitie（LMI）technology，the problem is transformed into a constraint problem and a state feedback controller designed．An improved Lyapunov-Krasovskii function is constructed using information provided，and the optimization problem is solved based on model predictive control theory．At the same time，the theorem and its proofs for the existence of the designed controller are also given．Thus，new evidence for the existence of a designed controller and a design method for the state feedback matrix were obtained．Based on this，a flowchart of the robust model predictive controller is given．Finally，a robust asymptotic stable theory of the closedloop system is given．Theoretical analysis and simulation demonstrate the feasibility of the controller and the robust asymptotic stability of the system．

nonlinear perturbation；multi-state time-delay；discrete nonlinear system；state feedback control；model predictive control；liner matrix inequalitie

10．11990／jheu．201510071

http：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1390．u．20160928．0936．020．html

TP273

A

1006-7043（2016）12-1685-06

周衛(wèi)東，鄭蘭，廖成毅，等．多重狀態(tài)時滯系統(tǒng)的min-max魯棒預測控制［J］．哈爾濱工程大學學報，2016，37（12）:1685-1690．

2015-10-28．

2016-09-28．

國家自然科學基金項目（61102107；61374208）．

周衛(wèi)東（1966-），男，教授，博士生導師；

鄭蘭（1982-），女，博士研究生．

鄭蘭，E-mail:zhenglan000＠163．com．

ZHOU Weidong，ZHENG Lan，LIAO Chengyi，et al．Min-max robust predictive control for multi-state time-delay systems［J］．Journal of Harbin Engineering University，2016，37（12）:1685-1690．