韓蘭嵐

(廣州市第二中學(xué)，廣東 廣州市黃埔區(qū)水西路，510530)

運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性與參考系的選擇

韓蘭嵐?

(廣州市第二中學(xué)，廣東 廣州市黃埔區(qū)水西路，510530)

討論了運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性與選擇參考系之間的關(guān)系。對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的，描述物體的運(yùn)動(dòng)必須選擇參考系。選擇參考系的實(shí)質(zhì)是比較被觀測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)與參考系的差別，因此在不同的參考系中對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的描述是不一樣的。任何運(yùn)動(dòng)參量的測(cè)量值都必須有明確的參考系。在運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究中，可以選擇任何物體作為參考系。牛頓運(yùn)動(dòng)定律只在慣性參考系中成立，因此在動(dòng)力學(xué)的研究中，必須選擇地球或相對(duì)地球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體作為參考系。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)；坐標(biāo)系；參照物

1 引言

物體的空間位置隨時(shí)間的變化過(guò)程稱為機(jī)械運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，但對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述又是相對(duì)的。例如，坐在行駛中火車內(nèi)的乘客，相對(duì)于地面是運(yùn)動(dòng)的，但相對(duì)于火車卻是靜止的；而且還可以說(shuō)，相對(duì)于向前行駛的火車，地面正在向后運(yùn)動(dòng)。因此，研究物體運(yùn)動(dòng)必須選定參考系，物體相對(duì)于某一個(gè)參考系的運(yùn)動(dòng)才具有確定的意義。有關(guān)參考系的選擇問(wèn)題貫穿整個(gè)機(jī)械運(yùn)動(dòng)。例如，區(qū)分靜摩擦力和動(dòng)摩擦力的標(biāo)準(zhǔn)就是兩個(gè)相互接觸的表面是否有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而不管物體本身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是怎樣的。刻舟求劍的笑話就源自參考系的選擇，我們觀測(cè)到的天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律也與地球參考系密切相關(guān)。物體的機(jī)械能也與參考系的選擇有關(guān)，物體的重力勢(shì)能決定于零勢(shì)能參考面，甚至物體的動(dòng)能也與參考系有關(guān)。第一次世界大戰(zhàn)期間，一位法國(guó)飛行員在飛行時(shí)能安全地用手抓住一顆德軍射出的子彈，就是因?yàn)橄鄬?duì)于飛機(jī)，子彈的速度和動(dòng)能近似為零。

選擇參考系就是忽略參考系中所有參照物的運(yùn)動(dòng)，只注重所觀測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)參量中與參照物運(yùn)動(dòng)參量不同的部分，這就是相對(duì)性的本意。選擇不同的參考系來(lái)觀測(cè)同一物體的運(yùn)動(dòng)，結(jié)果會(huì)有所不同。參考系的選擇有一定的任意性，恰當(dāng)?shù)膮⒖枷禃?huì)使問(wèn)題變得容易處理。但有的時(shí)候，也對(duì)參考系有限制條件。本文討論參考系的選擇條件。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)中的參考系

2.1 兩個(gè)物體的位置、速度和加速度之間的相對(duì)關(guān)系

描述物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本物理量是位置（位移）、速度和加速度，研究這三個(gè)物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)。下面導(dǎo)出同一參考系中兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)參量之間的關(guān)系。

圖1 物體A和B的坐標(biāo)位置

如圖1所示，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)O，物體A和物體B的位置分別是xA和xB；相對(duì)于物體B，物體A的位置是xAB。這三個(gè)位置量之間有關(guān)系式

當(dāng)這兩個(gè)物體的位置發(fā)生變動(dòng)時(shí)，它們的位移之間有關(guān)系式

在等式（2）兩邊同時(shí)除時(shí)間Δt就得到平均速度關(guān)系式

等式（3）中的vA和vB分別表示物體A和物體B相對(duì)于坐標(biāo)系的速度，vAB表示物體A相對(duì)于物體B的速度。這個(gè)等式說(shuō)明，物體A相對(duì)于坐標(biāo)系的速度等于物體A相對(duì)于物體B的速度加上物體B相對(duì)于坐標(biāo)系的速度。如果將等式（3）移項(xiàng)后變?yōu)関AB=vA-vB，這個(gè)式子說(shuō)明，物體A相對(duì)于物體B的速度等于物體A的速度減去物體B的速度?；蛘哒f(shuō)，如果選擇B為參照物，則物體A相對(duì)于B的速度就是從A的速度中扣除與B相同的部分。

這個(gè)等式說(shuō)明，物體A相對(duì)于坐標(biāo)系的加速度aA等于物體B相對(duì)于坐標(biāo)系的加速度aB加上物體A相對(duì)于物體B的加速度aAB。或者說(shuō)，物體A相對(duì)于物體B的加速度等于物體A的加速度減去物體B的加速度。這幾個(gè)式子給出了一維運(yùn)動(dòng)中的關(guān)系，很容易推廣到二維和三維運(yùn)動(dòng)。

2.2 兩列相向行駛的火車

如圖2(a)所示，設(shè)有兩列長(zhǎng)度分別是lA和lB的火車A和B相向行駛，計(jì)算這兩列火車從相遇到經(jīng)過(guò)的時(shí)間。我們分勻速和勻加速兩種情況來(lái)計(jì)算這個(gè)時(shí)間。第一種情況，假設(shè)兩列火車相對(duì)于地面分別以速度vA和vB勻速相向行駛。

圖2 兩列相向行駛的火車

（1）如果選取地面為參考系，如圖2(b)所示，在時(shí)間t內(nèi)兩列火車行駛的路程的和等于兩車廂長(zhǎng)度的和

因此，兩列火車相互經(jīng)過(guò)的時(shí)間是

（2）如果選取列車B為列車A運(yùn)動(dòng)的參考系，如圖2(c)所示，由于列車B反向行駛，其速度應(yīng)該是-vB，因此由公式（3）可得列車A相對(duì)于列車B的速度是

兩車相互經(jīng)過(guò)時(shí)，A相對(duì)于B運(yùn)動(dòng)的路程是xAB= lA+ lB，因此兩車相互經(jīng)過(guò)的時(shí)間是

從等式（6）和（8）可以看出，無(wú)論選擇地面作為參考系還是選擇運(yùn)動(dòng)的物體作為參考系，所得的結(jié)論是一樣的。也就是說(shuō)，物理結(jié)論不會(huì)因?yàn)閰⒖枷档倪x擇而發(fā)生變化。

第二種情況，假設(shè)兩列火車相對(duì)于地面分別以加速度aA和aB從靜止開始勻加速行駛。（1）如果選取地面為參考系，與上面的圖2(b)所示情況一樣，在時(shí)間t內(nèi)兩列火車行駛的路程的和等于兩車廂長(zhǎng)度的和

因此，兩列火車相互經(jīng)過(guò)的時(shí)間是

（2）如果選取列車B為參考系，由于列車B沿與x軸相反的方向加速行駛，其加速度應(yīng)該是-aB，因此由公式（4）可得列車A相對(duì)于列車B的加速度是

兩車相互經(jīng)過(guò)時(shí)，A相對(duì)于B運(yùn)動(dòng)的路程是xAB= lA+ lB；因此，由A相對(duì)于B的運(yùn)動(dòng)方程得，A經(jīng)過(guò)B的時(shí)間是

等式（10）和（12）說(shuō)明，無(wú)論選取地面為參考系還是選擇加速運(yùn)動(dòng)的列車為參考系，所得的結(jié)論是一致的。

如果兩列火車沿相同的方向行駛，用相同的方法可以得出類似的結(jié)論。這個(gè)例子告訴我們，對(duì)于純運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題，可以選擇任何物體為參考系；選擇不同的參考系，對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述過(guò)程不同，但結(jié)論是一致的。具體選什么物體作為參考系應(yīng)視具體問(wèn)題而定。比如上面的例子，選擇運(yùn)動(dòng)的列車為參考系就使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。

3 動(dòng)力學(xué)中的參考系

3.1 牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用條件

動(dòng)力學(xué)研究的是物體受到的力與運(yùn)動(dòng)變化之間的關(guān)系。經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)是牛頓運(yùn)動(dòng)定律[1]。牛頓第一定律表明，如果物體沒(méi)有受到合外力的作用，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化，也就是沒(méi)有加速度。牛頓第二定律給出了物體的加速度與受到的合外力之間的等量關(guān)系，F(xiàn)合=ma 。當(dāng)F合=0時(shí)，有a=0，因此牛頓第一定律是第二定律的一種特例，所以動(dòng)力學(xué)的核心就是牛頓第二定律。任何定律都有其適用的范圍，超出該范圍，定律就不再成立。除了宏觀、低速的限制外，參考系的選擇也對(duì)牛頓運(yùn)動(dòng)定律提出了重要的限制條件，牛頓運(yùn)動(dòng)定律并非在任何參考系中都成立。如圖3所示，小球置于靜止的車廂內(nèi)，當(dāng)車廂啟動(dòng)向右加速行駛時(shí)，我們會(huì)看到小球沿桌面向左滾動(dòng)。如果選擇車廂為參考系，在水平方向沒(méi)有受到任何作用力的情況下，小球相對(duì)于桌面向左加速運(yùn)動(dòng)，這明顯違背了牛頓第一定律。但如果選擇地面為參考系，小球仍然靜止，與牛頓定律相符。我們將牛頓運(yùn)動(dòng)定律成立的參考系稱為慣性參考系，如果不考慮地球的轉(zhuǎn)動(dòng)，地球近似為慣性參考系。

圖3 靜止和加速運(yùn)動(dòng)的車廂

3.2 升降機(jī)內(nèi)的物體

如圖4所示，升降機(jī)的轎廂內(nèi)有一個(gè)體重計(jì)，一個(gè)質(zhì)量為m的物體放置在體重計(jì)上，當(dāng)升降機(jī)加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)體重計(jì)的讀數(shù)是多少。受地球引力作用，物體的重力是G = mg。體重計(jì)的讀數(shù)是物體對(duì)體重計(jì)的壓力，這個(gè)壓力是接觸面間的彈性力，與體重計(jì)對(duì)物體的支持力FN是一對(duì)作用力與反作用力。根據(jù)牛頓第三定律，體重計(jì)的讀數(shù)應(yīng)該等于FN。在重力和支持力的共同作用下，物體隨升降機(jī)在豎直方向相對(duì)于地面做加速運(yùn)動(dòng)。對(duì)于質(zhì)量為m的物體，選取地面為參考系，取向上為正，由牛頓第二定律得

因此體重計(jì)的讀數(shù)是

由等式（14）可知，當(dāng)升降機(jī)靜止或勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)N=mg ，這時(shí)體重計(jì)的讀數(shù)就是通常所說(shuō)的物體的重量；當(dāng)升降機(jī)加速上升時(shí)，F(xiàn)N＞mg，體重計(jì)的讀數(shù)大于物體的重量，這就是超重；當(dāng)升降機(jī)加速下降時(shí)，F(xiàn)N＜mg，這就是失重。

圖4 加速運(yùn)動(dòng)轎廂內(nèi)的物體

在這個(gè)例子中，選擇地面為參考系，計(jì)算的結(jié)論是很自然的結(jié)果。但如果選擇升降機(jī)為參考系，結(jié)果就費(fèi)解了。升降機(jī)向上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，體重計(jì)的讀數(shù)大于物體的重量；升降機(jī)向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，體重計(jì)的讀數(shù)小于物體的重量。也就是說(shuō)物體在豎直方向受到的合外力不等于零，但物體一直靜止在升降機(jī)內(nèi)，相對(duì)于升降機(jī)并沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，所以牛頓運(yùn)動(dòng)定律不成立。因此應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律時(shí)，必須選擇地面作為參考系。出于解決問(wèn)題的需要，如果非得選取其它參考系，就必須引入假想的慣性力來(lái)修正。例如，如果選擇轉(zhuǎn)動(dòng)的物體為參考系，就得引入假想的離心力。

4 相對(duì)論中的相對(duì)性與參考系

以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)的經(jīng)典力學(xué)只適用于做低速運(yùn)動(dòng)的宏觀物體，當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度接近于光速時(shí)，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再成立，此時(shí)應(yīng)該采用相對(duì)論來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)。在相對(duì)論中，運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性和參考系的選擇尤為重要。

圖5 運(yùn)動(dòng)車廂內(nèi)臺(tái)面的長(zhǎng)度

相對(duì)論的重要結(jié)論之一是物體的空間尺度隨運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化。如圖5所示，在一個(gè)相對(duì)于地面以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)有一個(gè)臺(tái)面，該臺(tái)面沿運(yùn)動(dòng)方向的長(zhǎng)度是多少？有兩種方法測(cè)量這個(gè)長(zhǎng)度：一是站在車廂內(nèi)測(cè)量，此時(shí)臺(tái)面相對(duì)于測(cè)量者靜止，設(shè)此時(shí)測(cè)量的長(zhǎng)度是l0；二是站在地面上測(cè)量，此時(shí)臺(tái)面相對(duì)于測(cè)量者向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)測(cè)量的長(zhǎng)度是l。狹義相對(duì)論告訴我們[2]，這兩個(gè)長(zhǎng)度之間有關(guān)系式

式子中的c表示光在真空中的傳播速度。由于物體的運(yùn)動(dòng)速度不可能大于光速，v＜c，所以有l(wèi)＜l0，這就是運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度縮短。理解這個(gè)式子的核心就是運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，l0是相對(duì)于物體靜止的觀測(cè)者測(cè)量的長(zhǎng)度，也就是物體相對(duì)于靜止參考系的長(zhǎng)度；l是相對(duì)于物體運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者測(cè)量的長(zhǎng)度，也就是物體相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參考系的長(zhǎng)度。因此，在提及物體的長(zhǎng)度時(shí)，必須明確是在什么參考系中測(cè)量的長(zhǎng)度。狹義相對(duì)論的另一個(gè)重要結(jié)論時(shí)間的相對(duì)性，也與這個(gè)相同，即在提及時(shí)間間隔時(shí)必須明確是在什么參考系中測(cè)量的時(shí)長(zhǎng)。

5 結(jié)論

運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，但對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述又是相對(duì)的，研究物體的運(yùn)動(dòng)必須選定參考系。選擇參考系的實(shí)質(zhì)是比較被觀測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)參量與參考系的參量的差異。在運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究中，可以選擇任何物體作為參考系，可以視具體的研究情況而定。選擇不同的參考系，對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述過(guò)程是不一樣的，但所得的物理結(jié)論是一致的。動(dòng)力學(xué)研究的理論基礎(chǔ)是牛頓運(yùn)動(dòng)定律，牛頓運(yùn)動(dòng)定律只在慣性參考系中成立，因此在動(dòng)力學(xué)研究中只能選取地面或相對(duì)于地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體作為參考系。如果非得選擇非慣性參考系，必須引入虛擬的慣性力作為修正。

[1] 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，1997

[2] 王正行.近代物理學(xué)(第二版)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2010

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2016-05-01

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