胡毓達

上海交通大學數(shù)學科學學院，上海 200240

阿羅不可能性定理和社會選擇的無矛盾性問題

胡毓達?

上海交通大學數(shù)學科學學院，上海 200240

2017年2月21日，國際著名數(shù)理經(jīng)濟學家、1972年度諾貝爾(Nobel)經(jīng)濟學獎獲得者阿羅(K. J. Arrow）于美國辭世。謹作此文，以紀念他在社會選擇理論, 特別是其中將有關數(shù)學應用于研究經(jīng)濟學領域發(fā)現(xiàn)的“阿羅不可能性定理”作出的重大貢獻。

社會選擇；阿羅不可能性定理；社會福利函數(shù)；社會決定函數(shù)；社會滿意函數(shù)

20世紀50年代初，阿羅在他的力作《社會選擇與個人價值》(Social Choice and Individual Values)中[1]，創(chuàng)建了后來以他的名字命名的“阿羅不可能性定理”。對于這一重大的學術成就，在西方曾有學者評論：“如果說1846年亞當斯(J. C.Adams, 1819—1892）和勒威耶(U. Le Verrier, 1811—1877）用數(shù)學方法發(fā)現(xiàn)海王星是數(shù)學在自然科學中的偉大勝利的話，那么1951年阿羅用數(shù)學推理發(fā)現(xiàn)的‘不可能性定理’則是數(shù)學在社會科學研究上的偉大勝利！”

本文介紹阿羅的治學歷程和他最重要的學術成果——在社會選擇理論研究中發(fā)現(xiàn)的“不可能性定理”及其意義。為了讓讀者對社會選擇的無矛盾性問題有較全面的了解，筆者同時簡述了這一領域的主要后續(xù)研究成果。

1 阿羅的生平和成就

肯尼斯?約瑟夫?阿羅(Kenneth Joseph Arrow)1921年8月23日出生于美國紐約市。他是羅馬尼亞裔猶太人，他的家庭非常重視教育。1940年他19歲在紐約城市學院完成大學本科學業(yè)，并獲得社會科學理學學士學位。由于在學校時主修了數(shù)學專業(yè)，這對他后來在數(shù)理經(jīng)濟學方面的成就起到了至關重要的作用。1941年6月，他進入哥倫比亞大學攻讀研究生。在統(tǒng)計學和經(jīng)濟學家哈羅德?霍特林(Harold Hotelling)教授的影響下，他選擇了經(jīng)濟學系。

1947年阿羅26歲時與塞爾瑪(S. Selma)結婚，他們生有兩個兒子。自1948年起，他開始了社會選擇理論的研究。1951年，阿羅出版了在他的博士學位論文基礎上完成的重要著作《社會選擇與個人價值》。在該書的扉頁上，題有“獻給我的妻子——塞爾瑪”，可見夫妻關系甚篤。塞爾瑪于2015年逝世。

1948年夏天以后，阿羅向考爾斯委員會告假去做蘭德(RAND)公司的研究顧問。在蘭德公司“令人振奮”的日子里，阿羅專注于當時新興的博弈論和數(shù)學規(guī)劃鉆研。以后，他的主要工作是研究社會選擇理論和帕萊托(Pareto)效率問題。1949年，阿羅被聘為斯坦福大學經(jīng)濟學和統(tǒng)計學助理教授，1968年成為經(jīng)濟學、統(tǒng)計學和運籌學教授。1956—1957年，他在美國經(jīng)濟顧問委員會研究中心任研究員，1962年擔任斯坦福大學經(jīng)濟學系主任，并且是美國總統(tǒng)經(jīng)濟顧問委員會成員。1963—1964年任丘吉爾學院(劍橋)研究員，1970年任客座教授，1968年被聘為哈佛大學經(jīng)濟學教授。

阿羅是二戰(zhàn)后新福利經(jīng)濟學理論研究的中心人物。1957年，阿羅獲美國經(jīng)濟學協(xié)會的約翰?貝茨?克拉克(John Bates Clark)獎章。由于在《社會選擇與個人價值》著作中對社會選擇理論作出的貢獻(特別是其中發(fā)現(xiàn)的“阿羅不可能性定理”)，以及在一般均衡理論(主要是阿羅-德布魯(Arrow-Debreu)存在性定理，1954年)方面的工作，使他與?？怂?J. R. Hicks)一起分享了1972年度諾貝爾經(jīng)濟學獎。1986年，他獲得管理科學與運籌學的馮?諾依曼(von Neumann)獎。2004年，基于在不完全信息和對方位風險決策問題研究上的成就，他獲得了美國國家最高科學榮譽的國家科學獎章。值得一提的是，他有5名學生也先后成為諾貝爾獎獲得者。

1956年，阿羅擔任美國計量經(jīng)濟學會會長。1959年，當選為美國藝術和科學院院士。同年，還被選為美國國家科學院和美國哲學學會會員以及計量經(jīng)濟學會、數(shù)理統(tǒng)計學會和美國統(tǒng)計協(xié)會的特別會員。1963年，阿羅任美國管理科學協(xié)會理事長。1967年和1972年分別被芝加哥大學和紐約城市大學授予榮譽學位，1971年被維也納大學授予社會學和經(jīng)濟學榮譽博士學位。1972年，他當選為美國經(jīng)濟學會會長以及國際經(jīng)濟協(xié)會主席。1995年則被瑞典烏普薩拉大學社會科學學院授予名譽博士學位。2006年，他被選為英國皇家學會外籍會員。

阿羅的主要貢獻是創(chuàng)建了福利經(jīng)濟學中社會選擇理論的基本定理、一般均衡理論和內生增長理論。此外，他的研究還涉及許多其他經(jīng)濟學領域的基礎工作，如風險承擔理論、一般競爭性分析、信息不對稱經(jīng)濟學、多準則決策、市場創(chuàng)新效率、收益遞增與經(jīng)濟分析、種族歧視經(jīng)濟學，以及醫(yī)療保健和醫(yī)療保險市場和抗瘧藥物經(jīng)濟學等。

自1968年起，阿羅一直在哈佛大學任職至1979年。之后，他回到斯坦福大學擔任經(jīng)濟學的瓊?肯尼(Joan Kenney）名譽教職和運籌學教授，直至1991年退休。

2017年2月21日，阿羅病逝于美國加利福尼亞的帕羅奧圖市，享年95歲。

下午，中國焊接協(xié)會召開了七屆四次理事會七屆七次常務理事（擴大）會，李連勝秘書長做了2018年工作報告。中國焊接協(xié)會各分支機構述職。李秘書長對每個分支機構述職都進行了總結、點評，并提出希望和要求。全體常務理事、理事鼓掌通過了張華副秘書長的“中國焊接協(xié)會2018年財年報告”以及吳九澎副秘書長的“關于調整中國焊接協(xié)會常務理事、理事的提案”報告。

2 阿羅不可能性定理

社會選擇理論是現(xiàn)代決策科學和福利經(jīng)濟學的一個重要交叉研究領域。它研究由多個“個人(個體)”組成的“社會(群體)”，對有關社會和經(jīng)濟中重大復雜的“(供選）方案”選擇作出有效和科學抉擇的問題。其中，“社會”可以是某類型的社會組織、投資-消費者群、議會(選民們）、社團職工代表或顧客群等，“方案”則對應供選擇的社會狀態(tài)(如市場機制、議案(侯選人）、福利分配方案或商品類等）。在決策科學中，社會選擇則稱為群體決策(也稱集體決策或團體決策)。

第二次世界大戰(zhàn)以后，在國際上提倡發(fā)展市場經(jīng)濟和民主政治大潮流的推動下，有關福利經(jīng)濟學的研究受到經(jīng)濟學界的重視。其間，以阿羅等為代表的年輕一代的數(shù)理經(jīng)濟學研究者，認為以往古典福利經(jīng)濟學中采用“基數(shù)型”的“效用值”來表示(可供選擇)方案的好壞，具有人為的隨意性和不精準性。同時，其中常以個體關于方案的效用之和(而不是其他形式的如“之積”或“對數(shù)和”等) 作為效用函數(shù)，來表示社會關于方案的效用也并無充分的理論依據(jù)。由此他們認為在“基數(shù)型”效用理論研究中，由人為給定的人際間的效用并不具有可比性。鑒于此，他們主張直接采用人們對方案之間的“偏好(關系)”，來刻畫它們之間的優(yōu)劣，從而開創(chuàng)了“序數(shù)型”新福利經(jīng)濟學的社會選擇理論研究。

不同于“基數(shù)型”社會選擇理論中使用效用值來表示不同方案的好壞，在“序數(shù)型”社會選擇研究中，所謂“偏好(關系)”即指“至少一樣優(yōu)(關系)”。具體地說，設x和y是方案集X中的兩個方案，若“x至少一樣優(yōu)于y”則稱“x偏好于y”；相應地若“x優(yōu)于y”則稱“x嚴格偏好于y”以及稱“x與y一樣優(yōu)”為“x淡漠于y”。顯然，“偏好”即“嚴格偏好或淡漠”。另外，設X是至少包含3個方案的集合，如果在X上的偏好滿足以下3個條件：①對于X中任何方案x，有“x偏好于x”(自反性)；②對于X中任何3個方案x、y和z，若x偏好于y且y偏好于z，則x偏好于z(傳遞性)；③對于X中任何兩個方案x和y，總有x偏好于y或者y偏好于x(完全性)，則稱此偏好是該方案集X上的偏好序。

關于“序數(shù)型”群體決策問題，早在18世紀下半葉，法國科學院院士、哲學家兼數(shù)學家孔多塞(M. J. A. N. Condorcet)就曾指出：使用多數(shù)(少數(shù)服從多數(shù))規(guī)則，對不少于3個方案的情況作決策時會出現(xiàn)循環(huán)排序的矛盾現(xiàn)象[2]。一個典型的例子：在群體中有三名個體A、B和C，以及方案集X中包含有3個方案x、y和z的情況。事實上，因為若A對方案的偏好選擇是“x嚴格偏好于y”和“y嚴格偏好于z”，B的選擇是“y嚴格偏好于z”和“z嚴格偏好于x”，而C的選擇是“z嚴格偏好于x”和“x嚴格偏好于y” ，那么由于有兩人(多數(shù))認為“x嚴格偏好于y”，兩人認為“y嚴格偏好于z”和兩人認為“z嚴格偏好于x”，于是該群體使用多數(shù)規(guī)則的結果將是“x嚴格偏好于y嚴格偏好于z嚴格偏好于x”，導致循環(huán)排序的結果。

為了探索在社會選擇中，除了多數(shù)規(guī)則之外是否還存在有其他合理(無矛盾)的社會選擇規(guī)則，阿羅在參考文獻[1]中引進了如下的“社會福利函數(shù)”的概念：設X是包含至少2個方案的集合，G是不少于3名個體組成的社會，則稱由G中所有個體對X中兩方案之間的“偏好序”匯集成社會G對X中兩方案之間的“偏好”的規(guī)則，是G在X上的社會福利函數(shù)。同時，給出了理性的社會福利函數(shù)應滿足如下2個公理和5個條件：

公理I：社會偏好在X上具有完全性。

公理II：社會偏好在X上具有傳遞性。

條件1(容許性)：設G中所有個體對X中兩兩方案之間作任意的偏好選取，由它們匯集成的社會偏好應滿足公理I和公理II。

條件2(正相關性)：對于X中的兩方案x和y，設由G中的個體偏好匯集成社會偏好使“x嚴格偏好于y”。若在重新選擇個體偏好時，x與其他方案之間的偏好比原來的“加強(更偏好)了”，而其他方案之間的個體偏好關系保持不變，則由新的個體偏好匯集成的社會偏好也將使“x嚴格偏好于y”。

條件3(無關方案獨立性)：如果在X中排除掉一些方案。若各個體對留下的方案之間的偏好保持不變，那么由個體偏好匯集成社會偏好對留下方案之間的偏好也應該保持不變。

條件4(非強加性)：設x和y是X中的兩個方案，則不會有對不論任何一組個體偏好匯集成的社會偏好，使得總有“x偏好于y”。

條件5(非獨裁性)：在G中不存在這樣的個體(獨裁者），對于X中任意兩個方案x和y，只要該個體認為“x嚴格偏好于y”，則不論其他個體如何選擇x和y之間的偏好，由它們匯集成的社會偏好就確定“x嚴格偏好于y”。

基于以上對社會福利函數(shù)應滿足的一組理性條件，阿羅證明了以下兩個定理。

基本定理1(兩方案的可能性定理)：如果X中僅只有兩個方案，那么多數(shù)規(guī)則是一個滿足條件1至條件5的社會福利函數(shù)。

基本定理2(不可能性定理)：如果在X中有不少于3個方案，那么任何一個滿足條件1至條件3的社會福利函數(shù)，一定不滿足條件4或者不滿足條件5。

基于以上兩個定理，在參考文獻[1]中阿羅認為，“從某種意義上說，基本定理1是英美兩黨制的邏輯基礎”。

阿羅得到的上述不可能性定理斷言：當方案的個數(shù)不少于3時，設若要求社會福利函數(shù)滿足一組十分適度和合理的條件1～5，都會導致矛盾。這也即表明“任何”一個理性的社會選擇規(guī)則都是不存在的！由于這一結果大大地出于人們的直覺和意料，從而在學術界一度引起了巨大的反響和爭議。其間，一些學者曾對此定理的證明和所設的有關條件(特別是其中的條件3)提出了質疑。同時，由于阿羅對基本定理2的原證明中有些推導是描述性的。因此，更使人對其正確性產(chǎn)生了懷疑。但是，經(jīng)過一個時期廣泛和充分的研討，人們終于統(tǒng)一認識到阿羅所得到的不可能性定理的結論是正確的。1963年，在參考文獻[1]的第二版中阿羅吸取和總結了各方面的有益意見，修正了原來所提的條件3，刪除了其中不必要求的條件2，并對條件4換成等價的條件P，對不可能性定理給出了補正。后來，一些學者先后還對阿羅的不可能性定理給出不同形式的證明。例如：在參考文獻[3]和參考文獻[4]中就各提供了另外一個證明；參考文獻[5]中更提出了3種不同的證明方法；在參考文獻[6]中，則給出了詳細的數(shù)學證明。

3 關于社會選擇的無矛盾性問題

自從阿羅的不可能性定理發(fā)表之后，關于社會選擇規(guī)則的無矛盾性問題，成為新福利經(jīng)濟學中一個熱門的研究課題。為了使一個社會選擇規(guī)則能夠合理地在實際選擇問題中得到應用，處置的方法之一是：考慮對具體的社會選擇規(guī)則加上相應的限制條件，以使帶限制的社會選擇規(guī)則在使用中是無矛盾的。其中一項重要的成果，就是由布萊克(D. Black）提出的對最常用的多數(shù)規(guī)則加上所謂的“單峰條件”[7]。它使加上這一條件之后的多數(shù)規(guī)則不再具有邏輯上的矛盾，從而使這一規(guī)則在處理實際問題中得到了廣泛的應用。

排除社會選擇規(guī)則存在矛盾的另一個途徑，是放寬對阿羅的社會福利函數(shù)的要求。在參考文獻[8]中，阿馬蒂亞?森(Amartya K.Sen)將阿羅定義的“社會福利函數(shù)”(要求社會偏好是偏好序，即要求它滿足自反性、完全性和傳遞性)，放寬為“社會決定函數(shù)”(只要求社會偏好是擬偏好序，即滿足自反性、完全性和擬傳遞性)。于是，他得到了關于社會決定函數(shù)可以滿足一組理性條件的“擬傳遞可能性定理”。森在社會選擇理研究中的這些成果，連同他在經(jīng)濟分配不平等和饑荒成因方面的貢獻，也獲得了1998年度諾貝爾經(jīng)濟學獎。

需要指出的是，阿羅的社會福利函數(shù)要求它具有社會偏好序，可以對方案集中的所有方案作出偏好排序。森的社會決定函數(shù)只要求它具有社會擬偏好序，則只能得到偏好于其他任何方案的“最優(yōu)偏好方案”，而不能對所有方案作出整體偏好排序。

此外，為了探究社會選擇規(guī)則的無矛盾性問題，在參考文獻[9]中則提出了既不同于“基數(shù)型”也區(qū)別于“序數(shù)型”的“滿意型”社會選擇(群體決策)模式研究。其特點是，既不采用“效用值”來表示方案的好壞，也不用兩兩方案之間的“偏好”來比較它們之間的優(yōu)劣，而是按照人們對方案作出評判的“滿意指標”來表達對方案是否“滿意”的選擇。對此，在參考文獻[9]中引進了如下的“社會滿意函數(shù)”的概念：設X是包含至少兩個方案的集合，G是不少于3名個體組成的社會，則稱由G中所有個體對X中方案的“滿意指標”匯集成社會G對X中方案的“滿意指標”的規(guī)則，是G在X上的社會滿意函數(shù)。同時，證明了該社會滿意函數(shù)滿足一組類似于參考文獻[1]中對社會福利函數(shù)要求的理性條件的“滿意可能性定理”。

可見，阿羅的不可能性定理，僅僅是基于“序數(shù)型”社會選擇對方案作兩兩比較所得到的結果。然而，在“滿意型”社會選擇研究中，所得到的滿意可能性定理表明：在滿意選擇的意義下，無矛盾的社會選擇規(guī)則還是存在的。因此，與阿羅的觀點相對應，我們可以說參考文獻[9]中的“‘滿意可能性定理’，是目前多數(shù)國家采用多黨制的邏輯基礎?！?/p>

在“序數(shù)型”社會選擇理論研究中，阿羅不可能性定理的重要意義在于對任何形式的具體的社會選擇規(guī)則，不用檢驗也就知道它是存在矛盾(即不可能對所有方案作出社會偏好排序）的！這無疑是社會選擇理論研究中的一個重大發(fā)現(xiàn)。同時，也確實是數(shù)學應用于社會科學的一個杰出而偉大的勝利！

(2017年10月15日收稿)

[1] ARROW K J. Social choice and individual values [M]. New York: John Wiley & Sons, 1951.

[2] CONDORCET M J A N Caritat, Marquis de.Essai sur l‘a(chǎn)pplication de l‘a(chǎn)nalyse a la probability des decisions rendues a la pluralite des voix [M]. Paris: L‘Imprimerie Royale,1785.

[3] BLAU J H. A direct proof of Arrow’s thorem[J]. Econometrica, 1972, 40: 62-67.

[4] BERBERA S. Pivocal vocers, a new proof of Arrow’s thorem [J]. Economies Letters, 1986,6: 13-16.

[5] GEANAKOPLOS J. Three brief proofs of Arrow’s impossibility thorem [G].Cowles Foundation Discussion Paper No.1123RRR, Cowles Foudation for Resesearch in Economics Yale University, New Haven, 2001.

[6] 胡毓達, 胡的的. 群體決策——多數(shù)規(guī)則與投票悖論[M]. 上海: 上?？茖W技術出版社, 2006.

[7] BLACK D. The theory of committee elections [M] . Cambrige：Cambrige University Press, 1958.

[8] 阿馬蒂亞?森. 集體選擇與社會福利[M]. 胡的的, 胡毓達, 譯. 上海: 上?？茖W技術出版社, 2004.

[9] 胡毓達, 洪振杰. 群體決策的多數(shù)滿意規(guī)則及其性質[J] . 高等數(shù)學研究,2013, 16(4): 1-4.

Arrow’s impossibility theorem and the problem of non-contradictory social choice

HU Yuda
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China

Absract This paper is written in remembrance of K. J. Arrow, Nobel Laureate in Economics of 1972, who died on the 21st of February, 2017 for his important contribution to the theory of social choice, particularly his eponymous impossibility theorem.

social choice, Arrow’s impossibility theorem, social welfare function, social decision function, social satisfaction function

10.3969/j.issn.0253-9608.2017.06.010

?通信作者，E-mail: yuda-hu@163.com

(編輯：溫文)