金 珍,萬 龍

(1. 南昌工程學院 理學院, 江西 南昌 330099； 2. 江西財經(jīng)大學 信息管理學院, 江西 南昌 330013)

一類流體動力方程周期解的存在性和唯一性

金 珍1,2,萬 龍2*

(1. 南昌工程學院 理學院, 江西 南昌 330099； 2. 江西財經(jīng)大學 信息管理學院, 江西 南昌 330013)

研究了一類非齊次流體動力方程的周期解的存在性和唯一性.首先采用Galerkin方法構造近似時間周期解序列,然后利用先驗估計和Leray-Schauder不動點定理,證明近似時間周期解序列的收斂性,從而得到了該問題時間周期解的存在性,并且證明在一定條件下該解的唯一性.

流體動力方程；周期解；Galerkin方法；Leray-Schauder不動點定理

Existence and uniqueness of time periodic solution for the fluid dynamics equation. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):040-046

0 引言及預備知識

漂移波是磁化非均勻等離子體中的一支低頻靜電波,經(jīng)常與在托卡馬克中觀察到的低頻密度漲落和能量衰變聯(lián)系在一起.被激發(fā)的漂移波,當其振幅為有限時,非線性效應將起重要作用.這些充分發(fā)展的漂移波，被認為是導致等離子體反常輸運的重要原因.HASEGAWA等[1-2]首先導出了描述非線性漂移波的Hasegawa-Mima方程：

?t(1-▽2)φ-kn?yφ=▽·[(ez×▽φ)·▽]▽φ，

(1)

這里：▽·≡▽⊥·是垂直于磁場B0方向的散度算子;kn=?xln n0為常數(shù),n和n0分別是有微擾和無微擾(但不均勻)時的密度;φ為漂移波的振幅;ez×▽φ是磁化等離子體的漂移波波速;z軸即為磁場B0的方向,且ez是單位向量.方程(1)描述了等離子體中非線性漂移波的演化過程.該方程模型與反映二維不可壓流體的Navier-Stokes方程密切相關.二維耗散的Hasegawa-Mima方程

(u-Δu)t-knuy+γ(u-Δu)=

J(u,Δu)+f(x,y,t)，

(2)是一類簡單的二維湍流系統(tǒng),其中黏性系數(shù)γ>0,u=u(x,y,t),J(ξ,η)是Jacobi導數(shù)矩陣對應的行列式,即J(ξ,η)=ξxηy-ξyηx.在等離子體中,方程(2)描述漂移波的演化過程,其中，u是靜電的漲落,kn=?xln n0，n0是本底質點密度.在地球物理學流體中,方程(2)描述了地動的瞬時發(fā)展,被稱為Rossby波的擬地動勢渦度方程,此時u是地動流函數(shù).

1986年,SWATERS[3]對一類流體動力方程的穩(wěn)定性條件和先驗估計問題進行了研究.1993年,ZHOU等[4]考慮一類廣義的流體動力方程

(u-Δu)t+J(u,Δu)+AΔux+

BΔuy+f(u)x+g(u)y=h(u)的周期邊界問題和Cauchy問題,利用Galerkin方法和積分估計得到上述問題的廣義全局解和古典全局解.1998年,GRAUER[5]給出了一類流體動力方程的能量估計.2004年,GUO等[6]討論了二維Hasegawa-Mima方程

?t(u-Δu)+k?yu+J(u,Δu)=0

的Cauchy問題,得到全局弱解的存在性和唯一性.接著,張瑞鳳、郭柏靈等[7-11]討論了廣義Hasegawa- Mima方程整體解的存在唯一性、整體吸引子、動力學行為等問題.

隨后,BRONSKI等[12]通過構造Lyapunov函數(shù)得到文獻[5]中能量估計的結論,但推導過程比文獻[5]更簡單.近年來,國內外學者[13-17]討論了幾類Hasegawa-Mima方程的周期初邊值、初始問題全局解的衰減估計、解的存在性和唯一性等問題.

為了更好地研究這類方程的性質,有必要對其時間周期解[18-25]的存在性和唯一性加以論證.

本文考慮了一類具有周期邊界條件和非齊次項的流體動力方程：

ut-Δut+J(u,Δu)+αΔux+βux-γΔ3u=f,

(3)

u(x,y,t)=u(x+L,y,t)=u(x,y+L,t),

x∈R,y∈R,t>0,

(4)

u(x,y,t)=u(x,y,t+ω), x∈R,y∈R,t>0,

(5)

筆者將采用Galerkin方法和Leray-Schauder不動點定理證明其時間周期解的存在性.記

u(x,y+L,t)=u(x,y,t)},

u(x,y+L,t)=u(x,y,t)},

Ck(ω,X)={f:[0,∞)→X,f(i)是連續(xù)的ω周期函數(shù),i=0,1,…,k},

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,φj)=

(-J(un,Δun)+f,φj)， j=1,2,…,n.

(6)

為證明近似解un(t)的存在性,定義C1(ω;Hn)→C1(ω;Hn)上的映射Fλ:vn→un為

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,φj)=

(-λJ(vn,Δvn)+f,φj),

(7)

(8)

其中，K>0與L,f,γ有關,但與n,α,β,λ無關.

1 先驗估計

引理1 設f∈C1(ω;H-3(Ω)),如果Fλ(un)=un,0≤λ≤1，則存在常數(shù)C1使得

其中，C1與f,γ有關,而與n,L,α,β無關.

證明 方程Fλ(un)=un的等價形式是

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,φj)=

(-λJ(un,Δun)+f,φj).

將ajn乘以上式的第j個方程,對j從1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,un)=

(-λJ(un,Δun)+f,un).

(9)

注意到

(αΔunx+βunx,un)=0,

(-γΔ3un,un)=γ‖▽Δun‖2,

(J(un,Δun),un)=(unxΔuny-unyΔunx,un)=

(10)

在上式兩端關于t從0到ω積分,注意到un的周期性,得

由積分中值定理,?t*∈[0,ω)使得

另一方面,由式(10)得

上式兩端關于t從t*到t(t∈[t*,t*+ω))積分,得

‖un(t)‖2+‖▽un(t)‖2≤‖un(t*)‖2+

因此,由Leray-Schauder不動點定理可得方程Fλ(un)=un有解.

推論1 在引理1的條件下,

其中，p∈[2,+∞),C2與n,L,α,β無關.

引理2 設f∈C1(ω;H-2(Ω)),則存在常數(shù)C3使得

其中，C3與f,γ有關,而與n,L,α,β無關.

證明 將-λjajn乘以式(6)的第j個方程,對j從1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δun)=

(-J(un,Δun)+f,Δun).

(11)

(αΔunx+βunx,Δun)=0,

(-γΔ3un,Δun)=-γ‖Δ2un‖2,(-J(un,Δun),Δun)=-(unxΔuny-unyΔunx,Δun)=

則由式(11)得

(12)

在上式兩端關于t從0到ω積分,注意到un的周期性,得

由積分中值定理,得?t*∈[0,ω)使得

另一方面,由式(12)得

上式兩端關于t從t*到t(t∈[t*,t*+ω))積分,由引理1得

‖Δun(t)‖2≤‖▽un(t*)‖2+‖Δun(t*)‖2+

引理3 設f∈C1(ω;H-1(Ω)),則存在常數(shù)C5使得

其中C5與n,L,α,β無關.

證明 將(-λj)2ajn乘以式(6)的第j個方程,對j從1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ2un)=

(-J(un,Δun)+f,Δ2un).

(13)

(αΔunx+βunx,Δ2un)=0,

(-γΔ3un,Δ2un)=γ‖▽Δ2un‖2,|(-J(un,Δun),Δ2un)|=|(unxΔuny-unyΔunx,Δ2un)|=

2‖▽un‖L∞‖Δun‖‖▽Δ2un‖≤

(14)

在上式兩端關于t從0到ω積分,注意到un的周期性,得

由積分中值定理,?t*∈[0,ω)使得

上式兩端關于t從t*到t(t∈[t*,t*+ω))積分,由引理2得

‖▽Δun(t)‖2≤‖Δun(t*)‖2+‖▽Δun(t*)‖2+

引理4 設f∈C1(ω;L2(Ω)),則存在常數(shù)C6使得

其中C6與n,L,α,β無關.

證明 將(-λj)3ajn乘以式(6)的第j個方程,對j從1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ3un)=

(-J(un,Δun)+f,Δ3un).

(15)

(αΔunx+βunx,Δ3un)=0,

(-γΔ3un,Δ3un)=-γ‖Δ3un‖2|(J(un,Δun),Δ3un)|=|(unxΔuny-unyΔunx,Δ3un)|≤

(16)

在上式兩端關于t從0到ω積分,注意到un的周期性,得

故?t*∈[0,ω)，使得

上式兩端關于t從t*到t(t∈[t*,t*+ω))積分,由引理3得

‖Δ2un(t)‖2≤‖▽Δun(t*)‖2+‖Δ2un(t*)‖2+

2 高階導數(shù)的先驗估計

本節(jié)將得到方程(3)～(5)近似解的高階導數(shù)的先驗估計.簡單起見,記C為只依賴于γ,f,λ1,ω的常數(shù).

證明 將(-λj)2kajn乘以式(6)的第j個方程,對j從1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ2kun)=

(-J(un,Δun)+f,Δ2kun).

(17)

(αΔunx+βunx,Δ2kun)=0,(J(un,Δun),Δ2kun)=(▽Δk-1(J(un,Δun),▽Δkun).▽Δk-1(J(un,Δun)的首項是unx▽Δkuny-uny▽Δkunx,其他項是∑unxαyβunxα′yβ′,其中，r=α+β,r′=α′+β′,r+r′=2k+3,2≤r,r′≤2k+1.

又(unx▽Δkuny-uny▽Δkunx,▽Δkun)=0,故

|(J(un,Δun),Δ2kun)|≤C‖Δun‖L∞‖▽Δkun‖2+

ρ(‖Δkun‖2+‖▽Δkun‖2)≤C.

(18)

則由式(18)可得存在常數(shù)C,使得

引理6 設f∈C1(ω;H2k-2(Ω)),則存在常數(shù)C,使得

其中C與n,L,α,β無關.

證明 將(-λj)2k+1ajn乘以式(6)的第j個方程,對j從1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ2k+1un)=

(-J(un,Δun)+f,Δ2k+1un).

(19)

(αΔunx+βunx,Δ2k+1un)=0,

(-γΔ3un,Δ2k+1un)=-γ‖Δk+2un‖2,

(J(un,Δun),Δ2k+1un)=(Δk(J(un,Δun),Δk+1un),

Δk(J(un,Δun)的首項是unxΔk+1uny-unyΔk+1unx,其他項是∑unxαyβunxα′yβ′,其中，r=α+β,r′=α′+β′,r+r′=2k+4,2≤r,r′≤2k+2.

又(unxΔk+1uny-unyΔk+1unx,Δk+1un)=0,故|(J(un,Δun),Δ2k+1un)|≤C‖Δun‖L∞‖Δk+1un‖2+

C(‖Δk+1un‖2+1)≤

ρ(‖▽Δkun‖2+‖Δk+1un‖2)≤C.

(20)

則由式(20)可得存在常數(shù)C,使得

引理7 設f∈C1(ω;H2(Ω)),則存在常數(shù)C,使得

其中C與n,L,α,β無關.

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,unt)=

(-J(un,Δun)+f,unt).

所以‖unt‖2+‖▽unt‖2=(-αΔunx-βunx+γΔ3un-J(un,Δun)+f,unt).當f∈C1(ω;H2(Ω))時,可得‖Δ3un‖2≤C,從而存在K使得

‖unt‖2+‖▽unt‖2≤K‖unt‖≤

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δmunt)=

(-J(un,Δun)+f,Δmunt)，

所以，

(-1)m(‖▽munt‖2+‖▽m+1unt‖2)=

(-αΔunx-βunx+γΔ3un-J(un,Δun)+

f,Δmunt)=(-1)m(▽m(-αΔunx-βunx+

γΔ3un-J(un,Δun)+f),▽munt).

故存在常數(shù)C,使得

3 解的整體存在性和唯一性

本節(jié)將得到方程(3)～(5)時間周期解的存在性和唯一性.

定理1 對任意的k≥0,若f∈C1(ω;Hk+2(Ω)),則問題(3)～(5)存在時間周期解u(x,y,t)∈L∞(ω;Hk+5(Ω))∩W1,∞(ω;Hk(Ω)).

證明 由引理1～8及標準的緊性原理知，可選取{un(t)}的子序列,仍記為{un(t)}，使得對任意的k≥0,若f∈C1(ω;Hk+2(Ω)),則有

當n→∞時,非線性項

‖J(un,Δun)-J(u,Δu)‖=‖(unxΔuny-

unyΔunx)-(uxΔuy-uyΔux)‖=‖(unx-

ux)Δuny+ux(Δuny-Δuy)-(uny-uy)Δunx-

uy(Δunx-Δux)‖≤‖unx-ux‖‖Δuny‖+

‖ux‖‖Δuny-Δuy‖+‖uny-uy‖·

‖Δunx‖+‖uy‖‖Δunx-Δux‖→0.

由引理1～8，得

ut-Δut+αΔux+βux-γΔ3u+J(u,Δu)=f.

綜上可得定理1成立.

定理2 假設定理1的條件成立,當M3足夠小時,則定理1中得到的問題(3)～(5)的時間周期解是唯一的.

證明 設u,v是問題(3)～(5)的2個時間周期解,則

ut-Δut+αΔux+βux-γΔ3u+J(u,Δu)=f,

vt-Δvt+αΔvx+βvx-γΔ3v+J(v,Δv)=f,

兩式相減,并令w=u-v,得

wt-Δwt+αΔwx+βwx-γΔ3w+

J(u,Δu)-J(v,Δv)=0.

(21)

注意到J(u,Δu)-J(v,Δv)=(uxΔuy-uyΔux)-(vxΔvy-

vyΔvx)=wxΔuy-wyΔux+vxΔwy-vyΔwx=

J(w,Δu)+J(v,Δw),

則由式(21)，得

wt-Δwt+αΔwx+βwx-γΔ3w+J(w,Δu)+

J(v,Δw)=0.

將上式與w作內積,得

(wt-Δwt+αΔwx+βwx-γΔ3w+

J(w,Δu)+J(v,Δw),w)=0.

(22)

注意到

(αΔwx+βwx,w)=0,

(γΔ3w,w)=γ‖▽Δw‖2,

(J(w,Δu),w)=0,

(J(v,Δw),w)=?Ω(vxΔwy-vyΔwx)wdxdy=

-?Ω(vxwy-vywx)Δwdxdy=

其中，C與f,γ有關,與α,β無關.

δ(‖w‖2+‖▽w‖2)≤0.

故‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2≤(‖w(0)‖2+‖▽w(0)‖2)e-δt,?t≥0.

因為w=u-v關于時間t是周期變化的,則對于任意正整數(shù)s∈N,有

‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2=‖w(t+sω)‖2+

‖▽w(t+sω)‖2,

所以

‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2≤(‖w(0)‖2+

‖▽w(0)‖2)e-δ(t+sω),

從而得到 ‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2=0.

綜上可得定理2成立.

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JIN Zhen1,2, WAN Long2

(1.CollegeofScience,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang330099,China; 2.SchoolofInformationTechnology,JiangxiUniversityofFinanceandEconomics,Nanchang330013,China)

This paper studies the existence and uniqueness of time periodic solution for one type of fluid dynamics equation with inhomogeneous term. Firstly, the approximation sequence of time periodic solution is constructed using the Galerkin method. Next, the approximation sequence is verified to be convergent by means of a priori estimate and Leray-Schauder fixed point theorem. It is shown that there is a time periodic solution when the inhomogeneous term is periodic about time. We also prove that the solution is unique under certain conditions.

fluid dynamics equation; periodic solution; Galerkin method; Leray-Schauder fixed point theorem

2015-01-19.

江西省教育廳科技項目(GJJ150463.GJJ150464)；江西省自然科學基金資助項目(20151BAB211009,20161BAB201028)；國家自然科學青年基金項目(11601198)；南昌工程學院青年基金項目(2014KJ024).

金 珍(1982-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2534-3355,女，碩士，主要從事微分方程及其應用研究.

*通信作者，ORCID:http://orcid:org/0000-0001-9770-532X,E-mail:cocu3328@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.006

O 175.2

A

1008-9497(2017)01-040-07