曹雪葉 趙均海 張常光長安大學(xué)建筑工程學(xué)院，西安，710061

基于三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則的厚壁圓筒自增強分析

曹雪葉 趙均海 張常光
長安大學(xué)建筑工程學(xué)院，西安，710061

基于三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則，考慮材料應(yīng)變強化效應(yīng)、包辛格效應(yīng)、拉壓異性及中間主應(yīng)力的影響，采用雙線性強化材料模型對厚壁圓筒進行自增強分析，得到了厚壁圓筒加載應(yīng)力、殘余應(yīng)力和工作應(yīng)力的解析解，提出了最佳自增強壓力的計算方法，探討了拉壓比、強度準(zhǔn)則變化參數(shù)的影響，比較了自增強處理和非自增強處理及雙線性強化模型和理想彈塑性模型厚壁圓筒的應(yīng)力分布差異。研究結(jié)果表明：厚壁圓筒的最佳自增強壓力隨半徑比和強度準(zhǔn)則參數(shù)的增大而增大；工作時的最大等效應(yīng)力隨半徑比和強度理論參數(shù)的增大而減小，隨拉壓比的增大而增大；自增強等效應(yīng)力的最大值在彈塑性分界面處，且應(yīng)力沿壁厚的分布較均勻；與理想彈塑性模型相比，雙線性強化模型所對應(yīng)的彈塑性分界面半徑和殘余應(yīng)力較小，且隨著自增強壓力的增大，兩種模型的差值越來越大；等效應(yīng)力隨半徑比的變化規(guī)律可為厚壁圓筒選擇合理的壁厚提供一定的參考；自增強技術(shù)可改善厚壁圓筒工作時的實際應(yīng)力分布，提高其極限承載能力。

厚壁圓筒；三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則；自增強分析；雙線性強化模型；等效應(yīng)力

0 引言

自增強是指在壓力容器投入使用之前先進行加壓處理，使其產(chǎn)生彈塑性變形后卸載以產(chǎn)生預(yù)加應(yīng)力，從而減小容器工作時的整體應(yīng)力，提高承載能力的方法[1]。在石油化工設(shè)備、壓力容器、高壓管道等設(shè)備的制造及使用中，常采用自增強技術(shù)改善其工作時的實際應(yīng)力分布，提高其承載能力和疲勞壽命[2]。高壓和超高壓容器常采用高強鋼等材料，這些材料的拉壓性能有一定的差異，且存在應(yīng)變強化和包辛格效應(yīng)[3-4]。

目前，對厚壁圓筒自增強分析的代表性研究有：林太清等[5]基于三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則推導(dǎo)得到厚壁圓筒極限承壓的統(tǒng)一解，但未考慮材料的應(yīng)變硬化和包辛格效應(yīng)；錢凌云等[6]采用雙線性材料模型，基于von Mises屈服準(zhǔn)則建立了厚壁圓筒自增強理論模型，但未考慮材料的拉壓異性及中間主應(yīng)力的影響；馬景槐[7]應(yīng)用雙剪統(tǒng)一強度理論，考慮材料屈服強度不同，對承受內(nèi)壓的線性強化厚壁圓筒進行了自增強分析，但雙剪統(tǒng)一強度理論在某些特定應(yīng)力狀態(tài)下存在雙重滑移角問題。三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則考慮了材料拉壓強度不同及中間主應(yīng)力影響，并克服了雙剪統(tǒng)一強度理論的雙重滑移角問題，在眾多工程問題中得到較廣泛的應(yīng)用[8-9]。

本文基于三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則，考慮材料拉壓異性(SD效應(yīng))及中間主應(yīng)力的影響，采用雙線性強化材料模型對厚壁圓筒進行自增強分析。

1 雙線性強化材料厚壁圓筒基本方程

1.1 雙線性強化模型

設(shè)厚壁圓筒的內(nèi)徑為ra，外徑為rb，受均勻內(nèi)壓pa作用，圓筒內(nèi)任意一點受徑向應(yīng)力σr、環(huán)向應(yīng)力σθ、軸向應(yīng)力σz共同作用，處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。假設(shè)厚壁圓筒軸向受約束且變形很小，可將其簡化為平面應(yīng)變問題，其平衡方程為

(1)

幾何方程為

(2)

式中，u為徑向位移。

采用考慮材料應(yīng)變強化效應(yīng)和包辛格效應(yīng)的雙線性強化模型[6]，其本構(gòu)關(guān)系如圖1所示。圖中，σst0、σsc0分別為初始拉伸屈服極限、初始壓縮屈服極限；m、n分別為拉伸強化模量系數(shù)、壓縮強化模量系數(shù)；E為彈性模量；α′為包辛格系數(shù)，α′=σsc0/σst0。

圖1 雙線性強化模型Fig.1 Bilinear hardening model

在強化條件下，屈服極限的數(shù)值與塑性變形強度有關(guān)。在單一曲線的假設(shè)下，拉伸屈服極限為[10]

σst=σst0(1+η εp)

(3)

(4)

式中，εp為有效塑性應(yīng)變[11]；C為待定常數(shù)。

1.2 三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則

胡小榮等[12]通過考慮3個主剪面應(yīng)力對的共同作用，建立了一個考慮材料SD效應(yīng)和中間主應(yīng)力的影響，同時還克服了雙剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則雙重滑移角問題的新強度準(zhǔn)則,即三剪統(tǒng)一強度。三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則的主應(yīng)力表達式為

(1+b)(σ1-σ3)σst=(σ1-σ3)(σ1-ασ3)+b(σ1-σ2)(σ1-ασ2)+b(σ2-σ3)(σ2-ασ3)

(5)

強化條件下的加載屈服條件可表示為

(1+b)(σ1-σ3)σst0(1+η εp)=(σ1-σ3)(σ1-ασ3)+b(σ1-σ2)(σ1-ασ2)+b(σ2-σ3)(σ2-ασ3)

(6)

2 厚壁圓筒應(yīng)力分析

2.1 彈塑性加載應(yīng)力分析

厚壁圓筒在自增強壓力pa作用下發(fā)生部分塑性變形，如圖2所示。設(shè)rc為彈塑性分界面半徑，則厚壁圓筒在rc≤r≤rb內(nèi)為彈性變形，ra≤r≤rc內(nèi)為塑性變形。

圖2 厚壁圓筒力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of thick-walled cylinder

在彈性區(qū)(rc≤r≤rb)內(nèi)，可將其看成內(nèi)半徑為rc，外半徑為rb，承受內(nèi)壓pc作用的厚壁圓筒，其應(yīng)力分量為[10]

(7)

由平面應(yīng)變彈塑性問題的研究[13]可得軸向應(yīng)力σz=(σr+σθ)/2。設(shè)σ1≥σ2≥σ3，則

(8)

在r=rc處即彈性區(qū)內(nèi)表面剛開始進入塑性狀態(tài)，該處的應(yīng)力滿足屈服條件且εp=0，將式(7)、式(8)代入式(6)整理可得

(9)

將式(7)、式(9)代入式(1)整理可得

(10)

將式(10)及r=rc處εp=0代入式(4)可得

(11)

在塑性區(qū)(ra≤r≤rc)內(nèi)，由式(1)、式(6)、式(8)整理可得

(12)

將式(11)、式(12)代入式(4)可得

(13)

將式(13)代入式(12)積分可得

(14)

由彈塑性交界面處應(yīng)力連續(xù)條件，即σr|r=rc=-pc，可得

(15)

將式(15)代入式(14)并利用屈服條件可求得塑性區(qū)的應(yīng)力分量為

(16)

2.2 彈性卸載殘余應(yīng)力分析

實際自增強處理時，為避免出現(xiàn)厚壁圓筒卸載時反向屈服導(dǎo)致其承載壓力減小的現(xiàn)象[6]，只允許發(fā)生彈性卸載情況。殘余應(yīng)力由彈塑性加載時的應(yīng)力與彈性卸載時應(yīng)力疊加求得，故自增強壓力pa卸載后彈性區(qū)的殘余應(yīng)力為

(17)

塑性區(qū)的殘余應(yīng)力為

(18)

2.3 工作應(yīng)力分析

厚壁圓筒工作時為彈性加載，不發(fā)生新的塑性變形。設(shè)工作壓力為p，產(chǎn)生的應(yīng)力由Lame公式求得:

(19)

厚壁圓筒的總應(yīng)力由殘余應(yīng)力與工作應(yīng)力疊加求得。由式(17)、式(19)可得彈性區(qū)(rc≤r≤rb)的總應(yīng)力為

(20)

由式(18)、式(19)可得塑性區(qū)(ra≤r≤rc)的總應(yīng)力：

(21)

3 自增強壓力分析

3.1 自增強壓力范圍的確定

由式(9)、式(16)及內(nèi)壁處的邊界條件，即r=ra時σr=-pa，可得自增強壓力pa與彈塑性分界面半徑rc的關(guān)系為

(22)

(23)

(24)

式中，Hb為rc=rb時所求得的H值。

厚壁圓筒卸載時只考慮彈性卸載，考慮包辛格效應(yīng)，其卸載的最大彈性極限為(1+α′)σst0，由式(9)可得彈性卸載時的最大自增強壓力為

(25)

(26)

3.2 最佳自增強壓力的求解

工作時的最大等效應(yīng)力在彈塑性分界面處取得[6]，當(dāng)該處的等效應(yīng)力取最小值時，所確定的彈塑性半徑和自增強內(nèi)壓可使工作時的應(yīng)力分布最佳?；谌艚y(tǒng)一強度理論由式(20)可得彈塑性分界面處的等效應(yīng)力為

(27)

4 算例分析及比較

取文獻[6]中的算例：厚壁圓筒的工作壓力p= 550 MPa，彈性模量E=210 GPa，泊松比ν= 0.3，包辛格系數(shù)α′=0.75，初始拉伸屈服極限σst0=1470 MPa，拉伸強化模量系數(shù)m=0.1，初始壓縮屈服極限σsc0=1102.5 MPa。

4.1 算例分析

為驗證本文方法的合理性，將本文計算所得最佳自增強壓力與采用雙剪統(tǒng)一強度理論在α=0.8時所得結(jié)果[7]進行對比分析，如表1所示。

表1 最佳自增強壓力計算結(jié)果與文獻[7]結(jié)果的比較Tab.1 Comparisons of optimum autofrettage pressure between calculations results and literatures results

由表1可知，采用本文方法計算的最佳自增強壓力與文獻[7]結(jié)果的比值范圍為1.00～1.08，吻合良好，故三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則對厚壁圓筒的自增強分析具有良好的適用性；最佳自增強壓力pa,opt隨半徑比rb/ra的增大而增大，也就是說隨著壁厚增加，增大自增壓力才能使厚壁圓筒達到最佳彈塑性狀態(tài)；最佳自增強壓力pa,opt隨強度準(zhǔn)則參數(shù)b的增大而增大，這是由于隨著b的增大，所對應(yīng)強度準(zhǔn)則的極限面越大，厚壁圓筒達到屈服所需施加的壓力也就越大。因此，對某種特定材料制成的厚壁圓筒，選取合適的強度準(zhǔn)則對其自增強分析具有重要意義。

4.2 最大等效應(yīng)力影響因素分析

采用本文方法可確定厚壁圓筒不同狀態(tài)下的最佳彈塑性半徑和最佳自增強壓力，進而可求得厚壁圓筒工作狀態(tài)下的最大等效應(yīng)力。最大等效應(yīng)力隨半徑比、強度準(zhǔn)則參數(shù)及拉壓比的變化規(guī)律如圖3、圖4所示。

圖隨rb/ra及b的變化規(guī)律(α=0.8)(α=0.8)

圖隨rb/ra及α的變化規(guī)律(b=0)(b=0)

由圖3、圖4可以看出，工作時的最大等效應(yīng)力隨半徑比rb/ra的增大而減小，隨拉壓比α的增大而增大；最大等效應(yīng)力隨強度準(zhǔn)則參數(shù)b的增大而減小，這是由于隨著b的增大，中間主應(yīng)力效應(yīng)增大，材料的潛能得到更充分的發(fā)揮，從而使厚壁圓筒工作時的等效應(yīng)力減小。從圖3可知，當(dāng)b=0時，半徑比從1.6增大到2.4時，最大等效應(yīng)力從1187.91 MPa減小到847.04 MPa，減小幅度為28.69%；半徑比從2.8增大到3.6時，最大等效應(yīng)力從796.52 MPa減小到747.02 MPa，減小幅度為6.21%，也就是說壁厚增大到一定程度時，增加壁厚不能明顯改善其工作時的應(yīng)力分布。因此，可根據(jù)等效應(yīng)力隨半徑比的變化規(guī)律為厚壁圓筒選擇較為合理的壁厚。由圖4可知，α由0.2增大到0.8，半徑比為1.6時，最大等效應(yīng)力增大了144.92 MPa，增大幅度為13.89%；半徑比為3.6時，最大等效應(yīng)力增大了207.76 MPa，增大幅度為38.52%。故厚壁圓筒越厚，拉壓比對其工作時的應(yīng)力分布影響越大。

4.3 未自增強處理和自增強處理應(yīng)力分布比較

為了研究自增強對厚壁圓筒實際應(yīng)力分布的影響，本文對未自增強處理和自增強處理后厚壁圓筒工作時的應(yīng)力分布進行比較，結(jié)果如圖5所示。

圖5 自增強處理和未自增強處理的等效應(yīng)力分布比較Fig.5 Comparison of the equivalent stress distribution between autofrettaged and non-autofrettaged

由圖5可得，未自增強處理時，厚壁圓筒等效應(yīng)力在內(nèi)壁處最大，等效應(yīng)力由1492.50 MPa減小到717.27 MPa，減小幅度為51.94%；自增強處理后，等效應(yīng)力的最大值在彈塑性分界面處，等效應(yīng)力最大值為1187.90 MPa，最小值為1023.96 MPa且在內(nèi)壁處，減小幅度為13.8%；故自增強處理使厚壁圓筒應(yīng)力分布較均勻，在實際工程中可采用自增強技術(shù)改善其工作時的實際應(yīng)力分布。由圖5同樣可以看出，未自增強處理時內(nèi)壁處的應(yīng)力為1492.50 MPa，已超過初始屈服極限1470 MPa，進入強化階段；自增強處理后內(nèi)壁處的應(yīng)力為1023.96 MPa，還未達到初始屈服，處于彈性階段。故自增強處理使厚壁圓筒的安全能力提高，在實際工程中可采用自增強技術(shù)提高其極限承載能力。

4.4 雙線性強化模型和理想彈塑性模型比較

為了進一步分析應(yīng)變強化效應(yīng)和包辛格效應(yīng)對厚壁圓筒自增強效果的影響，本文采用內(nèi)徑ra=50 mm，外徑rb=80 mm的厚壁圓筒，比較分析雙線性強化模型和理想彈塑性模型所對應(yīng)的彈塑性分界面半徑及等效殘余應(yīng)力，結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 分界面半徑比較Fig.6 The radius comparison of the elastic plastic junction

圖7 等效殘余應(yīng)力最大值比較Fig.7 Comparison of the maximum equivalent residual stress

由圖6可知，雙線性強化模型的自增強壓力范圍為476.96 MPa≤pa≤762.46 MPa；自增強壓力為724.42 MPa時，理想彈塑性模型的厚壁圓筒已基本處于完全塑性狀態(tài)，而此時雙線性強化模型所對應(yīng)的彈塑性分界面半徑為70.99 mm，仍處于彈塑性狀態(tài)；在同樣的自增強壓力下，雙線性強化模型對應(yīng)的彈塑性半徑相對較?。浑S著自增強壓力的增大，兩種模型所對應(yīng)的彈塑性分界面半徑差值越來越大，這是由于自增強壓力增大，厚壁圓筒塑性變形量增大，應(yīng)變強化效應(yīng)越明顯，厚壁圓筒變形也就越困難。由圖7可知，雙線性強化模型厚壁圓筒的殘余應(yīng)力小于理想彈塑性模型的殘余應(yīng)力，且隨著自增強壓力的增大，兩種模型殘余應(yīng)力相差越來越大。因此，考慮應(yīng)變強化效應(yīng)及包辛格效應(yīng)可使厚壁圓筒的殘余應(yīng)力減小，進而使其工作時的實際應(yīng)力分布更合理。

5 結(jié)論

(1) 本文采用雙線性強化材料模型，基于三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則推導(dǎo)了厚壁圓筒加載應(yīng)力、殘余應(yīng)力及工作應(yīng)力的解析解，分析得到最佳自增強壓力的計算方法。所得結(jié)果考慮了材料的應(yīng)變強化效應(yīng)、包辛格效應(yīng)、SD效應(yīng)及中間主應(yīng)力的影響，可為厚壁圓筒的自增強技術(shù)提供一定的理論參考。

(2)厚壁圓筒的最佳自增強壓力隨半徑比和強度準(zhǔn)則參數(shù)的增大而增大；工作時的最大等效應(yīng)力隨半徑比和強度準(zhǔn)則參數(shù)的增大而減小，隨拉壓比的增大而增大；當(dāng)壁厚增加到一定程度時，增加壁厚不能明顯改善厚壁圓筒工作時的應(yīng)力分布。該結(jié)論可為厚壁圓筒選擇合理壁厚提供參考。

(3) 厚壁圓筒未自增強處理時，內(nèi)壁處等效應(yīng)力最大，進入強化階段，且應(yīng)力沿壁厚的變化較大；自增強處理后，彈塑性分界面處的等效應(yīng)力最大，內(nèi)壁處的等效應(yīng)力處于彈性階段，且應(yīng)力沿壁厚的分布較均勻。故自增強處理使厚壁圓筒的安全儲備提高，在實際工程中可采用自增強技術(shù)改善厚壁圓筒工作時的實際應(yīng)力分布，提高其極限承載能力。

(4) 在同樣的自增強壓力下，雙線性強化模型對應(yīng)的彈塑性半徑和殘余應(yīng)力相對較小，且隨著自增強壓力的增大，兩種模型所對應(yīng)的彈塑性分界面半徑和殘余應(yīng)力的差值越來越大。因此，考慮應(yīng)變強化效應(yīng)及包辛格效應(yīng)可使厚壁圓筒的殘余應(yīng)力減小，進而使其工作時的實際應(yīng)力分布更合理。

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(編輯 袁興玲)

Autofrettage Analysis of Thick-walled Cylinder Based on Triple-shear Unified Strength Criterion

CAO Xueye ZHAO Junhai ZHANG Changguang
School of Civil Engineering,Chang’an University, Xi’an, 710061

In order to analyze autofrettage theory of thick-walled cylinders, a bilinear hardening model was established and the analytical solutions of loading stresses, residual stresses and working stresses were derived based on the triple-shear unified strength criterion, which taken the strain hardening, Bauschinger effect, strength difference(SD) effect and the effect of intermediate principal stress into consideration. The optimal autofrettage pressure of thick-walled cylinder was deduced, the influences of ratio among tension stress and compression stress, strength criterion parameters were investigated respectively. In addition, the stress distributions of thick-walled cylinders between autofrettage and non-autofrettage, the bilinear hardening model and elastic-perfectly plastic model were compared. The results show that the optimum autofrettage pressure will increase with the increase of radius ratio and strength criterion parameter；the maximum equivalent working stress will decrease with the increase of radius ratio and strength criterion parameters, but increases with the increase of ratio between tension stress and compression stress; the maximum equivalent stresses in the elastic plastic junctions and the stresses of thick-walled cylinder along the wall thickness are well- distributed; compared with the elastic-perfectly plastic model，the radius of elastic plastic junction and residual stress of bilinear hardening model are lower, meanwhile with the increase of autofrettage pressure, the difference becomes more and more obvious; the curve of equivalent stress along with radius ratio may provide reference for choosing the optimal wall thickness; autofrettage technique may improve the working stress distribution and ultimate bearing capacity of thick-walled cylinders.

thick-walled cylinder; triple-shear unified strength criterion; autofrettage analysis; bilinear hardening mode; equivalent stress

2016-07-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(41202191)；陜西省社會發(fā)展科技攻關(guān)項目(2015SF272)；長安大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文培育資助項目(310828150018)

TB125;TQ051.3

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.01.013

曹雪葉，女，1989年生。長安大學(xué)建筑工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向為強度理論及其應(yīng)用。E-mail:caoxueye@126.com。趙均海，男，1960年生。長安大學(xué)建筑工程學(xué)院教授、博士。張常光，男，1982年生。長安大學(xué)建筑工程學(xué)院副教授、博士。