李彥奎，呂彥明

(江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122)

時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法的改進(jìn)

李彥奎，呂彥明

(江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122)

插補(bǔ)算法是數(shù)控機(jī)床的重要組成部分，插補(bǔ)算法的優(yōu)劣直接影響了機(jī)床的加工性功能。對(duì)于現(xiàn)有的時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)方法大多采用的是近似計(jì)算，計(jì)算過程復(fù)雜，插補(bǔ)精度和插補(bǔ)效率相對(duì)較低。為提高機(jī)床的加工性功能，文章基于等弦高誤差理論對(duì)原有的時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的插補(bǔ)算法計(jì)算簡(jiǎn)便，實(shí)現(xiàn)了插補(bǔ)過程的無近似計(jì)算，且使每一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)都落在插補(bǔ)圓弧上；在保證插補(bǔ)精度的條件下，因?yàn)樵诓逖a(bǔ)計(jì)算過程中采用了最大允許弦高誤差，實(shí)現(xiàn)了插補(bǔ)效率的最大化。

等弦高誤差；時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)；計(jì)算簡(jiǎn)便；無近似計(jì)算；插補(bǔ)效率

0 引言

近年來我國(guó)機(jī)械制造業(yè)面臨著自動(dòng)化程度和加工效率較低等問題，為解決這一問題，國(guó)家把高檔數(shù)控機(jī)床列入了中國(guó)制造2025的計(jì)劃之中。在數(shù)控機(jī)床的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中插補(bǔ)算法是其最基本而又極為重要的組成部分，衡量插補(bǔ)算法優(yōu)劣的兩個(gè)主要指標(biāo)：插補(bǔ)精度和插補(bǔ)效率。插補(bǔ)算法的優(yōu)劣直接影響了機(jī)床的加工性能，為提高機(jī)床的加工性能，對(duì)插補(bǔ)算法的研究就變得極為重要。

“插補(bǔ)”是根據(jù)輪廓形狀和進(jìn)給速度的要求，對(duì)輪廓曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)之間的空間進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)密化，密化到點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為一個(gè)脈沖當(dāng)量，以此控制各軸運(yùn)動(dòng)，從而形成要求的輪廓軌跡[1]。文章在前人的基礎(chǔ)上對(duì)時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法進(jìn)行了研究。時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法是用弦線逼近圓弧輪廓曲線，實(shí)現(xiàn)圓弧插補(bǔ)。對(duì)于時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法的計(jì)算，目前大多數(shù)教材均采用近似算法[2-3]。很多學(xué)者也對(duì)該算法進(jìn)行了一定的研究，孔德彭等[4]使用插值法在原有的兩個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)之間增加插補(bǔ)點(diǎn)，使插補(bǔ)點(diǎn)密化，提高了插補(bǔ)的精度。王忠[5]運(yùn)用等價(jià)無窮小理論，將正切函數(shù)等價(jià)成步距角的一次函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算過程的去三角化，簡(jiǎn)化了計(jì)算。也有學(xué)者通過三角函數(shù)和插補(bǔ)圓弧參數(shù)及步長(zhǎng)之間的轉(zhuǎn)換和基于等步長(zhǎng)法，實(shí)現(xiàn)了插補(bǔ)的無近似計(jì)算[6-9]。在一定程度上提高了插補(bǔ)精度和效率。

以上時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法是以步距角或步長(zhǎng)為參數(shù)，且計(jì)算過程大多采用近似計(jì)算，計(jì)算過程較為復(fù)雜。為簡(jiǎn)化計(jì)算，提高差不效率，文章基于等弦高誤差理論，在保證插補(bǔ)精度的條件下，采用最大允許弦高誤差為參數(shù)，對(duì)時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法進(jìn)行改進(jìn)。根據(jù)計(jì)算推導(dǎo)出了下一插補(bǔ)點(diǎn)和當(dāng)前已插補(bǔ)點(diǎn)之間成線性關(guān)系，計(jì)算推導(dǎo)過程簡(jiǎn)便，實(shí)現(xiàn)了無近似計(jì)算，使得每個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)都落在圓弧上；由于采用了最大允許弦高誤差，使得插補(bǔ)步長(zhǎng)最大化，進(jìn)而使插補(bǔ)效率最大化。

1 時(shí)間分割插補(bǔ)法原理

如圖1所示，A是當(dāng)前已插補(bǔ)點(diǎn)，B是下一個(gè)插補(bǔ)瞬時(shí)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A(xi，yi)、B(xi+1，yi+1)。插補(bǔ)是指由已加工點(diǎn)A求出下一個(gè)待插補(bǔ)點(diǎn)B，實(shí)質(zhì)上是求在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)，沿x軸和y軸的進(jìn)給增量Δx和Δy。圖中弦AB是圓弧插補(bǔ)每個(gè)周期的進(jìn)給步長(zhǎng)l。AP是A點(diǎn)的切線，M是AB的中點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，且ME⊥AF,OM⊥AB。

圖1 第一象限圓弧插補(bǔ)示意圖

根據(jù)三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換可以得出：

(1)

式(1)反應(yīng)了當(dāng)前已插補(bǔ)點(diǎn)與增量Δx和Δy之間的關(guān)系，只要計(jì)算出Δx和Δy，就可求出新的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo),即：

(2)

關(guān)鍵是Δx和Δy的求解。由于式(1)中cosα和sinα都是未知數(shù)難以求解，所以必須采用近似計(jì)算的方法，用cos45°和sin45°代替式(1)中cosα和sinα，即：

由關(guān)系式

進(jìn)而求得Δx：

Δx=lcosα

(3)

將式(3)代入式(1)可求得Δy。

求出沿x軸和y軸的進(jìn)給增量Δx和Δy，根據(jù)式(2)可求得新的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)。

此方法的缺點(diǎn)就是采用了近似計(jì)算，造成了速度的波動(dòng)，另外在計(jì)算坐標(biāo)增量時(shí)要進(jìn)行反復(fù)迭代，計(jì)算復(fù)雜，浪費(fèi)時(shí)間，降低了插補(bǔ)效率。

2 等弦高誤差原理

等弦高誤差是指：對(duì)于一條曲線,其理論輪廓曲線與每段實(shí)際插補(bǔ)曲線之間的最大間距相等[10-11]。如圖2已知理論曲線Q(x,y)，起點(diǎn)P(x0，y0)和給定最大允許誤差為δ，求曲線Q(x,y)上的插補(bǔ)點(diǎn)P1，P2……Pn。過點(diǎn)P0作一半徑為δ的圓，作圓與理論曲線的公切線MN。切點(diǎn)分別為M(xm,ym)，N(xn,yn)。

圖2 等弦高誤差原理示意圖

(1)求公切線斜率

A樣品空白對(duì)照——25 μl樣品+25 μl底物（37 ℃孵育10 min）+50 μl蒸餾水（37 ℃下孵育 60 min）+100 μl醋酸-醋酸鈉緩沖溶液；

設(shè)公切線MN的斜率為kmn，則:

(4)

由已知條件知：

(5)

四個(gè)方程,四個(gè)未知數(shù),由式(4)和式(5)求出kmn。

(2)求插補(bǔ)點(diǎn)

已知公切線斜率kmn，直線P0P1過點(diǎn)P0且與Q(x,y)相交，其交點(diǎn)就是所求點(diǎn)P1。根據(jù)方程：

求得新的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)P1點(diǎn)。然后根據(jù)當(dāng)前求得的插補(bǔ)點(diǎn)再求下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)，以此類推。在保證插補(bǔ)精度的條件下，由于采用了最大允許插補(bǔ)弦高誤差，使插補(bǔ)進(jìn)給步長(zhǎng)最大化，該方法實(shí)現(xiàn)了插補(bǔ)效率的最大化。

3 改進(jìn)的時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法

如圖3所示，以第一象限逆時(shí)針圓弧插補(bǔ)為例。已知被插補(bǔ)圓O的半徑為R，插補(bǔ)起點(diǎn)P0(x0，y0)，允許的最大加工誤差為δ。求下一個(gè)插補(bǔ)坐標(biāo)點(diǎn)P1，P2……Pn。過點(diǎn)O作半徑為(R-δ)的同心圓，過點(diǎn)P0作小圓的切線，切點(diǎn)為N(xn，yn)，交大圓于一點(diǎn)，該點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P1。過點(diǎn)O作ON⊥P0P1，交大圓于點(diǎn)M，所以MN=δ。

圖3 插補(bǔ)示意圖

(1)求N點(diǎn)坐標(biāo)

(6)

由式(6)得：

(2)求P1點(diǎn)坐標(biāo)

因?yàn)镹是P0P1的中點(diǎn)，所以：

由此可以得出：

x1=Ax0-By0y1=Ay0+Bx0

因?yàn)锳，B是常數(shù)，由上式得出了下一插補(bǔ)點(diǎn)和當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)的線性關(guān)系，在插補(bǔ)前可以將A，B值預(yù)先算出，在插補(bǔ)過程中對(duì)A，B進(jìn)行賦值，從而避免了采用近似計(jì)算造成的速度波動(dòng)和計(jì)算過程的反復(fù)迭代。使得插補(bǔ)計(jì)算過程變得簡(jiǎn)便，且每一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)都落在圓弧，提高了插補(bǔ)效率。由于在插補(bǔ)過程中采用最大允許弦高誤差，即實(shí)現(xiàn)了插補(bǔ)進(jìn)給步長(zhǎng)的最大化，最大程度的提高了插補(bǔ)效率。

4 插補(bǔ)實(shí)例

利用VB對(duì)半徑為50mm的圓弧在第一象限內(nèi)作逆時(shí)針插補(bǔ)，插補(bǔ)的起點(diǎn)為(50,0)，終點(diǎn)為(0,50)，最大允許弦高誤差為0.02。圖4是以最大允許弦高誤差為參數(shù)的插補(bǔ)計(jì)算過程；圖5是以步距角為參數(shù)，步距角為0.04，利用等價(jià)無窮小將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成步距角的一次函數(shù)的插補(bǔ)計(jì)算過程[5]，其步長(zhǎng)f和步距角θ應(yīng)滿足式(7)和式(8)：

(7)

(8)

圖4 插補(bǔ)計(jì)算過程 圖5 插補(bǔ)計(jì)算過程

在圓柱形零件加工的過程中，我們已知被加工零件的最大允許加工誤差。在該例中，當(dāng)我們直接運(yùn)用最大允許加工誤差為參數(shù)進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算時(shí)，實(shí)現(xiàn)了插補(bǔ)步長(zhǎng)的最大化，所用的插補(bǔ)步數(shù)為29步；當(dāng)我們以步距角為參數(shù)時(shí)，根據(jù)式(7)先估算出步長(zhǎng)，再由式(8)根據(jù)步長(zhǎng)算出步距角進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算時(shí)，所用步數(shù)為40步。由于同類機(jī)床的插補(bǔ)周期相同，例如在FANUC7M系統(tǒng)其插補(bǔ)周期為8ms，故在滿足精度的前提下，前者的插補(bǔ)效率優(yōu)于后者。

5 結(jié)論

由理論推導(dǎo)和實(shí)例模擬分析得出以下結(jié)論：

(1)根據(jù)計(jì)算推導(dǎo)出了相鄰已插補(bǔ)點(diǎn)和下一插補(bǔ)點(diǎn)之間的關(guān)系，二者成線性關(guān)系。計(jì)算過程無近似計(jì)算，使得每一個(gè)點(diǎn)都落在圓弧上。

(2)采用最大弦高誤差為參數(shù)，避免了繁瑣的計(jì)算，使計(jì)算過程更加簡(jiǎn)便，無累積誤差。

(3)在時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)計(jì)算過程中，直接運(yùn)用最大弦高誤差為參數(shù)進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了插補(bǔ)步長(zhǎng)的最大化，進(jìn)而最大程度的提高了插補(bǔ)效率。

[1]SpirosGPapaioannou.Interpolationalgorithmsfornumericalcontrol[J].ComputersinIndustry, 1979(1):27-40.

[2] 何雪明，吳曉光，常興.數(shù)控技術(shù)[M]. 湖北：華中科技大學(xué)出版社，2006.

[3] 杜君文.數(shù)控技術(shù)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2002.

[4] 孔德彭，張國(guó)平，張玉姣.基于圓弧插補(bǔ)的時(shí)間分割插補(bǔ)算法改進(jìn)[J].機(jī)械與電子，2010(2):33-37.

[5] 王忠.時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)新算法[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2006(5):33-34.

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[7] 李莉，馮志永.數(shù)控系統(tǒng)中圓弧插補(bǔ)算法的改進(jìn)和實(shí)現(xiàn)[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2009(7):61-65.

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[10]YJLin,TSLee.Anadaptivetoolpathgenera-tionalgorithmforprecisionsurfacemachining[J].Computer-AidedDesign, 1999,31:237-247.

[11] 牛文鐵,胡德計(jì),徐燕申,等.數(shù)控加工中定曲線方程輪廓的等弦高誤差擬合算法研究[J].制造業(yè)自動(dòng)化,2001(9):7-11.

(編輯 李秀敏)

Improvement of Time Segmentation Arc Interpolation Algorithm

LI Yan-kui，LV Yan-ming

(School of Mechanical Engineering，Jiangnan University，Wuxi Jiangsu 214122，China)

Directly affecting the machining features of CNC machine tools, interpolation algorithm is an vital part of CNC machine tools.For the existing most of time segmentation arc interpolation algorithms the process of calculation are complex and approximate calculation is adopted.In order to improve the machining features, based on the theory of equal chord deviation error the original time segmentation arc interpolation algorithm is improved in the paper and the improved arc interpolation algorithm which is simple achieves the interpolation process of no approximate calculation and each interpolation point falls on the interpolation arc. Under the co- ndition of guaranteeing interpolation accuracy, because of the maximum allowed chord deviation error used in the process of interpolation calculating , the maximization of the interpolation efficiency is come true.

equal chord deviation error;time segmentation arc interpolation;simple calculation;no approximate calculation; interpolation efficiency

1001-2265(2017)01-0016-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.005

2016-03-18；

2016-04-15

李彥奎(1989—)，男，河南商丘人，江南大學(xué)研究生，研究方向CAD、CAM，(E-mail)1091018151@qq.com；通訊作者：呂彥明(1989—)，男，山西和順人，江南大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)镃AD、CAM。

TH16;TG65

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