黃海林++李金華++曾垂軍++祝明橋

摘要：結(jié)合預制矩形肋底板混凝土雙向疊合板（簡稱雙向疊合板）的受力特點，分析了當前實際工程設(shè)計中存在的問題。針對雙向疊合板的正交構(gòu)造異性特征影響，采用荷載疊加法和正交構(gòu)造異性板理論求解了均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板撓度及彎矩的解。通過對解作形式變換和引入等效跨度比，將雙向疊合板等效為各向同性雙向板進行計算，提出了簡化彈性計算方法。編程計算得到了雙向疊合板強、弱方向剛度比為0.5和2.0，以及等效跨度比在0.5～1.0時的彈性系數(shù)。介紹了按照等效跨度比查找各向同性雙向板彈性系數(shù)的線性插值法，并與編程計算結(jié)果進行對比。結(jié)果表明：采用簡化彈性計算方法得到的結(jié)果與編程計算結(jié)果吻合良好，完全能夠滿足工程設(shè)計要求，該方法準確可行。

關(guān)鍵詞：雙向疊合板；均布荷載；正交構(gòu)造異性特征；彈性計算方法

中圖分類號：TU313.1文獻標志碼：A

Simplified Elastic Calculation Method of Precast Rectangular Rib Floor

Concrete Twoway Composite Slab with One Edge Clamped and

Three Edges Simply SupportedHUANG Hailin， LI Jinhua， ZENG Chuijun， ZHU Mingqiao

（School of Civil Engineering， Hunan University of Science and Technology， Xiangtan 411201， Hunan， China）Abstract： Based on the mechanical property of precast rectangular rib floor concrete twoway composite slab （twoway composite slab）， the existing problems in the practical engineering design were analyzed. According to the influence of the structural orthotropic characteristic of the twoway composite slab， the solutions of the deflection and bending moment of twoway composite slab with one edge clamped and three edges simply supported under uniformly distributed loads were solved by load superposition method and orthotropic plate theory. Through the form transformation of solutions and the introduction of equivalent span ratio， the twoway composite slab was calculated as equivalent isotropic twoway slab， and simplified elastic calculation method was presented. The elasticity coefficients of twoway slab composite were obtained by programming computation when the strong and weak directional stiffness ratios were 0.5 and 2.0 and the equivalent span ratio was 0.51.0. The linear interpolation method was introduced to find the elastic coefficients of isotropic twoway slab according to the equivalent span ratio， and the results were compared with the programming calculation results. The results shows that the results obtained by simplified elastic calculation method are in good agreement with the programming calculation results. The simplified elastic calculation method can completely meet the engineering design requirements， and is accurate and feasible.

Key words： twoway composite slab； uniformly distributed load； orthotropic characteristic； elastic calculation method

0引言

以預制預應(yīng)力混凝土矩形肋底板（簡稱預制底板）作為永久性底模，在預制矩形肋的預留圓孔或矩形孔中穿置橫向非預應(yīng)力筋，預制底板拼接完成后沿拼縫安裝適量防裂鋼筋或鋼筋網(wǎng)片，再在上面澆筑相應(yīng)厚度的混凝土便形成預制矩形肋底板混凝土雙向疊合板（簡稱雙向疊合板）[17]。

與預制底板矩形肋平行方向（強方向）的雙向疊合板剛度因鋪設(shè)有預制底板而被加強，與預制底板矩形肋垂直方向（弱方向）的雙向疊合板剛度因存在若干拼縫而被削弱，導致雙向疊合板呈正交構(gòu)造異性板特征[811]。因此，實際工程進行雙向疊合板彈性設(shè)計時，不能直接采用各向同性雙向板的彈性系數(shù)，必須重新計算[12]。

目前，根據(jù)現(xiàn)行有關(guān)建筑標準設(shè)計圖集設(shè)計任意跨度比的雙向疊合板時，并未考慮雙向疊合板的雙向受力效應(yīng)，均按單向板設(shè)計。例如，國家建筑標準設(shè)計圖集《預制帶肋底板混凝土疊合樓板》、甘肅省建筑標準設(shè)計圖集《預制帶肋底板混凝土疊合樓板》、陜西省推廣應(yīng)用的標準設(shè)計圖集《PK預應(yīng)力混凝土疊合板》以及山東省建筑標準設(shè)計圖集《PK預應(yīng)力混凝土疊合板》的設(shè)計思想均為采用查表法在圖集中直接選用預制底板，垂直預制底板方向則按構(gòu)造布置橫向貫穿鋼筋，拼縫處按構(gòu)造布設(shè)防裂鋼筋或鋼筋網(wǎng)片。按單向板進行雙向疊合板的彈性設(shè)計造成了強方向配筋過多、弱方向配筋不合理的問題。文獻[4]借助ANSYS10.0數(shù)值模擬，研究了該樓板雙向受力效應(yīng)及變化規(guī)律，指出雙向疊合板的彈性設(shè)計應(yīng)考慮雙向受力效應(yīng)，按雙向板進行計算。按雙向板設(shè)計雙向疊合板時，需求解雙向疊合板的撓曲面基本微分方程，并依據(jù)正交2個方向的跨度比與剛度比來編制彈性系數(shù)表，其工作量大，計算繁瑣，不便于實際工程采用[12]。

上述工程設(shè)計問題制約了雙向疊合板的推廣應(yīng)用。因此，結(jié)合雙向疊合板的受力特性，研究一種簡便、可行的雙向疊合板彈性計算方法非常必要且很有意義。圍繞雙向疊合板的彈性計算方法，中國學者做了大量創(chuàng)新研究。文獻[13]，[14]針對雙向疊合板的正交構(gòu)造異性特征，根據(jù)彈性薄板原理，分別采用萊維法、納維法推導了均布荷載下四邊簡支雙向疊合板的撓度和彎矩表達式，并通過實例進行驗證，結(jié)果表明該彈性計算方法合理可行。文獻[15]通過撓度和彎矩表達式的形式變換，引入等效跨度比，將雙向疊合板等效成各向同性雙向板進行彈性計算，但該文獻僅對均布荷載下兩對邊簡支另兩對邊固支的雙向疊合板進行了推導和驗證，其他邊界條件尚待論證。在此基礎(chǔ)上，本文采用荷載疊加法和正交構(gòu)造異性板理論求解均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板（弱方向一邊固支其他邊均簡支的情形）撓度及彎矩的解。借鑒文獻[15]中的思路，對解的形式作變換，并引入等效跨度比，將雙向疊合板等效為各向同性雙向板，提出了一邊固支三邊簡支雙向疊合板的簡化彈性計算方法。舉例介紹了按照等效跨度比查找各向同性雙向板彈性系數(shù)的線性插值法，并與編程計算結(jié)果進行對比。

1雙向疊合板及其撓曲面基本微分方程預制底板如圖1所示。雙向疊合板如圖2所示。

2雙向疊合板

Fig.2Twoway Composite Slab根據(jù)正交構(gòu)造異性板理論建立雙向疊合板的撓曲面基本微分方程，具體如下

Dx4wx4+2B4wx2y2+Dy4wy4=q（x，y）（1）

式中：w為雙向疊合板面內(nèi)各點的橫向位移；Dx，Dy分別為雙向疊合板x，y方向的抗彎剛度，取Dx=Bx1-μ2x，Dy=By1-μ2y，Bx，By分別為雙向疊合板x，y方向單位寬度的實際抗彎剛度，強方向按雙向疊合板整板厚度進行計算，弱方向按后澆混凝土層厚度（疊合板的整板厚度減去板的拼縫高度）進行計算，μx，μy分別為雙向疊合板x，y方向的泊松比，取μx=μy=0.2；B為雙向疊合板的綜合抗扭剛度，可按Huber公式計算，取B=DxDy；q（x，y）為垂直于雙向疊合板板面的均布荷載。2一邊固支三邊簡支雙向疊合板求解

2.1板中心點撓度計算式及其形式變換

本文采用如圖3所示的直角坐標系，其中，lx，ly分別為雙向疊合板x，y方向的跨度。均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的橫向位移求解方法如下（本文研究弱方向一邊固支其他邊均簡支的情形和強方向一邊固支其他邊均簡支的情形，可借助坐標變換進行計算）。

式中：af為均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的板中心點撓度系數(shù)。

將本文式（25）與各向同性雙向板的板中心點撓度計算式[16]進行比較發(fā)現(xiàn)，兩者形式相同，僅式中參數(shù)αm的計算值不同。

對αm作形式變換，由式（3）可得αm=mπ2rlylx，由式（24）可知：均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的板中心點撓度系數(shù)af等于x，y方向跨度分別為lx，rly的各向同性雙向板的板中心點撓度系數(shù)。

2.2板中心點彎矩計算式及其形式變換

2.2.1x方向板中心點彎矩計算式及其形式變換

不考慮泊松比影響，取μ=0，當x=0，y=0時，x方向板中心點彎矩Mx計算式如下

式中：mx為均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的x方向板中心點彎矩彈性系數(shù)。

將本文式（28）與各向同性雙向板的板中心點彎矩計算式[16]進行比較發(fā)現(xiàn)，兩者形式相同，僅式中參數(shù)αm的計算值不同。

對αm作形式變換，由式（3）可得αm=mπ2rlylx，由式（27）可知：均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的x方向板中心點彎矩彈性系數(shù)mx等于x，y方向跨度分別為lx，rly的各向同性雙向板的x方向板中心點彎矩彈性系數(shù)。

2.2.2y方向板中心點彎矩計算式及其形式變換

不考慮泊松比影響，取μ=0，當x=0，y=0時，y方向板中心點彎矩My計算式如下

式中：my為均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的y方向板中心點彎矩彈性系數(shù)。

將本文式（31）與各向同性雙向板的板中心點彎矩計算式[16]進行比較發(fā)現(xiàn)，兩者形式相同，僅式中參數(shù)αm的計算值不同。

對αm進行形式變換，由式（3）可以得到αm=mπ2lylx/r，由式（30）可知：均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的y方向板中心點彎矩彈性系數(shù)my等于x，y方向跨度分別為lx/r，ly的各向同性雙向板的y方向板中心點彎矩彈性系數(shù)。

2.2.3考慮泊松比影響的跨中彎矩計算式

若考慮泊松比影響，即μ≠0時，x，y方向的板中心點彎矩M（μ）x，M（μ）y按下式計算

M（μ）x=Mx+μλMy

M（μ）y=My+μλMx（32）

2.3固支邊中點負彎矩計算式及其形式變換

沿四邊簡支雙向疊合板邊緣y=ly/2施加分布彎矩，其支座負彎矩等于兩對稱邊緣彎矩M（x）和兩反對稱邊緣彎矩M′（x）的疊加值，且兩者大小相同方向相反。

將式（16），（19）代入式（5），（7）中，并將板的坐標原點平移到板中心，整理可得

式中：m′y為均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板固支邊中點負彎矩彈性系數(shù)。

將本文式（36）與各向同性雙向板的固支邊中點負彎矩計算式[16]進行比較發(fā)現(xiàn)，兩者形式相同，僅式中參數(shù)αm的計算值不同。

對αm進行形式變換，由式（3）可以得到αm=mπ2lylx/r，由式（35）可知：均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板固支邊中點負彎矩彈性系數(shù)m′y等于x，y方向跨度分別為lx/r，ly的各向同性雙向板固支邊中點負彎矩彈性系數(shù)。

2.4不同區(qū)格雙向疊合板的求解方法

均布荷載作用下一邊固支三邊簡支單區(qū)格雙向疊合板可根據(jù)彈性薄板理論、正交構(gòu)造異性板理論計算其撓度和彎矩。

對于均布荷載作用下一邊固支三邊簡支多區(qū)格等跨連續(xù)雙向疊合板，則采用近似計算方法，即簡化活荷載的支撐條件與最不利位置，將多區(qū)格雙向疊合板的內(nèi)力求解問題轉(zhuǎn)化為單區(qū)格雙向疊合板的內(nèi)力求解問題[17]。3一邊固支三邊簡支雙向疊合板簡化彈性計算方法在實際工程中，雙向疊合板的彈性計算需求解正交構(gòu)造異性板的撓曲面基本微分方程，并依據(jù)正交2個方向的跨度比與剛度比來編制彈性系數(shù)表，工作量大，計算繁瑣。

為簡化雙向疊合板的彈性計算，本文借鑒文獻[15]中的思路，引入等效跨度比λc，直接按等效跨度比λc查找各向同性雙向板的彈性系數(shù)進行均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的彈性計算。

當r≠1時，對αm作相應(yīng)的形式變換，由式（25），（28），（31），（36）分別可得均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板中心點撓度、x與y方向的板中心點彎矩及固支邊中點負彎矩的簡化彈性計算方法：

（1）板中心點撓度。等同于以雙向疊合板的弱方向邊長乘以系數(shù)r而強方向邊長保持不變的各向同性雙向板中心點的撓度[圖6（a），其中，h1為疊合板整板厚度，h2為面層后澆混凝土厚度]。

（2）x方向板中心點彎矩。等同于以雙向疊合板的弱方向邊長乘以系數(shù)r，而強方向邊長保持不變的各向同性雙向板在x方向板中心點單位板寬內(nèi)的彎矩[圖6（b）]。

（3）y方向板中心點彎矩。等同于以雙向疊合板的強方向邊長除以系數(shù)r，而弱方向邊長保持不變的各向同性雙向板在y方向板中心點單位板寬內(nèi)的彎矩[圖6（c）]。

（4）y方向固支邊中點負彎矩。等同于以雙向疊合板的強方向邊長除以系數(shù)r，而弱方向邊長保持不變的各向同性雙向板固支邊中點沿y方向單位板寬內(nèi)的負彎矩[圖6（c）]。

Edges Simply Supported計算得到λc后，便可以采用線性插值法或其他精度較高的插值方法查找文獻[17]給出的均布荷載作用下一邊固支三邊簡支雙向同性板的彈性計算系數(shù)表，從而簡化均布荷載作用下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的彈性計算過程。4算例分析

均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板中心點的撓度、彎矩和固支邊中點負彎矩的級數(shù)解可通過編制程序進行計算，每個級數(shù)取100項以上，各彈性系數(shù)的計算值均能達到足夠精度。

跨度比與第4列等效跨度比進行查表時，x方向為短跨方向，y方向為長跨方向。等的，表明本文提出的簡化彈性計算方法是合理可行的。

下面再舉例介紹按照等效跨度比查找各向同性雙向板彈性系數(shù)的線性插值法，并與編程計算結(jié)果進行對比。

例如均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合樓板x，y方向尺寸分別為3，4 m，已知預制底板沿x方向布置，強、弱方向剛度比為2，弱方向一邊固支其他邊均簡支，現(xiàn)采用查表法確定該疊合板的跨中彈性系數(shù)af，mx，my，m′y。

求解過程如下：

對比以上結(jié)果可知，在表3中查表計算所得的彈性系數(shù)與編程計算的結(jié)果非常接近，精度完全能夠滿足工程設(shè)計要求，實際工程中可采用本文提出的簡化彈性計算方法。5結(jié)語

（1）現(xiàn)有國家及地方標準圖集所采用的設(shè)計思路并未考慮疊合板的受力特點，一律按單向板進行

（2）提出了均布荷載下一邊固支三邊簡支雙向疊合板的簡化彈性計算方法，便于實際工程設(shè)計采用，有利于雙向疊合板的推廣應(yīng)用。采用該簡化計算方法時，應(yīng)考慮雙向疊合板的正交構(gòu)造異性特征影響，強方向的剛度按雙向疊合板整板厚度進行計算，弱方向的剛度按后澆混凝土層厚度進行計算。后澆混凝土層厚度按照疊合板的整板厚度減去板的拼縫高度計算。

（3）編程計算得到了雙向疊合板強、弱方向剛度比為0.5和2.0以及等效跨度比在0.5～1.0時的彈性系數(shù)，結(jié)果表明，剛度比不同而等效跨度比相等時，實際跨度比雖然不同，但彈性系數(shù)是相等的。建議預制底板按雙向疊合板的短跨方向布置，以充分利用其高強性能，降低鋼筋用量獲得經(jīng)濟效益。

（4）舉例介紹了按照等效跨度比查找各向同性雙向板彈性系數(shù)的線性插值法，并與編程計算結(jié)果進行了對比驗證，結(jié)果表明，雙向疊合板的等效跨度比與各向同性雙向板的跨度比相等時彈性系數(shù)是相等的。

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