柳笛 楊純

(華東師范大學教育學部,上海 200062)

兒童數(shù)量表征研究評述*

柳笛 楊純

(華東師范大學教育學部,上海 200062)

數(shù)量表征是個體頭腦內(nèi)部對數(shù)量刺激的解釋、表達與操作的過程，是人類認知發(fā)展的重要組成部分。兒童數(shù)量表征隨著個體年齡的增長趨于成熟，具體分為四個發(fā)展階段：(1)最初形成非符號數(shù)量表征；(2)將非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征建立聯(lián)系；(3)擴展整數(shù)表征的范圍；(4)精確地表征有理數(shù)的大小。本研究從近20年有關(guān)數(shù)量表征的行為研究和認知神經(jīng)科學研究入手，深入分析有關(guān)兒童數(shù)量表征的發(fā)展趨勢與內(nèi)在加工機制，總結(jié)了目前有效提高兒童數(shù)量表征能力的教育干預與訓練方案。

數(shù)量表征;非符號數(shù)量表征;符號數(shù)量表征;干預

身處一個全球化、互聯(lián)網(wǎng)與大數(shù)據(jù)交互的時代，人們在學習、工作和生活中時刻都需要對數(shù)量進行表征。數(shù)量表征是指個體頭腦內(nèi)部對數(shù)量刺激的解釋、表達與操作的過程(Brysbaert，2004)。換句話說，數(shù)量表征就是個體理解數(shù)量概念及其關(guān)系的概念系統(tǒng)(陳英和，2015)。這里，個體對數(shù)量意義的理解不僅是單獨理解特定數(shù)量的大小，而且包括對量與量之間的復雜關(guān)系的理解。信息加工理論和核心知識理論皆強調(diào)數(shù)量表征是人類認知發(fā)展的重要組成部分(Feigenson，Dehaene，& Spelke，2004)。數(shù)量表征的理解與掌握可幫助個體深刻體會數(shù)概念，促進長時記憶中儲存的算術(shù)事實轉(zhuǎn)化為有效的計算策略，從而提高運算流暢性并改善數(shù)學能力(Siegler & Pyke，2013)。

兒童早期數(shù)量表征的表現(xiàn)能夠預測其以后的數(shù)學成績(Watts，Duncan，Siegler，& Davis-Kean，2014)，還能預測其在閱讀(Duncan et al.，2007)和科學領(lǐng)域(Sadler & Tai，2007)的成績，甚至能預測個體成年以后的社會經(jīng)濟狀況(Ritchie & Bates，2013)。在教育公平的視閾下，為了縮小低收入家庭兒童與高收入家庭兒童在數(shù)學知識上的差異，較多研究開始關(guān)注兒童早期數(shù)量表征的發(fā)展。目前，國內(nèi)外研究者從行為研究和認知神經(jīng)科學角度探討了兒童數(shù)量的認知加工與表征，分析了兒童早期數(shù)量表征對以后數(shù)學能力的影響。相關(guān)研究成果在教育實踐中的轉(zhuǎn)化也引起眾多研究者的濃厚興趣，人們開展了豐富的數(shù)量表征教育干預和短期訓練，希望以此加深對兒童數(shù)量表征的理解與掌握，從而改善他們的學習成績。通過對近20年國內(nèi)外文獻的梳理，本文著重分析兒童數(shù)量表征的發(fā)展趨勢及其大腦神經(jīng)機制，以及在此基礎(chǔ)上開展的教育引導和干預訓練。

一、兒童數(shù)量表征的發(fā)展階段

個體生活經(jīng)驗的日益豐富，數(shù)字范圍的不斷擴大，勢必要求兒童能夠更加精確地表征數(shù)量。從新生兒到成熟個體，數(shù)量大小的表征大致經(jīng)歷了四個階段：(1)最初形成非符號數(shù)量表征；(2)將非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征建立聯(lián)系；(3)擴展整數(shù)表征的范圍；(4)精確地表征有理數(shù)的大小。這四個發(fā)展過程是相互交織重疊的，而非線性連續(xù)的(Siegler，2016)。

(一)非符號數(shù)量表征

非符號數(shù)量表征是指個體大腦內(nèi)部對視覺、聽覺或跨感覺通道所呈現(xiàn)的實物或?qū)嵨镉浱柕臄?shù)量刺激進行解釋和表達的過程(賴穎慧，陳英和，陳聰，2012)。非符號數(shù)量表征具有遺傳基礎(chǔ)，在動物和人類個體的早期廣泛存在(陳英和，賴穎慧，2013)。在數(shù)量表征機制的發(fā)展進程中，嬰兒最先展露出非符號表征能力，7個月的嬰兒就能夠感知到相同數(shù)量物體的刺激，比如3個實物和3種語調(diào)(Jordan & Brannon，2006)。

研究者通過腦成像技術(shù)，為我們進一步揭示了個體數(shù)量表征的內(nèi)在神經(jīng)生理機制。從嬰兒期到成年期，個體數(shù)量表征的內(nèi)在機制其實與人腦頂葉內(nèi)部的頂內(nèi)溝(intraparietal sulcus，IPS)和背外側(cè)前額葉皮質(zhì)區(qū)域(dorsolateral prefrontal cortex，DLPFC)緊密相關(guān)。德國學者Nieder(2011)的電生理學研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)字刺激能快速激活頂內(nèi)溝的神經(jīng)元，并實時開啟數(shù)字處理模式，同時將信息迅速移動到與之相關(guān)的背外側(cè)前額葉皮質(zhì)區(qū)域，從而通過信號控制個體的反應行為。

行為研究發(fā)現(xiàn)人類對非符號大數(shù)量(數(shù)量4以上)的表征，主要受數(shù)量比例的影響(Cantlon，Safford，& Brannon，2010)。新生兒能夠辨別數(shù)量比例是3∶1的點陣，而并不能辨別2∶1的點陣。6個月的嬰兒已具有數(shù)量的初步感知，能夠辨別數(shù)量比例是2∶1的點陣。9個月嬰兒數(shù)量分辨的精確性相對提高，能夠區(qū)分數(shù)量比例是3∶2的點陣(Xu & Arriaga，2007)。嬰兒的這種受數(shù)量比例限制的特點，在區(qū)分聲音序列任務(wù)上同樣存在(Lipton & Spelke，2003)。最近的研究表明，嬰兒能夠建立起一般的定量表征，包括數(shù)字大小、空間大小與時間大小。美國學者Lourenco和英國學者Longo(2010，2011)合作研究發(fā)現(xiàn)，若嬰兒長期看到兩個刺激中較大的一個刺激物用特定的方式進行裝飾，隨后他們會不習慣其中較小的刺激物采用相同的裝飾方式。在適應期，若兩個條狀物中較長的一個有條紋，嬰兒隨后會不習慣較短的物體有條紋。這說明，定量表征存在于長度、時間和數(shù)量等任務(wù)上。

從人類的神經(jīng)影像數(shù)據(jù)與動物的電生理數(shù)據(jù)來看，數(shù)量、空間范圍和時間距離等任務(wù)都會激活接近額頂葉網(wǎng)絡(luò)的區(qū)域(Cohen，Lammertyn，& Izard，2008)。因此，從嬰兒期開始，非符號數(shù)量不僅可以單獨作為一個特定維度進行表征，而且可以放在一個更普遍的定量系統(tǒng)中進行表征(Newcombe，Levine，& Mix，2015)。一般認為，非符號數(shù)量表征的進步，在很大程度上反映了一般定量概念的發(fā)展。

(二)從非符號數(shù)量表征到符號數(shù)量表征

符號數(shù)量表征是指個體大腦內(nèi)部依賴于符號知識對數(shù)字和數(shù)詞等形式的數(shù)量進行解釋和表達的過程(賴穎慧等，2012)。個體早期發(fā)展的非符號數(shù)量表征知識，對以后符號數(shù)量表征知識(如，口頭表達“8”和阿拉伯數(shù)字“8”)的學習起到潛移默化地影響?；谶@一推論，法國學者Dehaene(2008)提出假說：個體在學習數(shù)字符號的時候，只是把阿拉伯數(shù)字的字形與對應的數(shù)量建立聯(lián)系。該假說為個體在理解數(shù)字符號系統(tǒng)上的差異，提供了一種合理的解釋，即非符號數(shù)量表征能夠促進符號數(shù)量表征的發(fā)展(Halberda，Mazzocco，& Feigenson，2008)。法國Piazza研究團隊(2007)采用功能性磁共振成像技術(shù)(fMRI)為該推斷提供了佐證，即發(fā)現(xiàn)非符號數(shù)量任務(wù)和符號數(shù)量任務(wù)共同激活人腦頂葉和前額葉皮層的神經(jīng)元群體。也就是說，人腦在處理非符號與符號數(shù)量任務(wù)的加工區(qū)域存在重疊。

非符號數(shù)量表征在掌握符號數(shù)量表征的過程中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，并能夠解釋個體間的差異。有大量研究支持如下觀點，兒童在辨別非符號數(shù)量大小任務(wù)上的表現(xiàn)能夠預測個體當前甚至以后在比較數(shù)字大小、算術(shù)運算和數(shù)學成就等方面的表現(xiàn)(Gilmore，McCarthy，& Spelke，2010)。也有研究發(fā)現(xiàn)，通過干預兒童在估計點陣任務(wù)上的表現(xiàn)可以提高兒童的運算速度(Hyde，Khanum，& Spelke，2014)以及成人在限定時間內(nèi)解題的數(shù)量(Park & Brannon，2013)。

然而，兒童非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征的關(guān)系如何？兒童非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征之間是否存在正向因果關(guān)系？為此，研究者對非符號與符號數(shù)量表征之間的關(guān)系強度進行了進一步研究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，個體在非符號與符號數(shù)量表征任務(wù)表現(xiàn)上的差異，以及非符號數(shù)量表征與數(shù)學成就之間的相關(guān)性，都遠遠弱于他們之前所提出的假設(shè)。例如，Lyons等(2014)以1391名小學生為研究對象，發(fā)現(xiàn)非符號數(shù)量表征的表現(xiàn)與運算能力之間的相關(guān)系數(shù)只有0.24。進一步擴充研究樣本，以超過10000名的年齡介于11歲至85歲的個體為研究對象，發(fā)現(xiàn)非符號數(shù)量表征的表現(xiàn)和數(shù)學成就之間呈弱相關(guān)，相關(guān)系數(shù)僅為0.21(Halberda，Ly，Wilmer，Naiman， & Germine，2012)。

其次，研究者對非符號數(shù)量表征的干預研究亦得到與原假設(shè)不一致的結(jié)果。雖然有三項研究結(jié)果顯示，運用非符號數(shù)量表征干預訓練對符號運算產(chǎn)生了積極影響，但包含相同數(shù)量的非符號表征訓練方案未能產(chǎn)生預期效果(Dewind & Brannon，2012)。

此外，腦成像研究數(shù)據(jù)證實，非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征之間的關(guān)系較為復雜。雖然研究表明非符號數(shù)量表征任務(wù)與符號數(shù)量表征任務(wù)都在相同的腦區(qū)激活，但在這些區(qū)域里由相同數(shù)量的非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征引起的加工活性分布呈低相關(guān)，甚至無關(guān)(Bulthé et al.，2014)。基于行為數(shù)據(jù)，也很難推斷非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征共享同一個神經(jīng)表征系統(tǒng)。目前，探討非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征之間究竟存在何種關(guān)系似乎并不重要，最重要的是考察非符號數(shù)量表征是如何幫助兒童理解大數(shù)量的符號表征的。比如，即使個體不能準確辨別50個點陣與51個點陣，但他只要掌握了十進制就知道“51”比“50”大。

(三)從小數(shù)量到大數(shù)量的符號數(shù)量表征

學習數(shù)量大小是一個緩慢、漸進的過程。對兒童來說，能準確從1數(shù)到10，并且知道后面的數(shù)字比前面的數(shù)字大，這并非一蹴而就的過程。即使經(jīng)過一年的學習，兒童能正確地從1數(shù)到10，但其對10以內(nèi)各數(shù)大小的認識仍比較有限(Le Corre & Carey，2007)。

兒童知道數(shù)字1至10的相對大小，有學者認為這種數(shù)量關(guān)系是一種近似壓縮的對數(shù)模型。美國兒童數(shù)量認知科學研究的代表性人物Siegler以及眾多國外學者都采用數(shù)字線估計任務(wù)，來描摹兒童從小數(shù)量到大數(shù)量的符號數(shù)量表征發(fā)展趨勢。典型的數(shù)字線估計任務(wù)是呈現(xiàn)一條線段，線段左端標0，右端標10(100或1000)，被試根據(jù)出示的數(shù)字在線段上標注其相應的位置。

多重表征理論認為，在不同數(shù)量范圍下，兒童數(shù)量表征模型由對數(shù)表征模型轉(zhuǎn)向?qū)?shù)與線性表征模型共存，最終過渡到線性表征模型(徐華，陳英和，2012；周廣東，莫雷，溫紅博，2009)。在0～100數(shù)量范圍內(nèi)，5～6歲兒童形成對數(shù)表征模型，7～8歲兒童開始具有線性表征模型(Laski & Siegler，2007；Siegler & Booth，2004)。在0～1000數(shù)量范圍內(nèi)，7～8歲兒童形成對數(shù)表征模型，9～10歲兒童開始具有線性表征模型(Booth & Siegler，2006)。在0～10000數(shù)量范圍內(nèi)，9歲兒童形成對數(shù)表征模型，12歲兒童開始具有線性表征模型(Thompson & Opfer，2010)。徐華(2011)采用0～10數(shù)字線估計任務(wù)，考察了3～4歲兒童的數(shù)量表征模型，結(jié)果發(fā)現(xiàn)按照靜態(tài)分組，中國兒童在4.41歲就形成了線性數(shù)量表征。一些跨文化研究亦發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)果，即相應的表征模型與發(fā)展趨勢出現(xiàn)在年齡較小的中國兒童中(Siegler & Mu，2008)。在不同數(shù)量范圍下兒童出現(xiàn)線性表征模型的年齡各異，與兒童數(shù)學學習經(jīng)驗密切相關(guān)。一般情況下，3～6歲兒童通過計數(shù)活動認識數(shù)字0～10；6～8歲兒童通過計數(shù)活動，以及一位數(shù)、兩位數(shù)的加減法認識數(shù)字0～100；8～10歲兒童通過一位數(shù)、兩位數(shù)的乘除法認識數(shù)字0～1000；9～12歲兒童通過多位數(shù)乘除法，認識數(shù)字0～10000或者更大的數(shù)。

為了更深入地揭示出兒童數(shù)量估計的認知過程及發(fā)展模式，最新研究不再拘泥于所謂的“模型”爭論，轉(zhuǎn)而關(guān)注其背后的心理加工方式與相應策略。我國學者劉國芳和辛自強(2012)采用數(shù)字線估計任務(wù)考察了5～6歲兒童數(shù)量表征的準確性在不同數(shù)字上的表現(xiàn)及其采用的估計策略，結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)字估計準確性在不同的估計數(shù)字上有所不同，且兒童較多采用中點策略和端點策略。

(四)從整數(shù)數(shù)量表征到分數(shù)數(shù)量表征

數(shù)量發(fā)展整合理論(Integrated Theory of Numerical Development)在承認個體掌握分數(shù)知識與整數(shù)知識差異的同時，更突顯分數(shù)知識和整數(shù)知識發(fā)展的聯(lián)系。該理論強調(diào)實數(shù)域內(nèi)數(shù)的連續(xù)性，認為所有實數(shù)都可以用數(shù)字線上的點來表示(Siegler et al，2011)。

大量實驗數(shù)據(jù)證實分數(shù)數(shù)量表征能預測高級的數(shù)學認知能力，說明分數(shù)數(shù)量表征對于個體數(shù)量表征機制發(fā)展的重要性。通過分析美國與英國的大型縱向數(shù)據(jù)，人們發(fā)現(xiàn)在控制整數(shù)運算知識、智力水平、工作記憶、家庭收入與教育水平等變量后，五年級小學生的分數(shù)表征成績可以預測其高中的代數(shù)成績與數(shù)學學業(yè)成就(Siegler, Duncan, Davis-Kean, Duckworth, Claessens et al., 2012)。

為了探明分數(shù)數(shù)量表征是否沿著與整數(shù)數(shù)量表征相似的路徑發(fā)展，大量研究開始考察兒童分數(shù)數(shù)量表征的發(fā)展趨勢與表征模型特點。張麗等(2014)以3～6年級小學生為研究對象，采用0～1分數(shù)數(shù)字線估計任務(wù)進行測試，結(jié)果發(fā)現(xiàn)五年級兒童分數(shù)數(shù)字線估計的準確性比四年級有顯著提高，且五六年級兒童主要采取了線性表征，而三四年級兒童沒有明顯的線性表征或?qū)?shù)表征的傾向。盧淳等(2014)以六年級小學生和大學生為被試，發(fā)現(xiàn)被試在0～1數(shù)字線估計任務(wù)上呈線性表征，且小學生分數(shù)數(shù)字線表征的準確性顯著低于大學生。Siegler 等(2011)以六年級和八年級小學生為被試，發(fā)現(xiàn)在0～1數(shù)字線估計任務(wù)上八年級學生分數(shù)數(shù)字線表征的準確性顯著高于六年級學生，且八年級學生數(shù)字線估計的線性擬合度比六年級學生好?？梢姡S著對數(shù)學符號系統(tǒng)的深入理解與學習，個體分數(shù)數(shù)量表征發(fā)展趨勢表現(xiàn)為隨年齡的增長而發(fā)展。

分數(shù)數(shù)量表征與整數(shù)數(shù)量表征的關(guān)系如何，值得進一步研究。若整數(shù)數(shù)量表征能夠積極影響分數(shù)數(shù)量表征的發(fā)展，甚至能夠說明整數(shù)數(shù)量的理解是分數(shù)理解的重要前提，這將為Siegler 等提出的數(shù)量發(fā)展整合模型提供有利證據(jù)。研究者先從神經(jīng)科學視角探討了二者之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)整數(shù)數(shù)量表征與分數(shù)數(shù)量表征所激活的腦區(qū)相同。這是從腦神經(jīng)機制方面，為分數(shù)知識和整數(shù)知識發(fā)展存在聯(lián)系提供有利支持。非符號分數(shù)數(shù)量表征與符號分數(shù)數(shù)量表征能夠激活額頂葉網(wǎng)絡(luò)腦區(qū)，該區(qū)域是處理整數(shù)數(shù)量表征的腦區(qū)(Jacob，Vallentin，& Nieder，2012)。對大學生而言，處理分數(shù)大小問題會自動激活人腦頂葉內(nèi)部的頂內(nèi)溝(Jacob，Nieder，2009)。

近年來，研究者采用數(shù)字線估計任務(wù)直接考察整數(shù)數(shù)量表征與分數(shù)數(shù)量表征之間的關(guān)系。例如，Thompson等(2008)對64名1～3年級學生進行測試，采用數(shù)字線估計任務(wù)發(fā)現(xiàn)學生整數(shù)估計的表現(xiàn)與分數(shù)估計的表現(xiàn)呈負相關(guān)。然而，F(xiàn)azio 等(2014)對53名小學5年級學生進行的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，整數(shù)數(shù)量大小比較的正確性、數(shù)量估計的準確性與分數(shù)估計的準確性存在顯著正相關(guān)。張麗等(2014)對155名3～6年級小學生采用0～1分數(shù)數(shù)字線估計任務(wù)和0～1000 整數(shù)數(shù)字線估計任務(wù)進行測量，發(fā)現(xiàn)整數(shù)數(shù)量表征和分數(shù)數(shù)量表征呈顯著正相關(guān)?？v向研究的數(shù)據(jù)也表明，個體在整數(shù)數(shù)量知識上的差異能夠預測其后來在分數(shù)大小和算術(shù)知識上的差異(Jordan et al.，2013；Vukovic et al.，2014)。美國卡梅隆大學Bailey和Siegler等人(2014)對100多名兒童進行了為期7年的縱向跟蹤研究，發(fā)現(xiàn)在控制智商、執(zhí)行功能、種族、性別、家庭收入和父母教育水平等因素后，兒童6歲的整數(shù)數(shù)量知識能夠預測其13歲的分數(shù)數(shù)量知識與分數(shù)運算。可以看出，整數(shù)數(shù)量表征與分數(shù)數(shù)量表征關(guān)系的研究結(jié)果存在不一致，這可能與研究對象年齡、樣本量、測試任務(wù)等因素有關(guān)，因而仍需要深入考察整數(shù)數(shù)量表征與分數(shù)數(shù)量表征之間的關(guān)系。

二、數(shù)量表征的教育干預研究

兒童數(shù)量表征呈現(xiàn)出不同的發(fā)展階段，總體而言，隨著個體年齡的增長，兒童數(shù)量表征不斷趨于成熟。研究表明，數(shù)學活動經(jīng)驗(Butterworth，2010)，認知加工能力(如空間能力、工作記憶、反饋等)(Geary et al.，2007)等因素會影響兒童數(shù)量表征的發(fā)展。因此，對兒童數(shù)量表征的教育干預就顯得尤為重要。

(一)教育干預

數(shù)學活動經(jīng)驗被認為是影響個體數(shù)量表征系統(tǒng)發(fā)展的重要因素。Dehaene 等(2008)證實學習經(jīng)歷和教育機會對數(shù)量表征有影響。早期數(shù)學活動給了兒童運用數(shù)量表征的機會，這也可能會提高他們的數(shù)學認知能力。

一些行為研究進一步支持了這一觀點。在接受正式學校教育之前，來自低收入家庭的兒童與來自中等收入家庭的兒童在早期數(shù)學經(jīng)驗上存在顯著差異，與來自中等收入家庭的兒童相比，來自低收入家庭的兒童在家里接觸數(shù)學材料和體驗數(shù)學游戲活動的機會相對較少(Ramani & Siegler，2008)。美國學者Fuhs及其同事(2013)研究發(fā)現(xiàn)，來自低收入家庭的兒童的數(shù)量表征與數(shù)學能力之間存在弱相關(guān)：當控制間接變量詞匯表達因素后，二者的相關(guān)性已經(jīng)微不足道，控制直接變量詞匯理解因素后，二者無顯著相關(guān)。低收入家庭的兒童缺乏正式學校教育之前的早期數(shù)學經(jīng)驗，這影響了數(shù)量表征和數(shù)學能力之間的關(guān)系。低收入家庭的兒童在入學之前，缺少機會參與早期數(shù)學活動，所以在數(shù)量表征方面表現(xiàn)欠佳。

在以小學生為被試的研究中發(fā)現(xiàn)了與學前兒童研究類似的結(jié)果。Fuchs等(2013)多位學者合作開發(fā)了“挑戰(zhàn)分數(shù)”數(shù)學課程，選取四年級小學生為被試，并將他們隨機分為干預組和控制組。干預組接受的課程包括分數(shù)大小的比較、排序，以及在數(shù)軸上標識分數(shù)等；控制組接受的課程節(jié)選自普通數(shù)學課本上的相關(guān)內(nèi)容，強調(diào)分數(shù)的整體與部分的表征(例如把1個圓平均分成4份，可以用1/4表示其中的1份)以及分數(shù)運算步驟。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，接受“挑戰(zhàn)分數(shù)”干預課程的被試，無論是在分數(shù)的概念性理解還是分數(shù)運算上都比控制組的學生表現(xiàn)要好。

后續(xù)研究將被試擴展到成人領(lǐng)域。比利時學者Nys等人(2013)根據(jù)教育經(jīng)歷將被試分為三組：接受過學校教育的成年人、未接受過學校教育的成年人、只接受過數(shù)學教育但未接受過學校教育的成年人。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在比較點陣數(shù)量大小任務(wù)和比較數(shù)字大小任務(wù)中，未接受過學校教育組被試比其他兩組被試反應慢，錯誤率也較高；在非符號數(shù)量與符號數(shù)量匹配任務(wù)中，未接受過學校教育組被試比其他兩組被試表現(xiàn)得更加困難。這些發(fā)現(xiàn)表明，經(jīng)過數(shù)學教育獲得準確的數(shù)學知識，將有助于改善個體數(shù)量表征的發(fā)展。

(二)短期訓練

1.數(shù)字棋盤游戲

Siegler等(2004)認為數(shù)字棋盤游戲(Number Board Game)能夠促進兒童理解數(shù)量大小，完成從“1～10”或者“1～100”的數(shù)數(shù)到知曉數(shù)量大小的轉(zhuǎn)變。棋盤游戲為理解數(shù)字含義提供了多元的感知覺線索，骰子顯示的數(shù)字越大，表明：(1)棋子移動的距離越長；(2)棋子到達預定位置所需的時間越久；(3)如果棋子每次走一格的話，手部移動的次數(shù)就越多；(4)如果邊數(shù)邊移動棋子的話，口述的數(shù)詞就越多。在游戲的過程中，棋盤游戲為兒童學習數(shù)量大小知識提供了空間、時間、運動、言語和聽覺等方面的線索，多元感知信息構(gòu)成了一個構(gòu)建數(shù)量線性表征的支持體系。

美國學者Ramani和Siegler(2008)以低收入家庭的學前兒童為被試，對他們進行了為期2周的數(shù)字棋盤游戲訓練，每周訓練2次，每次15～20分鐘。研究發(fā)現(xiàn)，兒童對數(shù)字線估計的精確性和他們的數(shù)學能力獲得顯著提高，而且他們的成績超越了進行非數(shù)字棋盤游戲控制組兒童。這表明短期的數(shù)字游戲訓練有助于數(shù)量表征的理解，能夠影響兒童的數(shù)量估計精確性與數(shù)學成績。

2. 感覺運動空間訓練

另一個發(fā)展兒童數(shù)量知識的方法是感覺運動空間訓練項目(Sensori-motor Spatial Training program)。該項目由德國學者Fischer等(2011)開發(fā)。研究者把軀體動作在數(shù)字舞蹈墊的反應(即雙腳踩在目標數(shù)字在數(shù)軸上的位置)信息輸入，并進行分析。該任務(wù)表征的空間特點與反應模式將充分激活個體心理數(shù)字線的表征。隨著激活地增加，心理數(shù)字線表征的精確性逐步提高。研究者以5～6歲兒童為被試，對其進行了為期3周的干預訓練，每周訓練2次，每次10～15分鐘，并在訓練前后分別對被試進行測試，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過訓練后，兒童在數(shù)字線估計任務(wù)中的表現(xiàn)有顯著改善。

不難發(fā)現(xiàn)，以上兩個訓練項目都是線性板游戲(物化的數(shù)字線估計任務(wù))，這有助于形成心理數(shù)字線，增強空間對應與表征能力(Siegler & Ramani，2009)。干預項目的另一個共同特點是有助于兒童理解如何將數(shù)字映射到數(shù)量大小上，同時強化兒童的數(shù)數(shù)能力。對于數(shù)量范圍0～100的游戲來說，要求兒童使用數(shù)數(shù)策略去解決問題，他們可以從任意一個數(shù)接著往后數(shù)，對游戲方格進行再次編碼，而不是每次都從最小值“1”往后數(shù)。

三、對未來研究的展望

近年來，國內(nèi)外研究團隊對個體數(shù)量表征的行為發(fā)展特點與腦神經(jīng)機制開展了系統(tǒng)研究。隨著對數(shù)量表征認識的不斷加深，有一些問題開始浮現(xiàn)出來，需要人們進行進一步探索與分析。

一是發(fā)展研究。未來的研究可嘗試從行為機制和神經(jīng)機制上對非符號數(shù)量表征、符號數(shù)量表征、整數(shù)數(shù)量表征、分數(shù)數(shù)量表征的發(fā)展特點、行為機制和神經(jīng)機制進行研究，進一步探索非符號數(shù)量表征與符號數(shù)量表征、整數(shù)數(shù)量表征與分數(shù)數(shù)量表征的區(qū)別與聯(lián)系，并從數(shù)量表征對兒童數(shù)學成就的作用等角度全面、系統(tǒng)、深入地探討數(shù)量表征的規(guī)律與作用。

二是認知機制研究。眾多研究發(fā)現(xiàn)，個體數(shù)量表征的精確性與認知加工的多個領(lǐng)域相關(guān)聯(lián)，包括中央執(zhí)行功能(Laski & Siegler 2014)，工作記憶(Friso-van den Bos et al.，2013)，注意和非言語推理(Vukovic et al.，2014)，空間能力以及語言(Jordan et al.，2013)。然而，這些認知加工領(lǐng)域之間是如何相互作用的，與數(shù)學能力的關(guān)系如何，這些方面均尚不明晰，需要進一步深入探索。

三是數(shù)量表征與數(shù)學運算的研究。已有研究證實兒童的數(shù)量知識與其在整數(shù)和分數(shù)運算上的表現(xiàn)存在相關(guān)性。數(shù)量知識的深刻理解有助于提高個體在整數(shù)運算與分數(shù)運算中的速度與準確性，同時能夠促進其他數(shù)學技能的提高。然而，數(shù)量表征有效地影響算術(shù)運算的具體細節(jié)尚不清楚。

四是跨文化研究。此類研究有助于我們從比較的視角去理解中國學生數(shù)量表征的本質(zhì)，從而為改善教學計劃提供信息，以便使學生的數(shù)學認知得到更好地培養(yǎng)與發(fā)展。Siegler等(2008)發(fā)現(xiàn)，中國5歲兒童對1～100整數(shù)數(shù)量估計的準確性顯著高于美國同齡兒童，且準確性近乎達到美國一二年級小學生的水平。5歲的中國兒童就開始采用線性表征模式，而同齡美國兒童還是采用對數(shù)表征模式。最新的一項研究表明，中國六年級和八年級小學生在分數(shù)數(shù)量估計任務(wù)中的準確性顯著高于美國同齡兒童(Torbeyns，Schneider，Xin，& Siegler，2015)。這兩項研究表明成長在不同文化中的學生在數(shù)量表征的表現(xiàn)上存在差異，因此需要進一步考察導致中美兒童數(shù)量表征差異的可能原因。

五是數(shù)量表征干預訓練研究。干預研究表明，采用一定訓練程序的棋盤游戲和體感運動游戲可以有效地培養(yǎng)兒童的符號數(shù)量表征，但是還沒有研究對非符號數(shù)量任務(wù)的效果進行檢驗。未來的研究應比較非符號數(shù)量干預任務(wù)與符號數(shù)量干預任務(wù)，來評估哪種干預措施對兒童的數(shù)量表征及其數(shù)學發(fā)展影響最大。此外，后續(xù)干預研究需要系統(tǒng)地調(diào)查各類干預訓練方法在數(shù)量表征上的效果，并根據(jù)兒童的年齡與認知水平差異，探索與之相適應的訓練方案，為教育實踐提供參考。

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(責任編輯胡巖)

10.16382/j.cnki.1000-5560.2017.05.012

上海市哲學社會科學規(guī)劃課題“上海市數(shù)學學習困難兒童的診斷與干預研究”(2013JJY003)。