胡余芳

摘 要：方程是中小學數(shù)學中重要的學習內(nèi)容，其內(nèi)涵豐富而抽象。在小學起始階段的“方程的意義”教學中，巧用天平能夠幫助學生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維發(fā)展的首次轉(zhuǎn)折。以此課為例，結(jié)合學生學習方程的心理狀態(tài)，追尋天平在方程意義教學中的價值，以便更好地開展方程的教學。

關(guān)鍵詞：天平；方程；相等關(guān)系

方程是中小學數(shù)學中重要的學習內(nèi)容，其內(nèi)涵豐富而抽象。在小學起始階段的“方程的意義”教學中，人教版教材設(shè)計了一組“用天平稱質(zhì)量”的情境圖，意圖通過天平演示引出等式；再通過逐步嘗試、調(diào)整，在相等與不等的比較中建立方程的概念。那么，怎樣才能巧用天平、用好天平？為此筆者作了如下探索：

一、課前思考與本質(zhì)解讀：天平的價值究竟何在

對于本課的教學，有太多的范例可循，通常都采用“天平演示寫出式子（相等與不等、有字母與無字母）——進行兩次分類——抽象出方程的意義——進行方程的應用”的教學流程。然而這樣教學，我們不難發(fā)現(xiàn)，天平的作用僅僅體現(xiàn)在了“引出相等與不等式、提供分類素材”中，之后的學習脫離了天平，學生基本是在憑借“外形”模仿著列方程，所遇到的最大困難就是不能準確、迅速地找到數(shù)量間的相等關(guān)系。

通過前測，筆者也發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)學生對方程都有認知，有的還能用圖示、線段、文字等來描述。但是盡管學生對方程表征的內(nèi)容、方式很多元，也都很自然地與天平取得了聯(lián)系，體現(xiàn)了類似天平左右兩邊相等的現(xiàn)象。不過他們對方程的認識還僅僅局限于初步感知，直覺思維；對于方程與等式、式子、不等式之間的聯(lián)系與區(qū)別不夠明確；更有甚者，在不少學生頭腦中，錯誤地認為，只要有未知數(shù)的都是方程。

東北師范大學前校長史寧中教授認為：“雖然方程在教科書中定義為‘含有未知數(shù)的等式，但應當知道方程的本質(zhì)是在講兩個故事，這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數(shù)量相等。”這就表明，光從定義出發(fā)去判斷一個式子是不是方程意義不大。認識方程最大的意義在于：要讓學生知道方程是一種等價的思想，是把未知量視為已知數(shù)同等性質(zhì)可參與運算的量，利用等量關(guān)系構(gòu)造出方程，進而求得問題的解。

鑒于以上認識，筆者認為：天平起著重要的“思維圖像”的作用，它能為方程意義的建構(gòu)搭建形象直觀的腳手架，能幫助學生深化對“相等關(guān)系”的理解，能引導學生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維發(fā)展的首次轉(zhuǎn)折。在本課的教學中，無論是方程建模本身的需要，還是遵循學生的認知規(guī)律，都需要借助天平，并把它貫穿于整堂課的始終，甚至延伸課后。

二、實踐探索與教學反思：天平的價值如何體現(xiàn)

方程建模的關(guān)鍵在于理解“相等關(guān)系”，學生能從現(xiàn)實情景中等價抽象出自然語言，再把自然語言用數(shù)學符號等價地表達出來。為此，我設(shè)計了“借天平”“離天平”“回天平”“憶天平”四個環(huán)節(jié)展開教學。

（一）“借天平”，溝通等式與方程

【課堂行進】

1.出示教材五幅主題圖，引導學生用數(shù)學式子表示圖意。

2.學生試寫，教師巡視。

3.匯報交流，反饋得到下列式子：

50+50=100、100+x>100、100+x>200、100+x<300、100+x=250

4.分析上述等與不等的產(chǎn)生情況，認識等式。

5.小步子練習：根據(jù)天平演示的情況寫出等式。

【思緒整理】

學習方程的概念要從認識等式開始，因此，教材安排的主題圖為引入方程概念奠定了初步的、感性的認識基礎(chǔ)。教學時，考慮到學生對方程不是“一無所知”，因此對五幅圖進行了處理：去掉式子，只呈現(xiàn)情境，讓學生在四人小組內(nèi)自主體會圖意，先用語言描述，再寫出等式（方程）和不等式，進而認識等式，初步感知方程。同時通過“確定水的質(zhì)量”，使學生體會到只有在等式里才能明確得出水的質(zhì)量，而我們要研究的就是這樣的等式。再結(jié)合天平直觀圖中的小步子練習，為后續(xù)環(huán)節(jié)的展開作好鋪墊。

（二）“離天平”，豐富方程的外延

【課堂行進】

1.根據(jù)相等關(guān)系寫出等式。

2.學生試寫，教師巡視。

3.匯報交流，呈現(xiàn)方程形式的多樣性，豐富表象。

【思緒整理】

數(shù)學概念是固定的，但呈現(xiàn)概念的方式是豐富的。生活中存在許多相等關(guān)系，要讓學生根據(jù)生活情境、文字信息、線段圖示等獲得更加多樣的等式，以豐富方程的外延。教學時，我選擇了四個具有代表性的生活情境，引導學生提取相等關(guān)系，寫出等式，豐富表象。

（三）“憶天平”，構(gòu)建起方程模型

【課堂行進】

1.“嫁接”天平，體會天平平衡與左右兩邊相等的同理。

2.學生嘗試、匯報交流，結(jié)合學生回答，動態(tài)演示移動過程。

3.整理剛才所學，抽象出方程概念。

4.揭示方程概念，閱讀課本加深印象。

【思緒整理】

離開天平寫等式的過程并不順利，要使學生面對豐富多樣的情境，也能進入對方程模型的自覺運用中，天平還得起到“扶手”的作用。因此，在寫完等式后的反饋說理環(huán)節(jié)，仍要引導學生回憶天平的模型，把兩個具有相等關(guān)系的量放在天平的兩邊，使學生體會到“等式左右兩邊相等和我們剛才天平平衡、左右兩邊相等的道理是一樣的”“離開了天平，但生活中的例子有時還真可以想象成天平的樣子”，使學生不斷加深對方程本質(zhì)的認識和理解，進一步明晰方程概念的內(nèi)涵，感知方程的多樣性、拓展外延。

當學生積累了豐富的數(shù)學經(jīng)驗后，就要引領(lǐng)學生進行再創(chuàng)造：將原本在頭腦中相對粗淺、片面、原始的經(jīng)驗通過概括、辨析等數(shù)學活動逐步成長為較為系統(tǒng)、明確的數(shù)學概念。然而這一過程也需要“漸入佳境”，因此，我有意識地拉長這個知識抽象的時間跨度，設(shè)計了一個“整理剛才所學，抽象方程概念”的過程，把之前學習過程中所有出現(xiàn)的圖和式呈現(xiàn)在學生面前，引導他們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，揭示概念，以保證不同的學生都能有多層次、多形式的嘗試體驗。

（四）“回天平”，加深對方程的認識

【課堂行進】

1.明確判斷方程的方法，進行判斷練習，總結(jié)方程與等式關(guān)系的韋恩圖。

2.回顧學習歷程，小結(jié)學習所得，總結(jié)學習方法，得出結(jié)論：“這節(jié)課我們借助天平寫出了方程，生活中的數(shù)量關(guān)系就像一架隱形的天平也能寫出方程”。

3.再建天平，進行知識整合，溝通前后聯(lián)系。

（1）聯(lián)想：怎樣使x+30、7x成為方程。

（2）思考：繼續(xù)稱，天平會怎樣？如果還想讓天平保持平衡應該怎么做？

【思緒整理】

數(shù)學知識具有嚴密的邏輯性和內(nèi)在聯(lián)系，舊知是學習新知的基礎(chǔ)，新知是舊知的延伸和發(fā)展，知識之間的縱橫交錯形成了系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)。學生掌握知識的過程，實際上就是把平時學到的“分散”“雜亂”的知識通過理解和內(nèi)化，逐步擴充、完善他們的認知結(jié)構(gòu)。所以，在揭示方程概念之后，我一方面通過一組判斷題及時地檢驗了學生的學習成果，另一個方面仍緊緊扣住“天平”的紐帶作用，把“方程”和之前學的“用字母表示數(shù)”聯(lián)結(jié)起來；還把天平游戲進行了補充，使學生在有趣的情境中初步體會了等式的性質(zhì)，為下節(jié)課做好了鋪墊。

教學實踐證明，當學生還處在懵懂狀態(tài)時，“借天平”喚醒了學生對等式的認識，幫助學生建立了初步的“相等”意識；當學生取得足夠進步時，“離天平”幫助學生積累了豐富的數(shù)學表達，為抽象出“方程”的意義做好了充分的準備；當形成數(shù)學概念時，“憶天平”再次引導學生進行內(nèi)化梳理，體會方程的內(nèi)涵，抽象出了方程的概念；當進行知識聯(lián)結(jié)時，“回天平”又進一步指導學生架構(gòu)起了知識的前后聯(lián)系。方程概念的內(nèi)涵和外延，在天平“步步為營”的引領(lǐng)下得到了充分的探究，教學取得理想的效果。

總之，方程的本質(zhì)是等價關(guān)系，天平的本質(zhì)是平衡關(guān)系，我們可以把方程類比遷移到天平，甚至可以把天平看成是方程的形象表征。就讓我們用好天平、用足天平，讓天平成為方程建模的“最佳拍檔”吧！

參考文獻：

[1]鄧群星.如何上好小學五年級數(shù)學解方程[J].中國科教創(chuàng)新導刊，2014（12）.

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