馬良玉+曹鵬蕊

摘要摘要：螢火蟲算法（FA）是繼粒子群算法、遺傳算法、模擬退火算法等經(jīng)典智能算法之后，由劍橋?qū)W者Yang Xin-she提出的一種模仿自然界螢火蟲捕食、求偶行為的新穎的群體智能隨機(jī)優(yōu)化算法。該算法近年來逐漸在不同優(yōu)化領(lǐng)域得以成功應(yīng)用，但也存在易陷入局部最優(yōu)、算法過早收斂等問題，為此許多學(xué)者對螢火蟲算法進(jìn)行了改進(jìn)。針對基于慣性權(quán)重的螢火蟲算法、基于混沌算法的螢火蟲算法這兩種改進(jìn)算法，通過幾種標(biāo)準(zhǔn)檢驗函數(shù)對各算法的性能進(jìn)行詳細(xì)的仿真、比較，得出具體試驗結(jié)果。在控制系統(tǒng)PID參數(shù)優(yōu)化中應(yīng)用改進(jìn)后的螢火蟲算法，仿真結(jié)果表明改進(jìn)后的螢火蟲算法尋優(yōu)精度和搜索速度均優(yōu)于基本粒子群算法。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：螢火蟲算法；慣性權(quán)重；混沌算法；函數(shù)優(yōu)化；比較研究；PID；粒子群算法

DOIDOI：10.11907/rjdk.162200

中圖分類號：TP312文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號文章編號：16727800（2017）001002105

引言

2008 年，Yang[1]通過對螢火蟲個體相互吸引和移動過程的研究，提出了一種新型群體智能優(yōu)化算法，即螢火蟲算法（Firefly Algorithm，F(xiàn)A）。雖然目前螢火蟲算法還缺乏完備的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，但已有研究結(jié)果表明，螢火蟲算法具有較高的尋優(yōu)精度和收斂速度，是一種可行有效的優(yōu)化方法，為智能優(yōu)化提供了新思路[2]，已經(jīng)在諸多領(lǐng)域得以應(yīng)用[37]。但螢火蟲算法作為一種新的群體智能仿生優(yōu)化算法，發(fā)展時間尚短，算法本身存在著對于初始解分布的依賴性、后期收斂速度慢、易于停滯、早熟和求解精度低等缺陷。近幾年，相關(guān)學(xué)者對其進(jìn)行了多角度的改進(jìn)。

Lukasik等[8]于2009 年對FA 進(jìn)行了改進(jìn)，并對算法的參數(shù)進(jìn)行研究，改進(jìn)后的FA 提高了求解精度，但求解速度較慢。馮艷紅等[9]提出了基于混沌理論的動態(tài)種群螢火蟲優(yōu)化算法（CDPFA），該算法運用立方映射混沌初始化螢火蟲初始位置，取得了較好的效果，進(jìn)一步提高了算法的尋優(yōu)精度和求解速度。王翔等[10]提出了一種新穎的改進(jìn)混沌螢火蟲算法。算法利用邏輯映射混沌序列設(shè)計了一種混沌局部搜索算子，試圖提升算法的收斂速度；算法利用立方映射混沌序列設(shè)計了一種混沌替換算子，試圖避免算法的早熟收斂。徐華麗等[11]針對基本螢火蟲算法存在的早熟現(xiàn)象，提出了一種變尺度混沌光強吸收系數(shù)調(diào)整策略的混沌螢火蟲優(yōu)化算法。王銘波等[12]針對傳統(tǒng)螢火蟲算法（FA）中存在的過早收斂和易陷入局部最優(yōu)解等問題，提出了一種基于模擬退火機(jī)制的多種群螢火蟲算法（MFA_SA），該算法將螢火蟲種群平均分為參數(shù)不同的多個子種群。為了防止算法陷入局部最優(yōu)解，利用模擬退火機(jī)制大概率接受較好的解，小概率接受較差的解。同時，在種群尋優(yōu)的過程中引入可變的距離權(quán)重，通過螢火蟲算法的迭代次數(shù)動態(tài)調(diào)整螢火蟲的“視野”范圍。

PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、需要的參數(shù)少、易于操作與控制等優(yōu)點，因此被廣泛應(yīng)用在化工、電力、冶金等等工業(yè)過程控制中。

本文對螢火蟲算法的幾種改進(jìn)算法進(jìn)行比較研究，這三種算法分別為：基本的螢火蟲算法、基于慣性權(quán)重的螢火蟲算法和基于混沌算法的螢火蟲算法。結(jié)合幾種典型的標(biāo)準(zhǔn)校驗函數(shù)求解尋優(yōu)的仿真試驗，對各算法的性能進(jìn)行檢驗和評判。將改進(jìn)的螢火蟲算法應(yīng)用于控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的PID參數(shù)優(yōu)化中，將優(yōu)化結(jié)果與粒子群算法進(jìn)行對比。

1標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法

1.1螢火蟲算法概念

FA是一種啟發(fā)式算法，這種算法啟發(fā)于螢火蟲晚上發(fā)光的行為。螢火蟲的閃光，其主要目的是作為一個信號系統(tǒng)，以吸引其它螢火蟲。

螢火蟲移動的3個基本原則為：①螢火蟲不分性別，它將會被其它更亮的螢火蟲吸引過去；②螢火蟲的吸引力和亮度成正比，對于任何兩只螢火蟲，其中一只會向著比它更亮的一只移動，然而亮度是隨著距離的增加而降低的；③如果沒有找到一個比給定的螢火蟲更亮，那么它會隨機(jī)移動。

1.2FA的數(shù)學(xué)描述與分析

螢火蟲算法包含兩個要素即亮度和吸引度。亮度體現(xiàn)了螢火蟲所處位置的優(yōu)劣并決定其移動方向，吸引度決定了螢火蟲移動的距離，通過亮度和吸引度的不斷更新，從而實現(xiàn)目標(biāo)優(yōu)化。

定義1：相對熒光亮度I=I0×e-γr2ij（1）其中，I0為螢火蟲的最大熒光亮度，即自身（r=0處）熒光亮度，與目標(biāo)函數(shù)值相關(guān)，目標(biāo)函數(shù)值越優(yōu)自身亮度越高；γ為光強吸收系數(shù)，因為熒光亮度會隨著距離的增加和傳播媒介的吸收逐漸減弱，所以設(shè)置光強吸收系數(shù)以體現(xiàn)此特性；rij為螢火蟲i和j之間的空間距離。

定義2： 吸引度β=β0×e-γr2ij（2）其中，β0為最大吸引度，即光源處的吸引度。

定義 3：位置更新xi=xi+β×（xi-xj）+α×（rand-12）（3）其中，xi，xj為螢火蟲i和j所處的空間位置；α為步長因子，是[0，1]上的常數(shù)；rand為[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)因子。

2改進(jìn)螢火蟲算法

2.1基于慣性權(quán)重的螢火蟲算法

標(biāo)準(zhǔn)的螢火蟲算法在迭代后期，由于螢火蟲已經(jīng)逐漸移動至局部或者全局極值點附近，此時螢火蟲之間的距離逐漸縮小，根據(jù)位置更新公式（3）可以得到：螢火蟲之間的吸引度逐漸增大，將會使螢火蟲個體的移動距離過大因而無法到達(dá)或者錯過最優(yōu)位置，造成在極值點附近震蕩的問題。

基于慣性權(quán)重的螢火蟲算法（IWFA）在標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法的基礎(chǔ)上，引入了線性遞減權(quán)重函數(shù)[13]，此時位置更新公式變?yōu)椋簒i=wtxi+βxj-xi+αrand-1/2（4）

wt=wmax-wmax-wmin×tMaxGeneration（5）其中，wmax，wmin分別為最大、最小權(quán)重；t，MaxGeneration分別為當(dāng)前和最大迭代步數(shù)。

通過慣性權(quán)重可以控制螢火蟲以前位置信息對當(dāng)前位置的影響，權(quán)重的大小決定了螢火蟲移動的距離的大小，并加強了螢火蟲算法的全局尋優(yōu)和局部搜索能力。當(dāng)權(quán)值取值較大時，螢火蟲當(dāng)前的位置會對下一步要移動的位置有較大的影響，螢火蟲間的吸引度影響相對較小，全局尋優(yōu)能力增強，局部搜索能力相對減弱。反之，螢火蟲當(dāng)前的位置會對下一步要移動的位置影響較小，螢火蟲間的吸引度影響相對較大，全局尋優(yōu)能力減弱，局部搜索能力相對增強。因此通過調(diào)整慣性權(quán)重w（t）的取值，可以使螢火蟲算法在搜索前期具有較強的全局搜索能力，有助于加快全局的收斂速度，隨著迭代次數(shù)的增加，權(quán)重逐漸減小，到搜索后期，局部搜索能力增強，螢火蟲個體的搜索區(qū)域也變小，螢火蟲在極值點附近的搜索能力增強，避免因移動距離過大，致使螢火蟲在極值點附近反復(fù)振蕩。

2.2基于混沌序列的變尺度螢火蟲算法

2.2.1混沌序列

混沌是非線性系統(tǒng)特有的一種非周期運動的現(xiàn)象，其行為復(fù)雜，類似隨機(jī)運動，存在精致的內(nèi)在規(guī)律性，并且其具有內(nèi)隨機(jī)性、初值敏感性和遍歷性等特點?；煦鐑?yōu)化算法正是利用了混沌的這些特點，提高了隨機(jī)優(yōu)化算法的效率，很好地解決復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化問題，具有很高的尋優(yōu)效率[14]。本文介紹的優(yōu)化算法將混沌思想引入螢火蟲優(yōu)化算法亮度參數(shù)設(shè)置中，利用混沌搜索的隨機(jī)性和遍歷性改變算法亮度參數(shù)，能夠較好地彌補基本螢火蟲優(yōu)化算法隨著迭代次數(shù)增加參數(shù)不變的缺陷，實現(xiàn)全局最優(yōu)[11]。

2.2.2變尺度混沌策略

針對標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法進(jìn)化到后期容易停滯，本優(yōu)化算法將對光強吸收系數(shù)進(jìn)行混沌變異。選取Sinusoidal映射，其具體過程如下：uk+1=au2ksinπuk（6）當(dāng)a=2.3，u0=0.7時，簡化為：uk+1=sinπuk（7）當(dāng)搜索空間越來越大時，普通的混沌算法效果越來越差，甚至出現(xiàn)失效情況。因此本優(yōu)化方法采用變尺度混沌思想，對混沌變量進(jìn)行尺度變換，此時式（7）變?yōu)椋簎k+1=τsinπuk（8）其中，τ=tMaxGenration；t，MaxGeneration分別為當(dāng)前和最大迭代步數(shù)。

引入尺度變換后的光強吸收系數(shù)r可表示為：γnew=τ×uk+1（9）將新的光強吸收系數(shù)（9）代入式（1）、（2），得到新的亮度Inew和吸引度βnem。螢火蟲算法的位置更新公式變?yōu)椋簒i=xi+βinewxj-xi+αrand-1/2（10）引入變尺度混沌擾動后，rnem值隨著迭代次數(shù)的增加而增加，迭代前期收斂速度加快，有利于全局搜索；迭代后期收斂速度變慢，有利于在最優(yōu)點附近局部搜索。

2.2.3多種群策略

本優(yōu)化算法為了避免算法過早陷入局部最優(yōu)，提高算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，采用多種群策略，將種群分為3個子種群。各個子種群在可行解空間內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)，每次迭代后找到最優(yōu)值，如果最優(yōu)值連續(xù)三次沒有更新，此時可能陷入局部最優(yōu)，則在3個子種群中找出比當(dāng)前自身更優(yōu)的種群進(jìn)行替代；如果找不到，則對最優(yōu)螢火蟲的位置進(jìn)行隨機(jī)擾動，加入一個服從高斯分布的隨機(jī)擾動，可以使算法跳出局部最優(yōu)。如式（11）所示：x′best = xbest + xbest ×μ×N（0，1）（11）其中，x′best為變異后的個體的位置；xbest為當(dāng)前最優(yōu)螢火蟲位置；μ是變異控制因子；N（0，1）是均值為0、方差為1 的高斯分布隨機(jī)變量。

3標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)檢驗比較

3.1標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)

為了測試各改進(jìn)螢火蟲算法的性能，采用5個常用的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行比較，其中，f1，f2是單峰函數(shù)，f3、f4和f5是多峰函數(shù)。各函數(shù)的具體形式如下：

表1標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)函數(shù)維數(shù)范圍全局極值f12[-5，5]0f22[-2，2]3.309 9f330[-100，100]0f430[-30，30]0f530[-10 10]03.2仿真實驗結(jié)果分析

為比較標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法（FA）、基于慣性權(quán)重的螢火蟲算法（IWFA）和基于混沌序列的變尺度螢火蟲算法（CSFA）的性能，基于Matlab R2013a軟件編寫各算法，并針對上述標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)的仿真試驗。相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：螢火蟲數(shù)目n=90，β0=1.0，r=1.0，α=0.2，Tmax=50，慣性權(quán)重wmax=1.1，wmin=0.2，混沌算法初始化參數(shù)a=2.3，u0=0.7。

3.2.1仿真結(jié)果分析

將每個測試函數(shù)在每種算法下運行100次，得到各函數(shù)的平均值、最優(yōu)解、最差解、平均運行時間等測量結(jié)果，通過對比這些結(jié)果得到算法的尋優(yōu)精度。計算結(jié)果如表2所示。通過數(shù)據(jù)對比可看出：標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法和基于慣性權(quán)重的螢火蟲算法對二維函數(shù)f1和f2的尋優(yōu)能力良好，當(dāng)對多維函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時，效果不是很理想，甚至無法收斂找不到最優(yōu)解?；诨煦缧蛄械淖兂叨任灮鹣x算法，不論低維還是多維函數(shù)，其尋優(yōu)能力最好，并且時間最短。因此CSFA的尋優(yōu)精度是最好的。

使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)最優(yōu)。選取適應(yīng)度函數(shù)為誤差絕對值與時間的積分，利用優(yōu)化算法使適應(yīng)值最小，得到最優(yōu)的PID參數(shù)。適應(yīng)度函數(shù)的表達(dá)式為：f（x）=∫∞0e（t）tdt（17）其中，e（t）為系統(tǒng)誤差。

被控對象選擇為一個典型的四階系統(tǒng)，如式（18）所示：G（s）=s+2s4+8s3+4s2-s+0.4（18）4.2優(yōu)化過程

根據(jù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖搭建Simulink模型，如圖3所示。

控制系統(tǒng)Simulink模型的流程為由優(yōu)化算法賦值給PID參數(shù)KP、KI、KD，運行控制系統(tǒng)，得到系統(tǒng)的性能指標(biāo)，送入優(yōu)化算法，看是否已經(jīng)達(dá)到優(yōu)化要求。優(yōu)化流程如圖4所示。

4.3優(yōu)化結(jié)果比較

經(jīng)過以上螢火蟲算法的比較，得到CSFA算法性能最優(yōu)，在此用CSFA算法和PSO算法優(yōu)化控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的PID控制器參數(shù)。

5結(jié)語

本文針對螢火蟲算法及近年來提出的兩種改進(jìn)算法，對各算法的原理進(jìn)行了分析，并運用若干典型的二維和多維標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，對算法的優(yōu)化性能進(jìn)行了仿真對比實驗。研究結(jié)果表明：基于混沌序列的變尺度螢火蟲算法，尋優(yōu)精度最高，穩(wěn)定性最好。該算法可很好地平衡全局和局部搜索能力，克服基本螢火蟲算法易陷入局部極值點和易早熟等缺點。當(dāng)陷入局部極值點時，該算法采取變尺度混沌優(yōu)化和高斯擾動進(jìn)行精細(xì)搜索，避免了陷入局部最優(yōu)和在最優(yōu)點附近反復(fù)振蕩的問題。通過螢火蟲算法對控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的PID控制參數(shù)優(yōu)化的仿真結(jié)果，可以表明螢火蟲算法作為一個新穎的智能算法比現(xiàn)有的傳統(tǒng)優(yōu)化算法優(yōu)化效果好，響應(yīng)時間短，并且基本沒有超調(diào)，跟蹤過程平穩(wěn)。因此將螢火蟲算法應(yīng)用在PID參數(shù)優(yōu)化中是可行的。

后續(xù)研究將進(jìn)一步分析螢火蟲算法參數(shù)對其收斂速度和尋優(yōu)精度的影響，探索其它智能算法和螢火蟲算法的有效結(jié)合，進(jìn)一步改善算法性能。并進(jìn)一步將算法應(yīng)用到復(fù)雜工業(yè)過程實時優(yōu)化中，以解決實際生產(chǎn)中面臨的多維復(fù)雜函數(shù)實時求解問題。

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