黃 英，景小榮

(重慶郵電大學 移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶 400065)

采用局部搜索的二維DOA估計*

黃 英*，景小榮

(重慶郵電大學 移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶 400065)

針對酉旋轉(zhuǎn)不變估計信號參數(shù)(Unitary-ESPRIT)算法估計精度較低的問題，提出了一種采用局部搜索實現(xiàn)的非相干信源二維波達方向(2-D DOA)估計方法。該方法首先利用實特征矢量近似值估計導向矩陣,然后利用矩陣Kronecker積性質(zhì)以及陣列旋轉(zhuǎn)不變特性獲得自動配對的角度估計值，降低了2-D DOA初始估計復雜度,實現(xiàn)了對Unitary-ESPRIT算法的改進；接著，采用一維局部搜索法對該初始估計結果進行優(yōu)化，提高了低信噪比下的2-D DOA估計精度。仿真實驗結果表明，相較于傳統(tǒng)的Unitary-ESPRIT算法，所提方法在DOA估計精度和成功率上具有明顯的優(yōu)勢，特別是在低信噪比以及快拍數(shù)較少條件下，因此該方法能夠在計算復雜度和估計性能之間取的較好的折中。

二維波達方向；非相干信源；局部搜索；計算復雜度

1 引 言

二維波達方向(2-Dimensional Direction of Arrival,2-D DOA)估計，作為陣列信號處理的主要研究內(nèi)容之一，在雷達、聲吶以及通信等諸多工程領域得到廣泛的應用[1]。目前，涌現(xiàn)出了眾多超分辨率DOA估計算法，其中以多重信號分類(Multiple Signal Classification，MUSIC)[2]為代表的子空間類算法最為經(jīng)典，但該算法為了實現(xiàn)2-D DOA估計，需借助二維譜峰搜索，其高復雜度限制了該算法在實際系統(tǒng)中的應用。

為了降低2-D DOA估計復雜度，學者們進行了深入研究，涌現(xiàn)出了眾多2-D DOA估計算法。文獻[3]以旋轉(zhuǎn)不變技術實現(xiàn)信號參數(shù)估計(Estimation-of Signal Parameter via Rotational Techniques,ESPRIT)算法[4]為基礎，實現(xiàn)了多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達系統(tǒng)中離開角(Direction of Departure,DOD)和到達角(Direction of Arrival,DOA)的估計，將2-D DOA估計問題分解為兩個獨立的一維角度估計問題，盡管使算法復雜度得到有效降低，但存在角度配對問題。文獻[5]中提出利用降維傳播方法(Reduced-dimension Propagator Method,RD-PM)實現(xiàn)DOA估計，盡管解決了角度配對問題，然而在信噪比較低條件下，估計精度非常有限。文獻[6]針對MIMO雷達中的DOD和DOA估計問題，提出降維(Reduced-dimension,R-D) MUSIC算法，盡管該算法性能與2-D MUSIC算法[7]幾乎相同，但其操作均在復數(shù)域完成，運算量相對較高，同時，無法避免全局搜索的弊端。文獻[8]基于秩虧損原理，使得方位角的降維操作得以實現(xiàn)，并且避免了陣列孔徑損失的問題。文獻[9]基于最大似然準則構造代價函數(shù)，將二維譜峰搜索轉(zhuǎn)換為一維譜峰搜索，盡管性能相比已有算法得到明顯提升，但計算量偏高。文獻[10]提出了一種波束域求根MUSIC算法，不僅降低了求根多項式的階數(shù)，而且避免了譜峰搜索的弊端。

以上2-D DOA算法通常需要對陣列接收相關復矩陣進行特征值分解(Eigenvalue Decomposition,EVD)，其實現(xiàn)成本相對較高，因此，如何從實數(shù)域?qū)崿F(xiàn)低復雜度的二維DOA估計逐漸引起了學者們的關注。文獻[11]采用Unitary-ESPRIT算法，利用酉變換把復數(shù)域的DOA估計問題轉(zhuǎn)換到實數(shù)域進行，實現(xiàn)了MIMO雷達系統(tǒng)中的DOD和DOA聯(lián)合估計，然而該算法需要兩次總體最小二乘(Total Least Square,TLS)運算，復雜度仍然較高。文獻[12]提出一種Beamspace Unitary-ESPRIT算法，不僅信息矩陣維度得到降低，而且EVD分解僅在實數(shù)域下進行，有效抑制了運算量。文獻[13]提出一種低復雜度2-D DOA估計算法，將二維搜索分解為兩個連續(xù)的一維實值搜索，改善了參數(shù)估計性能，然而該算法仍存在全局搜索的弊端。

為此，本文在上述分析的基礎上，面向均勻平面陣列，提出一種采用局部搜索實現(xiàn)的非相干信源的2-D DOA估計方法。首先對Unitary-ESPRIT算法進行改進，以獲取非相干信源的2-D DOA估計初始值。與傳統(tǒng)Unitary-ESPRIT相比，改進算法首先利用特征矢量近似值獲得導向矩陣估計值，然后利用矩陣Kronecker積性質(zhì)以及陣列旋轉(zhuǎn)不變特性實現(xiàn)自動配對的角度初始估計，僅需一次TLS運算，不涉及復矩陣的EVD運算，能有效地降低運算量；接著在獲得2-D DOA估計初始值的基礎上，采用一維局部搜索來更新初始DOA估計結果，從而使得估計精度得到明顯提高，有效避免了因全局搜索帶來的高復雜度弊端。

2 陣列信號模型

以處于坐標原點的陣元作為參考，則陣列接收到的第t個快拍可表示為

X(t)=AS(t)+N(t) 。

(1)

在陣列接收快拍數(shù)為L時，對應接收協(xié)方差矩陣的估計值可表示為

(2)

3 2-D DOA估計方法

在上述陣列模型基礎上，本節(jié)首先利用實特征矢量近似值估計導向矩陣對Unitary-ESPRIT算法進行改進，實現(xiàn)2-D DOA的初始估計，然后采用一維局部搜索來優(yōu)化初始估計結果。

3.1 2-D DOA初始估計

根據(jù)均勻平面陣列的結構特征以及矩陣間的旋轉(zhuǎn)不變性關系，則有J2A=J1AΦy，J1=[IM(N-1)，0M(N-1)×M]和J2=[0M(N-1)×M,IM(N-1)]分別表示兩個選擇矩陣，Φy=diag(exp(-jπv1),…,exp(-jπvK))，其中IK表示維度為K的單位矩陣，diag(v)表示矢量v中的元素形成的對角陣。

在上述基礎上，定義如下酉矩陣：

(3)

進一步，構建數(shù)據(jù)矩陣為Z=[X,ΠMNX*ΠL]∈MN×2L，其中ΠK表示反對角線上元素為1其他元素為0的K維矩陣，因此，存在酉矩陣QMN和Q2L，可將復矩陣映射為一實矩陣，其中(·)H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。因此，與矩陣T(X)相對應的實協(xié)方差矩陣，對RT采用EVD，其中，ES為K個大特征值對應的特征矢量矩陣，即實信號子空間，EN為余下的特征矢量矩陣，即實噪聲子空間。

令

Re(·)和Im(·)分別表示復矩陣數(shù)的實部和虛部。由實矩陣間的旋轉(zhuǎn)不變關系[11]，即

(4)

(5)

(6)

(7)

3.2 局部搜索

盡管3.1節(jié)可獲得自動配對的角度初始估計值，然而利用特征向量近似值求解導向矩陣，在低信噪比條件下，估計精度有限。因此，本節(jié)在此基礎上，提出利用一維局部搜索來優(yōu)化vk的估計值，從而使得最終DOA估計精度得到明顯提升。

(8)

(9)

(10)

于是構造代價函數(shù)如下：

(11)

式中：ω為拉格朗日因子。令代價函數(shù)L(u,v)對ax(u)求偏導，并使其等于零，即

(12)

(13)

(14)

3.3 2-D DOA估計方法步驟

根據(jù)分析，本文所提出的2-D DOA估計方法的步驟可總結如下：

3.4 復雜度分析

本節(jié)對提出的2-D DOA估計方法的復雜度進行分析，并將其與其他幾種相關方法的復雜度進行對比。復雜度以方法(或者步驟)實現(xiàn)所需復數(shù)乘(Complex Multiply,CM)作為度量[14]。文中所提方法步驟1需要約為O{M2N2L}CM，步驟2則需要約O{2M3N3+3M3N3}CM，步驟3所需要約

O{2K2(M-1)N+3K3+M2N2K+MNK2}CM，

步驟4需要約

O{(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)+M2N2(MN-K)}CM，

nd表示局部搜索次數(shù)，而步驟5運算量相對較少，在此忽略不計，因此，本文提出的2-D DOA方法的復雜度約為

O{6M3N3+M2N2L+2K2(M-1)N+3K3+
(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)}CM,

而Unitary-ESPRIT算法[11]復雜度約為

O{5M3N3+M2N2L+2K2(M-1)N+
2K2(N-1)M+12K3}CM，

RD-PM算法[5]運算量為

O{M3N3+M2N2L+K2MN+2K2M(N-1)+14K3+
(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)}CM，

2-D MUSIC算法的復雜度約為

O{13M3N3+(nθnφ+L-K)M2N2+nθnφMN}CM，

nθ、nφ表示全局搜索次數(shù)。

根據(jù)上述分析，由于nd遠小于nθnφ,顯然本文提出的2-D DOA估計方法所需計算復雜度低于2-D MUSIC算法。盡管本文提出的2-D DOA估計方法所需CM運算量高于Unitary-ESPRIT算法和RD-PM算法，但其性能卻遠遠優(yōu)于它們。

4 仿真分析

仿真中采用均勻面陣，相鄰陣元間距為半個波長，用M和N分別表示x軸和y軸方向陣元數(shù)?？紤]自由空間中的K=3個非相干遠場窄帶信源，其俯仰角和方位角分別為(θ1,φ1)=(10°,15°)、(θ2,φ2)=(20°,25°)和(θ3,φ3)=(30°,35°)。

(15)

同時，在仿真中，給出了角度估計量的克拉-美勞限(Cramer-Rao Bound,CRB)[13]，以作為角度估計性能的下限。CRB的具體表達式如下：

(16)

(1)實驗一：非相干信源的二維波達角度散點圖及陣元數(shù)對角度估計性能的影響

在信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)為10 dB，快拍數(shù)L=200，面陣參數(shù)M=8和N=8的條件下，圖1給出了K=3個非相干窄帶信源的角度估計性能。由圖可知，本文方法可有效地估計2-D DOA，驗證了所提算法的有效性。

圖1 非相干信源的二維波達角度散點圖Fig.1 Scatter plot of 2-D DOA for incoherent sources

在L=200的條件下，圖2呈現(xiàn)了在陣元數(shù)不同情況下本文算法的DOA估計RMSE隨SNR變化的性能曲線。由圖可知，角度估計性能隨著陣元數(shù)目的增加得到明顯改善，從側面說明了陣列孔徑增大的同時增加了天線增益，因此估計精確度也隨著提高，特別是在低信噪比條件下，性能提升非常明顯。

圖2 陣元數(shù)大小對角度估計性能的影響Fig.2 Influence of number of array elements on estimation performance

(2)實驗二：RMSE隨SNR及快拍數(shù)L的變化曲線

在L=200和陣列參數(shù)M=N=8的條件下，圖3給出了DOA估計性能隨SNR變化的曲線圖。從圖3中可看出，盡管這幾種算法的DOA估計RMSE均隨SNR增加而逐漸降低，然而在同等SNR條件下，本文算法角度估計精度明顯高于Unitary-ESPRIT和RD-PM算法及初始估計結果，且該算法性能十分接近二維DOA估計的CRB。在M=N=8和SNR=10 dB實驗條件下，圖4給出了DOA估計RMSE隨快拍數(shù)變化的特性曲線。由圖4可知，由于3.2節(jié)中采用一維局部搜索優(yōu)化初始估計結果，因此估計性能明顯優(yōu)于3.1節(jié)中2-D DOA初始估計。重要的是，在獲得相同估計性能前提下，本文所提算法所需快拍數(shù)均明顯少于對比算法。

圖3 RMSE隨SNR變化的性能曲線Fig.3 RMSE vs. SNR

圖4 RMSE隨快拍數(shù)變化的關系性能曲線Fig.4 RMSE vs. snapshot

綜合說明，本文算法不僅對噪聲具有較好的抑制力，而且在快拍數(shù)較少條件下也具有相當高的DOA估計精度。

(3)實驗三：DOA估計成功率隨SNR及快拍數(shù)L的變化曲線

通常在DOA估計中，如果所有角度估計值與實際值的誤差均在0.3°范圍內(nèi)，即可認為角度估計成功，否則認為失敗。圖5在L=200和陣列參數(shù)M=N=8的條件下，給出了DOA估計成功率隨SNR變化的關系曲線。由圖5可看出，隨著SNR增加，算法的DOA估計成功率都得到提升，但是，本文所提方法DOA估計成功率明顯高于其他相關算法。例如在SNR=10 dB時，本文方法成功率已接近0.9，而2-D DOA初始估計和RD-PM算法在0.77左右，同時Unitary-ESPRIT算法成功率僅約0.6。

圖5 DOA估計成功率隨SNR變化的關系曲線Fig.5 Successful rate vs. SNR

在SNR=10 dB、M=N=8仿真條件下，圖6給出算法DOA估計成功率隨快拍數(shù)L變化的關系曲線。由圖可知，DOA估計成功率均隨快拍數(shù)增加呈上升趨勢，且在快拍數(shù)非常有限的條件下，本文所提方法成功率遠遠高于初始估計算法和兩種對比算法，說明本文方法有效解決了快拍數(shù)較少條件下的角度估計難題。

圖6 DOA估計成功率隨快拍數(shù)變化的關系曲線Fig.6 Successful rate vs. snapshot

(4)實驗四:信源數(shù)K不同的條件下，RMSE性能隨SNR及快拍數(shù)L的變化曲線

在L=200、M=N=8以及不同用戶數(shù)情況下，本文算法的DOA估計RMSE與SNR的關系曲線如圖7所示。從圖7可以看出，隨著SNR提高，DOA估計RMSE得到明顯抑制。同時，隨著信源數(shù)的減少，DOA估計性能得到一定改善，從側面說明信源數(shù)越多，干擾越強，因此估計精確度會受到一定影響。

圖7 信源數(shù)不同條件下RMSE隨SNR變化的關系曲線Fig.7 RMSE vs. SNR for different sources

在SNR=10 dB、M=N=8仿真條件下，圖8給出本文算法在不同信源數(shù)目情況下DOA估計RMSE隨快拍數(shù)變化的曲線，DOA估計RMSE隨著快拍數(shù)的增加而縮減。由圖可知，當快拍數(shù)目達到一定值時，角度估計性能與信源數(shù)幾乎無關。

圖8 信源數(shù)不同條件下RMSE隨快拍數(shù)變化的關系曲線Fig.8 RMSE vs. snapshot for different sources

5 結束語

本文提出了一種采用局部搜索的2-D DOA估計方法。該方法首先對Unitary-ESPRIT算法進行改進，以獲取非相干信源的2-D DOA初始估計值。改進算法僅需一次TLS運算，無需構造復矩陣并對其進行EVD便可實現(xiàn)自動配對的角度初始估計，運算量得到有效降低。接著采用一維局部搜索來優(yōu)化初始估計的結果，從而使得DOA估計性能得到明顯提升。文中方法利用一維局部搜索取代MUSIC算法中的全局搜索，因此，運算成本相對較低，而性能提升卻非常明顯，存在一定實用價值。由于本文僅考慮非相干信源的DOA估計，下一步可以考慮多徑環(huán)境下相干信源的角度估計。

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Two-dimensional DOA Estimation Based on Local Searching

HUANG Ying,JING Xiaorong
(Chongqing Key Laboratory of Mobile Communications Technology,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)

To improve the estimation accuracy of the unitary estimation-of signal parameter via rotational techniques(Unitary-ESPRIT) method,a local searching-based method is proposed for two-dimensional(2D) direction-of-arrival(DOA) estimation of incoherent sources. First,the real eigenvector approximation is used to estimate steering matrices. Second,the matrix Kronecker product properties and the character of the array rotational invariance are used to acquire the automatic matching angle estimation. Therefore,the computational load of the initial 2-D DOA estimation can be reduced efficiently and the Unitary-ESPRIT algorithm is improved significantly. Then the one-dimensional local searching is exploited to optimize initial results,which can efficiently improve the precision of angel estimation in low signal-to-noise ratio(SNR). The simulation results verify that the proposed method has obvious superiority over the precision and successful rate of DOA estimation compared with the original Unitary-ESPRIT method,especially in the condition of low SNR and fewer snapshots,so it can get a better tradeoff between computational complexity and estimation performance.

2-D DOA estimation;incoherent sources;local searching;computational complexity

2016-05-03；

2016-08-17 Received date:2016-05-03；Revised date：2016-08-17

國家高技術研究發(fā)展計劃(863計劃)項目(2014AA01A705);重慶市基礎與前沿研究計劃項目(cstc2015jcyjA40040)

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.02.015

黃英，景小榮.采用局部搜索的二維DOA估計[J].電訊技術，2017,57(2):210-216.[HUANG Ying,JING Xiaorong.Two-dimensional DOA estimation based on local searching[J].Telecommunication Engineering,2017,57(2):210-216.]

TN911.7

A

1001-893X(2017)02-0210-07

黃 英(1991—)，女，重慶江津人，碩士研究生，主要研究方向為多天線系統(tǒng)中的信號處理；

Email:15223135023@163.com

景小榮(1974—)，男，甘肅平?jīng)鋈?2009年于電子科技大學獲博士學位，現(xiàn)為重慶郵電大學教授，主要研究方向為多天線系統(tǒng)中的信號處理。

*通信作者：15223135023@163.com Corresponding author：15223135023@163.com