何 劉， 丁建明， 林建輝， 劉新廠

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031)

完全互補(bǔ)小波噪聲輔助集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

何 劉， 丁建明， 林建輝， 劉新廠

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)是一種自適應(yīng)非線(xiàn)性非平穩(wěn)數(shù)據(jù)處理方法。噪聲輔助的EMD方法能克服EMD方法在處理間歇信號(hào)時(shí)出現(xiàn)的“模態(tài)混疊”現(xiàn)象。在這些噪聲輔助方法中，互補(bǔ)集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMD)和完全噪聲輔助噪聲集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMDAN)恢復(fù)了EMD分解的完整性。在現(xiàn)有分析方法上提出了完全互補(bǔ)小波噪聲輔助集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CCWEEMDAN)算法。該算法能用更小的集總數(shù)、更少的迭代次數(shù)和極小的計(jì)算消耗獲得更好的光譜分離效果和數(shù)目較少的篩選模態(tài)。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；噪聲輔助；模態(tài)混疊；互補(bǔ)集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Empirical Mode Decomposition，EMD)[1-2]是一種非線(xiàn)性非平穩(wěn)信號(hào)自適應(yīng)分解的信號(hào)處理方法。該方法能根據(jù)數(shù)據(jù)自身的時(shí)間尺度自適應(yīng)的將信號(hào)分解成具有實(shí)際物理意義的各個(gè)本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)分量和分解殘差，將所有模態(tài)函數(shù)和最終趨勢(shì)相加能完美重構(gòu)原始數(shù)據(jù)。

EMD方法本身也存在一些問(wèn)題，例如同一模態(tài)中出現(xiàn)不同尺度或頻率的信號(hào)，或者同一尺度或頻率的信號(hào)被分解到多個(gè)不同的模態(tài)中，該問(wèn)題被稱(chēng)為“模態(tài)混疊”[3]。為了克服EMD方法的“模態(tài)混疊”問(wèn)題，集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)方法被提出。通過(guò)在分解前添加高斯白噪聲至原始信號(hào)中，利用高斯白噪聲的頻譜均勻分布特性和EMD方法的二進(jìn)濾波特性填充整個(gè)時(shí)頻空間[4]，有效的解決了模態(tài)混疊問(wèn)題。EEMD方法在解決模態(tài)混疊問(wèn)題的同時(shí)卻產(chǎn)生了新的問(wèn)題。①由于EEMD方法添加了不同量級(jí)的高斯白噪聲，最終分解可能得到不同數(shù)量的模態(tài)；②由于添加高斯白噪聲的原因，使得分解得到的各個(gè)模態(tài)和最終趨勢(shì)中存在噪聲，這使得該方法不能精確重建原始數(shù)據(jù)。③由于高斯白噪聲的引入需要相應(yīng)集總次數(shù)的EMD分解求平均以抵消噪聲影響，使得迭代次數(shù)增加、計(jì)算效率下降。

針對(duì)EEMD方法不能精確重建的問(wèn)題，互補(bǔ)集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD)[5]通過(guò)向待分析信號(hào)添加成對(duì)相反的高斯白噪聲減小由白噪聲引起的重構(gòu)誤差，并且提高了EEMD的計(jì)算效率。然而該方法依然不能解決添加不同噪聲的信號(hào)產(chǎn)生不同數(shù)量模態(tài)分解的問(wèn)題。完全噪聲輔助集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise，CEEMDAN)[6]的提出是對(duì)EEMD方法的重要發(fā)展，該方法實(shí)現(xiàn)了分解信號(hào)的近似完美重構(gòu)以及解決了不同加噪信號(hào)產(chǎn)生不同數(shù)量模態(tài)的缺陷。盡管如此，CEEMDAN依然存在迭代次數(shù)多，計(jì)算效率低的問(wèn)題。本文主要解決問(wèn)題就是減少CEEMDAN方法的迭代次數(shù)，提高計(jì)算效率。

1 EMD, EEMD, CEEMD and CEEMDAN理論

EMD將信號(hào)分解為若干個(gè)基本模式分量IMF和一個(gè)余項(xiàng)?；灸Ｊ椒至勘仨殱M(mǎn)足兩個(gè)基本：①在數(shù)據(jù)列中，數(shù)據(jù)的極值點(diǎn)數(shù)量和過(guò)零點(diǎn)數(shù)量必須相等或最多相差一個(gè)；②任何一點(diǎn)，極大值和極小值的包絡(luò)的平均值為0。該算法的詳細(xì)過(guò)程為

步驟1 令k=0，計(jì)算信號(hào)r0=x的極大值和極小值。

步驟2 采用三次樣條對(duì)信號(hào)rk所有極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)進(jìn)行插值得到上下包絡(luò)emax(emin)。

步驟3 計(jì)算并得到上下包絡(luò)的平均值m=(emax+emin)/2。

步驟4 根據(jù)式(1)計(jì)算固有模態(tài)函數(shù)

rk-m=hk+1

(1)

步驟5 判斷hk+1是否滿(mǎn)足IMF的條件,如果不滿(mǎn)足，對(duì)hk+1重復(fù)步驟2～步驟4得到滿(mǎn)足條件的包絡(luò)平均值。

步驟7 重復(fù)上述步驟知道得到滿(mǎn)足停止條件的最終趨勢(shì)項(xiàng)rk。

EEMD分解的計(jì)算框架和EMD分解基本相同，將原始信號(hào)x篩分為IMF。在信號(hào)x篩分過(guò)程中添加不同白噪聲ω(i)(i=1,…,I)，I為集總次數(shù)，為每次EMD分解后剩余分量的時(shí)域分布提供一致的參考結(jié)構(gòu)。其具體分解步驟為

步驟1 對(duì)原始數(shù)據(jù)添加白噪聲，形成總體分解信號(hào)，其(i)中ε>0。

x(i)=x+εω(i)

(2)

(3)

(4)

為解決EEMD存在的重構(gòu)誤差，YEH等提出了CEEMD方法。噪聲被成對(duì)(一正一負(fù))的添加到原始數(shù)據(jù)中進(jìn)行兩次集總分解。

(5)

(6)

步驟1 在每次集總數(shù)i=1,…,I對(duì)信號(hào)x(i)=x+β0ω(i)進(jìn)行EMD分解，得到第一階模態(tài)。

(7)

步驟2 利用式(6)計(jì)算第一階(k=1)殘差r1。

步驟3 給第一階殘差添加噪聲β1E1(ω(i))，得到分解輸入信號(hào)r1+β1E1(ω(i))，(i=1,…,I)，再進(jìn)行EMD分解得到該信號(hào)的第一階模態(tài)也就是原信號(hào)的第二階模態(tài)。

(8)

步驟4 對(duì)于k=2,…,K的k階殘差為

(9)

步驟5 計(jì)算信號(hào)rk+βkEk(ω(i))，(i=1,…,I)，的第一階模態(tài)得到原始信號(hào)的第k+1階模態(tài)。

(10)

步驟6 回到步驟4計(jì)算下一第k階模態(tài)。

該方法停止規(guī)則為殘差不能再進(jìn)行EMD分解。

最終趨勢(shì)項(xiàng)為

(11)

其重構(gòu)公式為

(12)

該方法由于每一階分解的初始信號(hào)均相同 (rk)，并且只需要得到一階模態(tài)，所以確保了不同集總數(shù)下均有相同數(shù)量的模態(tài)(模態(tài)數(shù)為1)，并且該方法具有完美的重構(gòu)誤差。

但是該方法在處理一些信號(hào)時(shí)會(huì)出現(xiàn)同一模態(tài)的偽分量出現(xiàn)在固有模式前后，并且分解模態(tài)中依然包含殘留噪聲?；谶@些問(wèn)題文獻(xiàn)[7]又對(duì)CEEMDAN方法做了進(jìn)一步的改進(jìn)。從原始CEEMDAN中可以發(fā)現(xiàn)，首先是第一階模態(tài)求解時(shí)直接向信號(hào)中添加了高斯白噪聲，而第二階求解中卻添加的是經(jīng)過(guò)EMD分解后的噪聲，這使得每一階求解中出現(xiàn)噪聲的交叉干擾，改進(jìn)方法將第一階模態(tài)求解時(shí)信號(hào)添加噪聲修改為一階EMD分解得到的噪聲，其它階模態(tài)求解添加的噪聲是相應(yīng)階次EMD分解后的噪聲。其次原方法每次求解模態(tài)分量時(shí)均對(duì)模態(tài)函數(shù)求平均以消除噪聲的影響，但是每次添加的噪聲頻帶均和分解出的固有模態(tài)頻帶重合，實(shí)際添加的噪聲被大量分解在了模態(tài)函數(shù)中。然而，信號(hào)分解殘差的頻帶小于分解出的模態(tài)函數(shù)頻帶，相應(yīng)的也小于添加噪聲的頻帶。因此分解到殘差中的噪聲最小，最容易被平均，所以改進(jìn)方法是將原來(lái)求解模態(tài)函數(shù)均值修改為求解殘差均值，而模態(tài)函數(shù)有分解信號(hào)減去殘差均值得到。定義算子M(·)為計(jì)算EMD第一階模態(tài)后的殘差信號(hào)。改進(jìn)后的方法具體算法步驟為

步驟1 計(jì)算信號(hào)x(i)=x+β0E1(ω(i))(i=1,…,I)第一階殘差信號(hào)

(13)

步驟3 第一階殘差中添加噪聲β1E2(ω(i))，按照步驟1和步驟2求解第二階模態(tài)

(14)

步驟4 對(duì)于k=3,…,K的k階殘差為

(15)

步驟6 回到步驟4計(jì)算下一階模態(tài)。

其分解的每一階噪聲信噪比均能選擇βk=εkstd(rk)。

2 完全小波噪聲輔助集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和完全互補(bǔ)小波噪聲輔助集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

詳細(xì)分析CEEMDAN算法發(fā)現(xiàn)，在每階殘差信號(hào)中均添加特定的噪聲信號(hào)βkEk(ω(i))，該噪聲是通過(guò)EMD分解得到，那么CEEMDAN方法實(shí)際的迭代計(jì)算次數(shù)Nreal為

Nreal=Nx+Nnoise

(16)

式中:Nx為計(jì)算各階模態(tài)的迭代次數(shù);Nnoise為計(jì)算各階噪聲的迭代次數(shù)。利用CEEMDAN分析如下仿真信號(hào)x。

(17)

CEEMDAN方法分析該仿真信號(hào)，計(jì)算實(shí)際模態(tài)的迭代次數(shù)箱型圖為圖1，計(jì)算各階噪聲的迭代次數(shù)箱型圖為圖2。圖中可以看出計(jì)算各階噪聲花費(fèi)的計(jì)算量也非常巨大。所以該方法的實(shí)際迭代次數(shù)為前兩者迭代次數(shù)的總和，其箱型圖為圖3所示。

圖1 計(jì)算各階模態(tài)的迭代次數(shù)Fig.1 The iteration number of each mode

圖2 計(jì)算各階噪聲的迭代次數(shù)Fig.2 The iteration number of each noise

圖3 完整CEEMDAN的實(shí)際迭代次數(shù)Fig.3 The actual iteration number of complete CEEMDAN

在本組分解中計(jì)算各階模態(tài)函數(shù)花費(fèi)的總迭代次數(shù)為Nx=19 735次，計(jì)算各階噪聲的總迭代次數(shù)為Nnoise=7 376次，該方法實(shí)際總迭代次數(shù)為Nreal=27 111次，噪聲迭代次數(shù)約占比實(shí)際總迭代次數(shù)的27%，相應(yīng)的計(jì)算各階模態(tài)函數(shù)的迭代次數(shù)約占比實(shí)際總迭代次數(shù)的73%，并且分解層數(shù)越少則花費(fèi)在噪聲分解中的迭代次數(shù)占比會(huì)急劇上升。

單獨(dú)分析EMD方法對(duì)高斯白噪聲的分解性質(zhì)，設(shè)定20 000個(gè)獨(dú)立的高斯白噪聲數(shù)據(jù)(其中均值為0，方差為1)，對(duì)每個(gè)高斯白噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解得到不同的IMF分量，計(jì)算每個(gè)分量的功率譜。計(jì)算20 000個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)功率譜的平均值并進(jìn)行幅值歸一化，計(jì)算結(jié)果為EMD的等效濾波特性。具體如圖 4所示，其橫坐標(biāo)化為了角頻率并做了歸一化。

圖4 EMD的等效濾波特性Fig.4The equivalent filter characteristics of EMD

分析圖4可得出，白噪聲被EMD規(guī)律性的分解為能量均勻分布的各頻率分量，EMD表現(xiàn)出有效的二元濾波器組特性。而小波分解也具有相似的特征，由Mallat算法可知，二進(jìn)小波分解對(duì)信號(hào)頻帶劃分也表現(xiàn)為二元濾波器組特性。本文用coif3小波分解高斯白噪聲得到小波分解的等效濾波特性如圖5所示。對(duì)比圖4和圖5發(fā)現(xiàn)coif3小波和EMD方法對(duì)白噪聲的頻帶劃分同樣表現(xiàn)為二元濾波器組特性。

圖5 小波的等效濾波特性Fig.5 The equivalent filter characteristics wavelet

正是基于小波分解和EMD分解均表現(xiàn)為相同濾波特性的特點(diǎn)，可將CEEMDAN分解中求解各階添加噪聲的EMD算法改為小波分解代替，以達(dá)到在繼承CEEMDAN優(yōu)良特性的基礎(chǔ)上減少算法迭代次數(shù)提高計(jì)算效率的目的。新方法為完全小波噪聲輔助集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，定義算子Wj(·)是通過(guò)小波計(jì)算給定信號(hào)j層小波分解并單子重構(gòu)第j個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)的算子，算子M(·)為用EMD求解一階模態(tài)后的殘差信號(hào)的算子，同樣高斯白噪聲為ω(i)(i=1,…,I)，I為集總次數(shù)。CWEEMDAN方法詳細(xì)計(jì)算步驟流程為

步驟1 在信號(hào)x添加I個(gè)噪聲，即x(i)=x+β0W1(ω(i))(i=1,…,I)，對(duì)每組信號(hào)進(jìn)行一層EMD分解得到I個(gè)殘差，平均后得到第一階殘差分量。

(18)

步驟3 第一階殘差r1疊加I個(gè)噪聲信號(hào)β1W2(ω(i))，并計(jì)算第二階殘差。

(19)

步驟5 對(duì)于k=3,…,K的k階殘差為

(20)

步驟7 回到步驟5計(jì)算下一階模態(tài)。

此外，詳細(xì)分析上訴算法發(fā)現(xiàn)CWEEMDAN還可以根據(jù)CEEMD方法中減小添加噪聲影響的方法，將CWEEMDAN中每次添加的特定的噪聲信號(hào)βkEk(ω(i))正負(fù)成對(duì)的添加到分解信號(hào)中以達(dá)到進(jìn)一步的減小添加噪聲的影響，最終達(dá)到在求解相同分解結(jié)果時(shí)，減少集總次數(shù)。所以最終改進(jìn)算法為完全互補(bǔ)小波噪聲輔助集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解,算法的具體步驟如下(見(jiàn)圖6)。

圖6 CCWEEMDAN算法流程圖Fig.6 Flowchart describing the CCWEEMDAN

同樣高斯白噪聲為ω(i)(i=1,…,I/2)，I(偶數(shù))為集總次數(shù)。

步驟1 在信號(hào)x添加I/2對(duì)噪聲，對(duì)每組信號(hào)進(jìn)行一層EMD分解得到I個(gè)殘差，平均后得到第一階殘差分量

(21)

(22)

(23)

(24)

步驟5 對(duì)于k=3,…,K的k階殘差為

(25)

(26)

步驟7 回到步驟5計(jì)算下一階模態(tài)。

3 EMD, EEMD, CEEMD ,CEEMDAN，CWEEMDAN and CCWEEMDAN分解性能比較

為對(duì)比EMD，EEMD，CEEMD，CEEMDAN CWEEMDAN和CCWEEMDAN方法分解性能，構(gòu)造仿真信號(hào):s=s1+s2。

(27)

(28)

該仿真信號(hào)及各組成成分的時(shí)域波形圖如圖7所示。用以上涉及的六種方法對(duì)該組信號(hào)進(jìn)行分解，噪聲輔助EMD分解方法的集總數(shù)為50，噪聲水平為0.2，分解結(jié)果如圖8所示。

圖7 仿真信號(hào)及其各組成成分波形圖Fig.7 The waveforms of simulation signal and its components

圖8 仿真信號(hào)EMD,EEMD,CEEMD,CEEMDAN,CWEEMDAN和CCWEEMDAN分解結(jié)果Fig.8 Decomposition of artificial signals by EMD，EEMD，CEEMD，CEEMDAN，CWEEMDAN and CCWEEMDAN

對(duì)比圖8的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，EMD分解存在嚴(yán)重的模態(tài)混疊，未能將間歇信號(hào)s1和諧波信號(hào)s2完整分解開(kāi)。而剩下的四種噪聲輔助方法均將兩個(gè)分量信號(hào)完整分解開(kāi)來(lái)，避免了模態(tài)混疊。但是EMD，EEMD和CEEMD方法分解出了9個(gè)或以上的模態(tài)，雖然從第三個(gè)模態(tài)開(kāi)始具有很小的能量，但是并不代表原始信號(hào)的信息。而CEEMDAN CWEEMDAN和CCWEEMDAN方法可以在分解的每一階驗(yàn)證全局的停止準(zhǔn)則，一旦滿(mǎn)足IMF條件，整體分解很快停止。噪聲輔助的EMD分解具有一定隨機(jī)性，對(duì)于同一組信號(hào)同樣兩次的分解結(jié)果稍有不同。此外，隨著集總數(shù)的增加，分解的殘余噪聲能量應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步減小，為量化該性能指標(biāo)，在集總數(shù)I=50，100，200，400，800時(shí)用上述方法中的五種噪聲輔助方法(EEMD，CEEMD，CEEMDAN，CWEEMDAN，CCWEEMDAN)對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行100次分解，其中噪聲幅度ε=0.2。

圖9 五種噪聲輔助EMD方法對(duì)仿真信號(hào)s的分解性能Fig.9 Performances of the five noise-assisted methods on artificial signal s

為比較分析方法對(duì)原始信號(hào)各分量的恢復(fù)能力，定義恢復(fù)信號(hào)a和基準(zhǔn)信號(hào)b的相對(duì)平方根誤差為

(29)

對(duì)已知分量信號(hào)的恢復(fù)性能分析(見(jiàn)圖10和圖11)，CWEEMDAN比EEMD，CEEMD，CWEEMDAN的結(jié)果均要好，而CWEEMDAN在集總次數(shù)<100時(shí)的結(jié)果也優(yōu)與CEEMDAN。當(dāng)集總次數(shù)>200時(shí)CEEMD，CEEMDAN，CWEEMDAN和CCWEEMDAN的恢復(fù)性能不隨集總次數(shù)的提高而提高，而CEEMDAN方法在集總次數(shù)大于200時(shí)的恢復(fù)性能略?xún)?yōu)于CCWEEMDAN，這是因?yàn)樵诩偞螖?shù)足夠大時(shí)大部分噪聲幾乎被平均，而由小波濾波特性與EMD濾波特性的差異引起的噪聲未被完全平均。

對(duì)比CEEMDAN和CCWEEMDAN的恢復(fù)性能可以發(fā)現(xiàn)，雖然在集總次數(shù)非常大時(shí)，CEEMDAN具有比CCWEEMDAN較好的恢復(fù)性能，但是其相差不大，幾乎不會(huì)對(duì)結(jié)果有影響，并且CCWEEMDAN具有在低集總次數(shù)得到高恢復(fù)性能的優(yōu)點(diǎn)。最后，對(duì)五種方法的信號(hào)重構(gòu)性能做對(duì)比分析(見(jiàn)圖12)，CCWEEMDAN重構(gòu)性能均優(yōu)于EEMD，CEEMD和CWEEMDAN，并且重構(gòu)誤差和CEEMDAN達(dá)到了同一數(shù)量級(jí)10-17。CCWEEMDAN和CEEMD比較發(fā)現(xiàn)隨著集總次數(shù)的增加重構(gòu)誤差變大，其原因是加入不同噪聲會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生不同數(shù)量的模態(tài)，隨著集總次數(shù)的增加產(chǎn)生不同數(shù)量模態(tài)的概率增加，所以重建誤差增大。

五種噪聲輔助方法對(duì)仿真信號(hào)每次EMD分解的平均迭代次數(shù)如圖13所示。比較四副圖發(fā)現(xiàn)，CCWEEMDN方法比其它四種方法具有更少的迭代次數(shù)，更低的計(jì)算消耗。為進(jìn)一步比較五種噪聲輔助EMD方法的計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)，使用一組真實(shí)數(shù)據(jù)對(duì)五種方法進(jìn)行驗(yàn)證，該數(shù)據(jù)來(lái)源于MIT-BIH正常竇性心律的心電圖(ECG)信號(hào)。對(duì)該組心電信號(hào)進(jìn)行五種噪聲輔助EMD方法的分解(集總數(shù)為100，噪聲幅度為0.2)，其中EEMD、CEEMD、CEEMDAN和CWEEMDAN方法篩選各階模態(tài)需要的迭代次數(shù)如圖14所示，而本文最終提出的CCWEEMDAN方法篩選各階模態(tài)的迭代次數(shù)如圖15所示。比較圖14和圖15可知，EEMD和CEEMD方法

圖10 五種噪聲輔助EMD方法對(duì)仿真信號(hào)s1的恢復(fù)性能Fig.10 Performances of the five noise-assisted methods on artificial signal s1

計(jì)算各階模態(tài)的迭代次數(shù)最多，并且這兩種方法得到的模態(tài)也最多；CEEMDAN方法和CWEEMDAN、CCWEEMDAN方法得到的模態(tài)數(shù)量均較少，但是CEEMDAN方法篩選各階模態(tài)的迭代次數(shù)均大于后兩種新的算法。五種噪聲輔助EMD方法單次EMD分解的迭代次數(shù)如圖16所示。由圖16可知，迭代次數(shù)最多的EEMD和CEEMD，它們單次EMD分解最大概率的迭代次數(shù)分別為543次和529次，CEEMDAN單次EMD分解最大概率的迭代次數(shù)為356次，迭代次數(shù)最少的是CWEEMDAN和CCWEEMDAN，其迭代次數(shù)分別為238次和240次。通過(guò)計(jì)算可知，CEEMDAN方法計(jì)算效率大約是EEMD和CEEMD的1.5倍；CWEEMDAN和CCWEEMDAN計(jì)算效率大約是CEEMDAN的1.5倍；總體而言新噪聲輔助EMD方法的計(jì)算效率大約是原始EEMD方法的2.25倍。如果考慮到單次EMD分解中的異常迭代次數(shù)，集總次數(shù)為100次的EEMD迭代次數(shù)為65 729次，CEEMD總迭代次數(shù)為62 918，CEEMDAN總迭代次數(shù)為39 937次，CWEEMDAN和CCWEEMDAN總迭代次數(shù)分別為25 594次和26 978次(見(jiàn)圖 17)。分析圖17可知，CCWEEMDAN總迭代次數(shù)僅僅是CEEMDAN的67.55%，是CEEMD的42.84%，是EEMD的41.04%，幾乎和CWEEMDAN持平。

圖12 五種噪聲輔助EMD方法重構(gòu)性能Fig.12 Performances of the five noise-assisted methods on artificial signal s: reconstruction error

圖13 五種噪聲輔助EMD方法平均迭代次數(shù)Fig.13 The average number of iterations of five noise-assisted methods

圖14 EEMD，CEEMD，CEEMDAN和CWEEMDAN刷選各階模態(tài)的迭代次數(shù)Fig.14 The iteration number of each mode by EEMD, CEEMD, CEEMDAN and CWEEMDAN

圖15 CCWEEMDAN篩選各階模態(tài)的迭代次數(shù)Fig.15 The iteration number of each mode by CCWEEMDAN

圖16 五種噪聲輔助EMD方法單次EMD分解的迭代次數(shù)Fig.16 The sifting iterations for each mode of the five noise-assisted methods

圖17 五種噪聲輔助EMD方法總迭代次數(shù)Fig.17 The total iterations of five noise-assisted methods

五種噪聲輔助EMD方法的重構(gòu)誤差如圖18所示，除EEMD外其余四種噪聲輔助EMD方法的重構(gòu)誤差均小于5×10-13。比較后四種方法的重構(gòu)誤差平方和(如圖19)，CCWEEMDAN的重構(gòu)誤差平方和最小。

圖18 五種噪聲輔助EMD方法重構(gòu)誤差Fig.18 The reconstruction error of five noise-assisted methods

圖19 四種噪聲輔助EMD方法重構(gòu)誤差平方和Fig.19 The quadratic sum of reconstruction error of four noise-assisted methods

4 結(jié) 論

本文提出了非線(xiàn)性、非平穩(wěn)信號(hào)處理新算法，新算法對(duì)仿真信號(hào)和實(shí)測(cè)信號(hào)具有很好的測(cè)試效果。新方法(CCWEEMDAN)概括起來(lái)具有以下特點(diǎn)：

(1)CCWEEMDAN同EEMD一樣具有抗頻率混疊的特性。

(2)CCWEEMDAN比EEMD和CEEMD具有更少的偽模態(tài)數(shù)量。

(3)CCWEEMDAN比EEMD和CEEMD有更小的殘余噪聲和重構(gòu)誤差，以較小集總次數(shù)獲得比CEEMDAN更好的分解效果和重構(gòu)精度。

(4)CCWEEMDAN較其它噪聲輔助方法具有更小的迭代次數(shù)和計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)。

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A complete complementary wavelet ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise

HELiu,DINGJianming,LINJianhui,LIUXinchang

(State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Empirical mode decomposition (EMD) is a self-adaptive method and suitable to analysing the non-stationary and nonlinear signals. Noise-assisted versions have been proposed to alleviate the so-called “mode mixing” phenomenon, which may appear when an EMD algorithm is used to deal with a signal with intermittency. Among them, the complementary ensemble EMD (CEEMD) and complete ensemble EMD with adaptive noise (CEEMDAN) recover the completeness property of EMD. In this work a new algorithm named complete complementary wavelet ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise(CCWEEMDAN) was presented based on those existing techniques, obtaining better spectral separation of the modes with fewer sifting iterations and less noise of components with small ensemble number and extremely low computational cost.

empirical mode dercompostion; ensemble empirical mode decomposition; noise-assisted data analysis; mode mixing; complementary ensemble empirical mode decomposition

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61134002; 51305358)

2015-09-09 修改稿收到日期：2016-01-04

何劉 男，碩士生，1990年生

丁建明 男，博士，助理研究員，1981年生

U211；U270

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.037