王志勇，徐全智

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

·實驗科學(xué)與教學(xué)——數(shù)學(xué)建?！?/p>

基于數(shù)學(xué)建模和隨機(jī)試驗的確定性和隨機(jī)現(xiàn)象研究

王志勇，徐全智

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

該文針對拋擲硬幣試驗，分別從經(jīng)典力學(xué)角度來建立模型和從概率角度做隨機(jī)試驗解釋確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象的差異。重點闡述了隨機(jī)試驗結(jié)果的不可預(yù)言性，從而解釋了隨機(jī)現(xiàn)象的非確定性。進(jìn)一步，分析了經(jīng)大量重復(fù)的隨機(jī)試驗，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果會呈現(xiàn)一定的規(guī)律，從而解釋了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。

隨機(jī)試驗；隨機(jī)現(xiàn)象；概率；統(tǒng)計規(guī)律性

在自然科學(xué)和人類社會中，客觀現(xiàn)象大致可分為確定性現(xiàn)象和非確定現(xiàn)象兩大類。確定性現(xiàn)象是指在固定其實驗條件的前提下，其結(jié)果總是確定的或可以事前預(yù)言的。如地球圍繞太陽作橢圓形周期性運動；水往低處流；質(zhì)量越大，慣性越大等等。早期，人們科學(xué)研究主要是探索確定性現(xiàn)象的規(guī)律，但在現(xiàn)實世界中，更為普遍的還是非確定性現(xiàn)象，如拋擲硬幣、擲骰子、地震，股市的漲與跌等等，都是無法準(zhǔn)確預(yù)言事件具體結(jié)果的。但在觀察和研究大量的不確定現(xiàn)象后，人們發(fā)現(xiàn)有一些不確定現(xiàn)象雖然每次試驗結(jié)果無法預(yù)知，但在大量重復(fù)試驗后，其結(jié)果能呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，如多次拋擲硬幣后，出現(xiàn)正反面的可能性是相等的。這類不確定性現(xiàn)象被稱為隨機(jī)現(xiàn)象，其規(guī)律被稱為統(tǒng)計規(guī)律性。正如恩格斯所說[1]：“在表面上是偶然性在起作用的地方，這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱藏著的規(guī)律支配的，而問題只是在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律?！备怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計就是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科。

如何研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性？早期由于理論的不完備，人們只能通過做試驗，觀察結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計從而得到規(guī)律。如觀察隨機(jī)拋擲硬幣出現(xiàn)的正反面情況，歷史上幾位著名的學(xué)者做過試驗記錄[2]，如表1所示。

表1 拋擲硬幣試驗

諸如此類的實驗還有擲骰子、統(tǒng)計初生嬰兒的性別等等。不同于一般物理、化學(xué)等實驗，此類實驗具有以下3個特點：

1)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；

2)在實驗前，所有可能的結(jié)果都是明確的；

3)在每一次實驗完成之前，不能預(yù)知會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。

這類試驗被稱為隨機(jī)試驗，其對應(yīng)的3條性質(zhì)通常被人們稱為：可重復(fù)性、結(jié)果的明確性和結(jié)果的不可預(yù)知性。

學(xué)生往往對此產(chǎn)生疑問：在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的實驗為什么每次出現(xiàn)的結(jié)果不可預(yù)知呢？

本文從分析經(jīng)典拋擲硬幣試驗著手，一探究竟。人們對向上拋擲質(zhì)地均勻硬幣抱有兩種不同的觀點。

1)物理學(xué)觀點：其出現(xiàn)的結(jié)果取決于硬幣的初始運動狀態(tài)。

2)統(tǒng)計學(xué)觀點：硬幣出現(xiàn)正反面具有不可預(yù)言性和等可能性。

1 經(jīng)典力學(xué)中的拋擲硬幣試驗

經(jīng)典力學(xué)是建立在力、坐標(biāo)和軌道等基本概念之上的。經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為，只要給出物理的受力和初始條件，物體的運動和軌跡是完全可以被確定和預(yù)言的。針對拋擲硬幣試驗形成的結(jié)論和觀點則是“向上拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，其出現(xiàn)的結(jié)果取決于硬幣的初始運動狀態(tài)”。

1)不考慮硬幣的厚度；

2)假設(shè)硬幣質(zhì)地是均勻的；

3)忽略硬幣轉(zhuǎn)動過程中空氣阻力和風(fēng)的影響；

4)假設(shè)硬幣拋出時正面朝上，每次拋出時力度和方向都相同，做逆時針旋轉(zhuǎn)；

5)假設(shè)硬幣拋出后在豎直方向做自由落體運動，并沿通過質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)軸迅速旋轉(zhuǎn)。

同時，給出了如表2中變量說明。

表2 拋擲硬幣的變量說明

表2(續(xù))

圖1 硬幣拋出時示意圖

圖2 硬幣質(zhì)心距桌面處示意圖

(1)

(2)

α=θ0+θ

(3)

n=α2π,

若令其中?.」表示向下取整，令γ=α-2nπ，由前面分析可知：

2 隨機(jī)現(xiàn)象的非確定性

事實上，上述物理結(jié)論是通過較多的假設(shè)條件, 對拋擲硬幣試驗過程做了簡化及理想化而得，如忽略空氣阻力影響和忽略硬幣厚度等假設(shè)就是一種理想化的簡化處理，這顯然不是實際能實現(xiàn)的試驗條件，何況做出滿足假設(shè)4)和假設(shè)5)的豎直向上拋擲硬幣的動作也非易事。

總而言之，上述物理結(jié)論是在固化部分基本試驗條件的基礎(chǔ)上得出的理想化結(jié)論，而事實上還有許多覺察到或未覺察到的因素，可控或不可控因素都會影響硬幣出現(xiàn)正反面的結(jié)果，呈現(xiàn)出結(jié)果的不可預(yù)言性。

同樣道理，使用同一門炮，按同樣射擊條件(初始速度V0，發(fā)射角θ與彈道系數(shù)C)進(jìn)行射擊，理論上應(yīng)當(dāng)有一條完美的彈道軌跡。但客觀存在的各類因素所致， 射擊完成前人們無法預(yù)測每次彈著點的精確位置。

為什么這類現(xiàn)象在相同的基本條件下，試驗或觀測結(jié)果會不完全一樣呢？這是因為除了基本條件之外，客觀上還存在許多變化著的偶然因素，它們中每一個對試驗或觀測的結(jié)果影響均很小，但它們的綜合影響就會使得試驗或觀測的結(jié)果產(chǎn)生差異。拋擲硬幣過程中，初始拋出時力道、初速度的大小和初始的角度，在實驗中只能保證大致相同，但每次試驗不可避免存在一定的誤差，這些誤差可以歸納成微小干擾的影響。另還有空氣阻力、風(fēng)速等等因素的影響，雖然其中每一個對拋擲硬幣的結(jié)果未構(gòu)成決定性的影響，但諸多因素的綜合影響就導(dǎo)致結(jié)果的出現(xiàn)無法預(yù)測。對向上拋擲質(zhì)地均勻硬幣而言，不能預(yù)知究竟出現(xiàn)正面或反面，但呈現(xiàn)出正反面的等可能性。此類實驗是隨機(jī)試驗，所對應(yīng)的現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象。

在經(jīng)典力學(xué)中，人們研究的都是宏觀現(xiàn)象，如牛頓的三大運動定律和萬有引力定律。然而在19世紀(jì)末，人們試圖將研究伸向原子、離子等微觀領(lǐng)域時，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典力學(xué)的方法和理論并不可行，如決定論無法解釋原子內(nèi)電子的遷躍行為。在經(jīng)典力學(xué)中粒子的初態(tài)，在微觀領(lǐng)域也是不能被觀測的，在觀測電子時，人們發(fā)覺可能就有如光子的微粒打在電子上，從而改變了電子的運動軌跡，這就是著名的“測不準(zhǔn)原理”。海森堡曾說：“在因果律的陳述中，即‘若確切地知道現(xiàn)在，就能預(yù)見未來’，所錯誤的并不是結(jié)論，而是前提。我們不能知道現(xiàn)在所有細(xì)節(jié)，是一種原則性的事情?！边@就預(yù)示著人們需要一種新的世界觀和方法論來研究微觀世界。20世紀(jì)初，基于概率和統(tǒng)計的量子力學(xué)走上了歷史的舞臺。1927年，海森堡提出了著名的“不確定性原理”，這個理論說明，不可能同時知道一個粒子的位置和速度，粒子位置的不確定性，必然大于等于普朗克常數(shù)除以4π。

3 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性

人們認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)不確定性，在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有規(guī)律性，故可在大量重復(fù)試驗和觀察下揭示所涉隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。

隨機(jī)試驗定義中的第一條：“可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行”，要求為避免不同試驗條件產(chǎn)生對試驗結(jié)果的決定性改變，需固化試驗的基本條件。如拋擲硬幣試驗中，“豎直向上”和“同一枚硬幣”等條件才能使硬幣的上拋物理過程遵循基本一致的物理規(guī)律。

定義中的第三條：“一次試驗結(jié)束之前，不能準(zhǔn)確預(yù)知哪一個結(jié)果會出現(xiàn)”，則刻畫了隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)屬性——不確定性。如人們無法預(yù)判拋擲硬幣會出現(xiàn)正面還是反面；按相同射擊參數(shù)進(jìn)行射擊，無法預(yù)測每次彈著點的精確位置。

隨機(jī)試驗是聯(lián)系于隨機(jī)現(xiàn)象的具有“可重復(fù)性” “結(jié)果明確性”及“不可預(yù)言性”3種特點的試驗(觀察)，該定義是對隨機(jī)現(xiàn)象的一種很好的抽象。

可以注意到在自然科學(xué)和社會科學(xué)的研究中，針對同一個研究對象，有人將其視為確定性現(xiàn)象,也有人將其視為隨機(jī)現(xiàn)象，并采用不同的數(shù)學(xué)工具對其進(jìn)行研究。若固化部分基本條件近似描述研究對象已足以達(dá)到研究目的和要求，而忽略其他因素影響作用時，人們將其視為確定性現(xiàn)象。若必須考慮客觀存在的隨機(jī)因素對研究目的的影響時，人們將其視為隨機(jī)現(xiàn)象。

嚴(yán)格來講，“確定性是相對的，隨機(jī)是絕對的?！贬槍﹄S機(jī)現(xiàn)象的不確定性產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)研究思想及方法, 形成了以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”為基礎(chǔ)，應(yīng)用廣泛的隨機(jī)理論體系，為人們認(rèn)識世界，改造世界提供了理論基礎(chǔ)和有力工具。

[1]馬克思, 恩格斯.馬克思恩格斯選集.第4卷.[M].北京： 人民出版社, 2012.

[2]徐全智, 呂恕.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].2版.北京： 高等教育出版社, 2004.

[3]汪炎汝.關(guān)于隨機(jī)試驗的探討[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2003, 23(4): 69-70.

[4]鄧昌松.人類認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象的過程[J].數(shù)學(xué)通訊, 2006, 7(1): 47-48.

[5]顧學(xué)文, 張立云, 梁裕民.“不確定原理”的一種新講法[J].大學(xué)物理, 2015, 34(12): 6-8.

[6] RODNEY F, JOEL M, MARK D.Uncertainty byregulation:Rottenberg’s invariance principle[J].Research in Economics, 2016, 70(3): 454-467.

[7]RAIMUNDO N, COSTA F, JORGE H , et al.Extended uncertainty from first principle[J].Physics Letters B,2011,703(4): 367-370.

[8] BARUN M.Quantum black hole and the modified uncertainty principle[J].Physics Letters B, 2011,701(4): 384-387.

[9] ALI P, THOMAS S.Cutoff phenomenon for random walks onKneser graphs[J].Discrete Applied Mathematics, 2014(176):100-106.

[10]JUAN R, LUCAS J, JUAN C, et al.Mathematical modeling and computational methods[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, 309(1): 320-324.

[11]王麗霞，楊靜.人類對于隨機(jī)性認(rèn)識的四個階段[J].自然辯證法通訊，2006，163(3): 62-66.

[12]劉超.概率統(tǒng)計教學(xué)的問題與思考[J].高等數(shù)學(xué)研究, 2013,16(4): 69-71.

Investigation of Certain and Random Phenomena Based on Mathematical Modeling and Random Experiment

WANG Zhiyong, XU Quanzhi

(School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China)

In this paper, the difference between certain phenomena and random ones has been investigated from the perspective of classical mechanics by modeling, and of probability by conducting random experiment through the research of cointossing experiment.The focus is discussing the unpredictability property of the outcomes of random experiment, and thus explaining the non-deterministic property of random phenomenon.Furthermore, by analyzing the results of mass repeated random experiments, this paper finds that the results will show a certain law, which thus explains the statistical regularity rule of random phenomenon.

random experiment；random phenomenon；probability; statistical regularity

2016-12-10；修改日期:2016-12-19

國家自然科學(xué)基金(11301058); 中央高校基本業(yè)務(wù)費(ZYGX2015J103)。

王志勇(1980-)，男，博士，副教授，主要從事隨機(jī)微分方程數(shù)值解方面的研究。

O211.1

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2017.01.001