江蘇省常熟市中學(xué) (215500) 吳旭紅

留白 游戲 享受
——高中數(shù)學(xué)課堂追求本真、靈動(dòng)三例

江蘇省常熟市中學(xué) (215500) 吳旭紅

2016年6月16日參加了常熟市中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師工作室2016年第三次活動(dòng)，聆聽了蘇州市教育科學(xué)研究院吳鍔主任的《構(gòu)建本真靈動(dòng)的蘇式數(shù)學(xué)課堂》，對(duì)于數(shù)學(xué)課堂的本真——本質(zhì)是什么？核心是什么？思維是什么？思維方式是什么？思維品質(zhì)到思維品格的提升需要靈動(dòng)的生命氣象，讓研究成為一種常態(tài)，讓課堂成為學(xué)生為主體，師生共同的舞臺(tái)，讓每個(gè)學(xué)生可以自由思想，獨(dú)立思考，勇敢嘗試，迸發(fā)出生命的智慧潛能，體驗(yàn)生命成長(zhǎng)的幸福感覺等有了更深的認(rèn)識(shí)．

本文通過三節(jié)課簡(jiǎn)錄或部分片段，展示教師如何設(shè)計(jì)實(shí)施來體會(huì)高中數(shù)學(xué)課堂的本真與靈動(dòng)．

一、留白顯創(chuàng)造，歸納是本質(zhì)，感悟在探究

案例一 (高一)滸浦中學(xué)高一(8)班借班上課(常熟市中學(xué)沈宏《數(shù)列通項(xiàng)公式的求法》2016.6.16)

引入：裴波拉契數(shù)列引出數(shù)列遞推公式的概念，指出數(shù)列重點(diǎn)研究遞推關(guān)系，數(shù)列的通項(xiàng)是數(shù)列學(xué)習(xí)的核心問題．

溫故知新1 已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=an+2，則an= .

生集體回答結(jié)果，某生具體回答思維過程，復(fù)習(xí)了等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式的求解方法(疊加法)，n=1的檢驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察可以這么做的原因(右邊可以求和)，問怎樣的式子可以求和呢？請(qǐng)同學(xué)們創(chuàng)造可以求和的題，并自行解決．

已知數(shù)列{an}中，a1=1, ，則an= .

學(xué)生開始創(chuàng)造．本人坐在兩列中間，周圍有四個(gè)同學(xué)，左邊兩位女生，右邊兩位男生(下文記為左1左2右1右2)．創(chuàng)造如下．左1：an+1+2=an+4，右1：an+1-an=2n-1，右2：an-an-1=n，左2好不容易寫了個(gè)Sn=2n-1，卻沒有做下去，作為聽課老師我覺得她出的也不錯(cuò)，跟左1類似．可見部分學(xué)生對(duì)于常數(shù)可以求和，等差數(shù)列印象深刻，部分學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)變通．

教師投影的是位女生甲的作品：an+1-an=2n．教師跟學(xué)生一起檢查書寫過程，要求大家檢驗(yàn)n=1規(guī)范完整，引導(dǎo)學(xué)生感悟歸納出an+1-an=f(n)型(可求和)，可用疊加法，友情提示——驗(yàn)證首項(xiàng)．

溫故知新2 已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an，則an= ．

同法處理本問題．教師引導(dǎo)學(xué)生觀察出原理——相乘可以上下相消，請(qǐng)學(xué)生構(gòu)造，提醒學(xué)生重視乘積可求或者平時(shí)作業(yè)中遇到怎樣的問題可以用這個(gè)來求解．

已知數(shù)列{an}中，a1=1, ，則an= ．

思維拓展探究1：已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+2，求an．

教師引導(dǎo)學(xué)生分析猜測(cè)可能是什么數(shù)列？怎么創(chuàng)造條件，學(xué)生乙回答，師板書．歸納an+1=pan+c型，適用待定系數(shù)法．

學(xué)生探究．左1左2右1右2四位同學(xué)皆直接取倒數(shù)，構(gòu)造得出．說明學(xué)生掌握得很好．

本題取倒數(shù)與構(gòu)造(待定系數(shù)法)相結(jié)合．左1左2右1右2四位同學(xué)皆正確完成．

探究3 已知數(shù)列{an}中，a1=1,Sn=2an-1，求an．

思考題：已知數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=2Sn，求an．

左1左2同學(xué)皆用Sn+1-Sn=2Sn，先證{Sn}為等比數(shù)列，再求解an，皆為分段形式．右1由an+1=3an,a1=3≠0，得{an}為等比數(shù)列，右2類似，投影的同學(xué)丁亦是如此，說明學(xué)生僅記憶了要檢驗(yàn)n=1，卻不重視條件對(duì)式子的約束．教師的分析到位，之后總結(jié)本節(jié)收獲，求解數(shù)列通項(xiàng)公式的常見方法．

點(diǎn)評(píng)：詩云“如切如磋，如琢如磨”，沈宏老師通過“切”——溫故知新，思考初始情境，學(xué)生既復(fù)習(xí)了基礎(chǔ)知識(shí)，又理解了其適用的內(nèi)涵；“磋”——探究新知，大膽留白，鼓勵(lì)創(chuàng)造，激活了學(xué)生頭腦中已有舊知，進(jìn)行意義建構(gòu)，在思維的鍛煉中提高能力；“琢”——思維拓展，逐步深入，放手學(xué)生構(gòu)建新數(shù)列，學(xué)生憑直覺獲得寶貴經(jīng)驗(yàn)，并由表及里，深入理解后解決了取倒數(shù)和構(gòu)造兩者結(jié)合的思考題．“磨”——精雕細(xì)刻在細(xì)微處，沈宏老師根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合課堂實(shí)際，抓住學(xué)生在數(shù)列學(xué)習(xí)中對(duì)n=1,n≥2等認(rèn)識(shí)上的不足，給出思考題，大膽留給學(xué)生處理，讓學(xué)生出錯(cuò)，并在探究3的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生逐步理解遞推含義，及檢驗(yàn)的本質(zhì)——完備性．

二、游戲進(jìn)課堂，數(shù)學(xué)映生活，本真引思想

案例二 (高二)2016年4月26日，啟發(fā)深度思考，實(shí)踐深度教學(xué)——常熟市中學(xué)數(shù)學(xué) “雙主課堂”教學(xué)研討活動(dòng)(江蘇省常熟中學(xué)朱峰《基本不等式》)

朱峰老師后來介紹了他設(shè)計(jì)游戲引入法的原因：通過對(duì)教材的分析，感覺無論天平稱重還是弦圖，調(diào)價(jià)或者用不等式a2+b2≥2ab類比引入，皆感覺學(xué)生不好進(jìn)入角色，后受“女兒跟同學(xué)猜拳贏蠶寶寶”的啟發(fā)，結(jié)合紙牌這個(gè)大家都喜歡的工具，設(shè)計(jì)了紙牌游戲法．

江蘇省教育廳教研室李善良博士點(diǎn)評(píng)：本課有四個(gè)難點(diǎn)——引入，猜想(成立條件)，證明，幾何解釋，還有各種變式應(yīng)用．朱峰老師情景創(chuàng)設(shè)有趣簡(jiǎn)單，猜想結(jié)果一定是教師引導(dǎo)，學(xué)生歸納出抽象結(jié)果，證明方法多，通過這堂課學(xué)習(xí),學(xué)生對(duì)原結(jié)構(gòu)印象深刻，結(jié)構(gòu)變式就強(qiáng)化這個(gè)基礎(chǔ)．教師的任務(wù)就是教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，與學(xué)生的思維相匹配．

本節(jié)課給了“我們要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的能力”一個(gè)很好地示范，學(xué)生主體得到了充分的體現(xiàn)，增加了基本經(jīng)驗(yàn)的積累，智慧逐步生成，師生充滿激情，與實(shí)際生活很好地鏈接在一起．通過學(xué)生的直觀感受，觀察發(fā)現(xiàn)，理解頓悟，深入認(rèn)識(shí)．課堂上有疑問，有猜想，有笑聲．通過體驗(yàn)生活，讓每一個(gè)學(xué)生都成為實(shí)踐者．

三、學(xué)生為主體，配角作引導(dǎo)，自主即享受

案例三 (高三)南京二模試卷講評(píng)課片段(常熟市中學(xué)高三(10)班 本人2016.4.15)

高三的三輪復(fù)習(xí)中，有時(shí)候，學(xué)生做的試卷中一些題目正確率很高，也許有的老師認(rèn)為學(xué)生掌握得不錯(cuò)，沒有再評(píng)講的必要了，但是實(shí)際上可以平淡中見神奇，以這些題目為例，復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，方法選擇，甚至簡(jiǎn)化，變化，進(jìn)行思維訓(xùn)練，讓學(xué)生相互交流，互相評(píng)價(jià)，讓每一位學(xué)生仍有所獲．閱卷過程發(fā)現(xiàn)學(xué)生本題完成得很好，僅3位同學(xué)出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)誤．即使正確率很高，結(jié)合之前學(xué)生的復(fù)習(xí)狀況，學(xué)生題目邊上留下的做題痕跡，加之向量兼具數(shù)與形的特征，也是知識(shí)交匯點(diǎn)，本人仍覺得很有探究一番的必要．

課堂開始，師表揚(yáng)大家前10題做得很好，11題僅三位同學(xué)出錯(cuò)(錯(cuò)誤學(xué)生開始自己訂正)，首先我們請(qǐng)張譯夫同學(xué)上臺(tái)給大家介紹他的求解方法(該生以前此類問題常錯(cuò)，并且喜歡表現(xiàn)，即通常說的常需鼓勵(lì)，肯定)．

他在臺(tái)上自信地說：我是用基底表示的，我給大家分析一下：

師：嗯，張同學(xué)的方法怎樣？

生：挺常規(guī)的，兩個(gè)向量夾角知道，一邊知道，只是要用到解方程．

師：對(duì)，比平時(shí)的題稍難一點(diǎn)，但是按常規(guī)方法處理也是可行的．那么你還會(huì)用什么方法來處理呢？

徐露同學(xué)：坐標(biāo)法．師：請(qǐng)徐露同學(xué)給大家看看她的想法．

師：徐露的方法你想到了嗎？(很多學(xué)生附和)，沒想到這么做的同學(xué)是否已經(jīng)思考求解了一遍呢？

張文鈞同學(xué)提出了不同的意見：老師，把C放在x軸正半軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)是明確的，根據(jù)向量相等的關(guān)系，也可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)?。?/p>

師：大家說呢？生：倒也是，反正都是求點(diǎn)的坐標(biāo)，本質(zhì)是一樣的．

桂裕華同學(xué)：老師，直接用余弦定理就好了！

圖1

師：桂同學(xué)什么意思呢？有請(qǐng)桂同學(xué)給大家展示．

桂裕華龍飛鳳舞的字瞬間就出現(xiàn)在黑板上，而且寫得超簡(jiǎn)潔．

大家：哦！我也這么做的，桂哥強(qiáng)！

師：嗯，不錯(cuò)．抓住角互補(bǔ)，余弦值相反，設(shè)了兩個(gè)變量，解方程，基本功不錯(cuò)，不愧為課代表！大家要向他學(xué)習(xí)，認(rèn)真解方程??！

大家笑了，馬上有學(xué)生提醒：老師，海波還有妙法！原來學(xué)生正相互積極地探討著呢！

師：大家歡迎陶海波同學(xué)！

學(xué)生鼓掌歡迎，倒把大個(gè)的海波同學(xué)弄得有點(diǎn)不好意思了．

陶海波同學(xué)：我倒是既沒有基底法，也沒用建標(biāo)法，解三角形我覺得煩，然后根據(jù)向量關(guān)系，我發(fā)現(xiàn)很多邊可以直接求出來，大家看看好不好？

圖2

師：大家說好不好？生集體回答好！師問，不妨也起個(gè)名字？生：幾何法！師豎起了大拇指．

海波同學(xué)開心的走下去了，平時(shí)做題一絲不茍的男生唐若誠(chéng)說：“老師，我的也是幾何法，不過跟海波不一樣”．于是我們聆聽了唐同學(xué)的思路，他給大家投影了他的做法．

圖3

師：大家講得都不錯(cuò)，向量問題的常規(guī)思路大家掌握得很好了，它的數(shù)形特征讓我們?nèi)胧址椒ǘ鄻樱瑺可娴闹R(shí)公式也多，希望大家以后碰到向量題大膽地向它進(jìn)攻，選擇最好的你最喜歡的方法，迅速準(zhǔn)確地解出來．大家要在課后做好整理．子曰：“學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦說乎？”同學(xué)們經(jīng)常歸納整理，“聯(lián)點(diǎn)成線，聯(lián)線成面，最終歸為一點(diǎn)”，要有自我建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)．(課后，讓課上回答的同學(xué)把各自方法，張貼于教室，供大家參考欣賞)

自評(píng)：高三的三輪復(fù)習(xí)，似乎學(xué)生都會(huì)了，又似乎學(xué)生什么都忘了，課堂往往是試卷的評(píng)講，那么講得精彩，講清關(guān)鍵點(diǎn)，誰講？怎么激發(fā)學(xué)生以及教師自己的熱情？教會(huì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的嫻熟使用？怎樣提高運(yùn)算求簡(jiǎn)能力，達(dá)到高效解題？本人認(rèn)為要重基礎(chǔ)，抓主干，悟規(guī)律，求實(shí)效．把課堂還給學(xué)生，本人覺得學(xué)生講比較能激勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生能夠有表現(xiàn)自己的機(jī)會(huì)，與同學(xué)分享自己的成果，讓大家進(jìn)行比較，享受數(shù)學(xué)的奇妙．教師僅需創(chuàng)造良好的環(huán)境氛圍，適當(dāng)穿針引線，提高學(xué)生的參與度，思維廣度，激發(fā)學(xué)生的自主性，創(chuàng)造性．更可以通過拓展，變式，提高閱讀，分析計(jì)算能力，注重養(yǎng)成教育，培養(yǎng)習(xí)慣，形成規(guī)范，培養(yǎng)學(xué)生良好的心理素質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思維能力，布魯諾說：發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)，再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造．學(xué)生通過不同角度分析、解決問題，圍繞一個(gè)數(shù)學(xué)問題復(fù)習(xí)多塊知識(shí)，多種思想方法，促使學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維特點(diǎn)進(jìn)行選擇，探索去解決問題的有效方法．

教學(xué)的根本目的在于豐富學(xué)生的知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，學(xué)會(huì)分析，解決問題，在此過程中掌握思考，感悟問題解決的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法．李善良博士提倡：把精彩留給學(xué)生，凡學(xué)生能做的留給學(xué)生．

用吳鍔主任對(duì)蘇式課堂教學(xué)的核心“立本求真”作為本文的結(jié)束語：遵循教學(xué)規(guī)律，從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，順應(yīng)學(xué)生思想意識(shí)，通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得經(jīng)驗(yàn)積累，自我構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，拓展空間，讓探究成為習(xí)慣，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)．