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PA-DDS算法在HBV模型參數(shù)優(yōu)化中的應用

2017-03-21 02:09陳元芳
中國農(nóng)村水利水電 2017年12期
關(guān)鍵詞:函數(shù)優(yōu)化算法

代 旭, 陳元芳

(河海大學 水文水資源學院,南京 210098)

0 引 言

水文模型是模擬降雨徑流關(guān)系的工具,這些模型在結(jié)合流域產(chǎn)匯流機制的基礎(chǔ)上定量分析了出流過程線[1]。模型模擬的精度跟許多因素有關(guān),比如資料的誤差,模型結(jié)構(gòu),參數(shù)的相關(guān)性及其準確性等。模型參數(shù)優(yōu)化在確定了模型的結(jié)構(gòu)以后對模型的模擬結(jié)果起重大作用。

在水文模型參數(shù)率定的兩種方法中,試錯法是人工率定的主要方法,簡單易行,但需要大量的計算時間[2]。自動率定方法是目前發(fā)展較快且應用廣泛的參數(shù)率定方法。自動率定法包括局部尋優(yōu)和全局尋優(yōu)兩種方法。針對單峰函數(shù),局部尋優(yōu)法可以有效快速地找到最優(yōu)解,而全局尋優(yōu)法通過全局尋優(yōu)避免最優(yōu)解限制于局部空間內(nèi)。

水文模型參數(shù)率定方法分為單目標[3]和多目標率定兩種[4]。多目標優(yōu)化算法作為全局優(yōu)化的重要組成部分,其目的在于搜尋可行的參數(shù)空間并找出其Pareto最優(yōu)解集[5]。目前多目標優(yōu)化算法有NSGA-Ⅱ[6]法、MOGA法[7]、PAES法[8]、AMALGAM法[9]等。其中NSGA-Ⅱ算法作為其他多目標尋優(yōu)算法性能檢驗的標準,具有尋優(yōu)速度快,解集分布廣泛且均勻的優(yōu)點。AMALGAM算法通過對四種相關(guān)算法分配權(quán)重從而實現(xiàn)信息交換同時尋優(yōu),解的收斂性能較好。本文將PA-DDS算法與NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法在收斂性能方面進行了對比,比較了PA-DDS算法與AMALGAM算法的Pareto前沿,并將其用于HBV參數(shù)優(yōu)化中,結(jié)合巴格瑪?shù)俸恿饔蛳嚓P(guān)資料驗證了該方法的可行性和適用性。

1 PA-DDS算法

Tolson和Shoemaker于2007年提出了動態(tài)維度搜索(Dynamically Dimensioned Search, DDS)算法[10],并與混合競爭優(yōu)化(Shuffled Complex Evolutions, SCE[11])算法進行詳細比較,結(jié)果表明:當?shù)螖?shù)有限且維度不小于10時,DDS算法明顯優(yōu)于SCE算法。Tolson和Asadzadeh在Pareto存檔進化策略(Pareto Archived Evolution Strategy, PAES)的啟發(fā)下,使用DDS搜索機制,并在搜索過程中存檔所有非劣解,提出了處理多目標問題的Pareto存檔動態(tài)維度搜索(Pareto-Archived Dynamically Dimensioned Search, PA-DDS)算法[12],應用實例表明PA-DDS算法具有較高的計算效率。

PA-DDS方法的主要步驟(圖1)為:

步驟一,定義具有n個目標函數(shù)的多目標優(yōu)化問題。

步驟二,利用DDS算法實行n個優(yōu)化路徑從而最小化每一個目標函數(shù),同時存檔外部解集中的所有非劣解。

步驟三,計算外部解集中解的擁擠距離,并基于此選擇非劣解。

步驟四,通過擾動參數(shù)產(chǎn)生新解,并將新解與外部解集中的解進行比較,如果未達到計算量,且新解是非劣解,那么新解即為當前最優(yōu)解,否則重新對當前解擾動產(chǎn)生新解;若達到計算量,則停止迭代,外部解集中的解即為折中解的估計值。

2 HBV模型

HBV(Hydrologiska Fyrans Vattenbalans Modell)主要用于河流流量預測和河流污染物傳播,由瑞典水利氣象研究中心開發(fā)[13]。張建新[14]等將HBV模型應用于中國東北多冰雪地區(qū),建立了考慮融雪的洪水預報系統(tǒng);張小琳[15]等對HBV的實際蒸散發(fā)模型進行了評估;李海川[16]等將HBV模型應用到湯旺河流域進行參數(shù)敏感性分析,并在此基礎(chǔ)上率定參數(shù)。

2.1 模型特征

HBV模型是半分布式的概念模型,包括氣象插值、積雪累積融化、蒸散發(fā)估計子程序、土壤水分計算程序、徑流產(chǎn)生程序、路徑選擇程序。模型輸入數(shù)據(jù)包括觀測雨量、氣溫以及可能蒸散發(fā)估計量。氣溫用來計算積雪累積和融化,在無積雪地區(qū)溫度項可以忽略。

2.2 模型參數(shù)

模型參數(shù)包括8個初始給定參數(shù),分別是:SP為雪蓋厚度,單位為mm,WC為雪的等效水量,單位為mm,SM為土壤水分,單位為mm,UZ為上層土壤需水量,單位為mm,LZ為下層土壤蓄水量,單位為mm,WHC為雪的滯水能力因子,CFR為再冰凍因子,INOUT表示地下水入流量/出流量,Inflow>0,Outflow<0。8個初始給定參數(shù)的數(shù)值見表1。

表1 HBV模型初始給定參數(shù)及其數(shù)值Tab.1 Initial parameters and their numerical values of HBV model

圖1 PA-DOS流程圖Fig.1 Flow chart of PA-DOS

模型還包括9個待優(yōu)化可變參數(shù),分別是:FC為土壤蓄水量閾值,單位為mm,LP為潛在蒸散發(fā)能力閾值,單位為mm,ALFA為描述隨著響應水庫含水量的減少徑流產(chǎn)生非線性衰減的參數(shù),BETA為控制響應函數(shù)的參數(shù)或每毫米降雨積雪融化所得到的土壤蓄水量的增加值,K為上層響應水庫的消退系數(shù),K4為下層響應水庫的消退系數(shù),PERC為從上層相應水庫到下層響應水庫的滲漏,CFLUX為毛管含水量的閾值,MAXBAS為轉(zhuǎn)移函數(shù)參數(shù)。

3 優(yōu)化過程

利用PA-DDS優(yōu)化算法對HBV模型9個待優(yōu)化可變參數(shù)進行優(yōu)化。

3.1 參數(shù)初始值及尋優(yōu)空間

基于研究流域的特點及參數(shù)的物理意義,給出9個參數(shù)的初始值并通過人工率定法給出參數(shù)的閾值(表2)。

表2 HBV模型待優(yōu)化參數(shù)的初始值及閾值Tab.2 The initial value and threshold value ofthe optimized parameters

3.2 目標函數(shù)

Madsen[17]和Mertens[18]提出了對于優(yōu)化算法以均方根誤差(RMSE)為目標函數(shù),因此本文目標函數(shù)選作高低流量均方根誤差,對應的方程分別是:

(2)

式中:Qobs、Pobs分別為高低流量觀測值;Qcal、Pcal分別為高低流量模擬值;n為實測資的長度。

4 應用實例

巴格瑪?shù)俸游挥谀岵礌柤拥聺M都谷地,發(fā)源于肖普里山,匯入恒河,降水是主要補給源,流域面積2 900 km2。

本文將PA-DDS算法收斂性能與NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法進行對比(圖2),并將非劣解分布的均勻性及解的相似性方面與AMALGAM進行比較(圖3),選取巴格瑪?shù)俸?005-2011年期間洪水日徑流過程數(shù)據(jù)進行分析,多目標同時考慮高流量與低流量的均方根誤差,優(yōu)化過程采用PA-DDS算法進行計算,分析生成Pareto最優(yōu)解,從圖中可以看出來Pareto曲線為下凸曲線,有明顯的拐點,從而滿足獲得最優(yōu)解的條件。

4.1 算法收斂性能分析

基于超體積(Hyper-Volume)在評價Pareto前端收斂性、寬廣性和均勻性時表現(xiàn)出來的客觀性[19],本文選擇超體積作為指標來判斷PA-DDS算法與NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法的求解質(zhì)量。其定義如下:

Hv=volume(∪NPFi=1vi)

(3)

式中:NPF為最終Pareto前沿上解的個數(shù);vi為Pareto前沿上第i個解與參照點圍成的體積。

圖2 不同算法超體積收斂曲線Fig.2 Hyper-Volume convergence curve of different algorithms

從圖2中可以看出,由于AMALGAM算法與NSGA-Ⅱ算法初始種群數(shù)都要大于PA-DDS算法,所以在優(yōu)化過程初期,前者超體積大于后者。對于目標函數(shù)最小化的雙目標優(yōu)化問題,超體積值越大,表明Pareto前沿解的分布廣度越大。從圖2中也可以看出,當?shù)螖?shù)大于200次時,PA-DDS非劣解的廣度都要優(yōu)于其他兩種方法,同時AMALGAM算法、NSGA-Ⅱ算法在迭代次數(shù)分別達到100次和200次時,超體積值穩(wěn)定,算法收斂;而PADDS算法當?shù)螖?shù)達到270次時才趨于穩(wěn)定,表明AMALGAM算法和NSGA-Ⅱ算法在HBV參數(shù)優(yōu)化過程中相比于PA-DDS算法更快趨向于收斂。

4.2 非劣解分布分析

從圖2中可以看出,PA-DDS算法和AMALGAM算法在達到收斂時兩者對應的超體積值相對接近,所以將兩種算法求解的目標函數(shù)值進行對比分析。將兩種算法的Pareto前沿繪制在圖3中。

圖3 不同算法得到的Pareto前沿Fig.3 The Pareto front obtained by different algorithms

基于PA-DDS算法的動態(tài)存檔機制,其在求解過程中不會剔除所有非劣解,所以從圖3中可以看出,PA-DDS算法所得到的Pareto前沿的廣度和數(shù)量要優(yōu)于AMALGAM算法。同時在目標函數(shù)同時達到最小值的區(qū)域附近,兩種算法Pareto解集比較接近,說明適用于巴格瑪?shù)俸恿饔虻腍BV模型參數(shù)優(yōu)化問題中兩種算法的尋優(yōu)性能相似,但PA-DDS算法非劣解分布更加密集且均勻,其算法表現(xiàn)相對更優(yōu)。

4.3 尋優(yōu)速度及穩(wěn)定性分析

為分析PA-DDS算法和AMALGAM算法的尋優(yōu)速度和穩(wěn)定性,記錄PA-DDS算法和AMALGAM算法各自獨立運行15次的時間,并將兩者得到的Pareto前端繪于圖4。

統(tǒng)計15次實驗運行時間PA-DDS算法平均耗時135 s,AMALGAM算法平均耗時144 s,所以前者尋優(yōu)效率優(yōu)于后者。從圖4中可以看出,兩種算法在目標函數(shù)同時達到最小值的附近區(qū)域,解集分布都相對集中;在其中一個目標函數(shù)趨于較大值,另一個目標函數(shù)趨于較小值的區(qū)域附近,解集分布都相對分散,表明兩種算法能得到質(zhì)量較高的非劣解。同時可以看出,無論在哪個區(qū)域,PA-DDS算法所得非劣解集分布更為集中,表明該算法在HBV模型參數(shù)優(yōu)化問題中具有良好的穩(wěn)定性。

圖4 不同算法15次獨立實驗得到的Pareto前沿Fig.4 The Pareto front obtained by 15 independent experiments with different algorithms

4.4 優(yōu)化結(jié)果

將PA-DDS算法所得Pareto前沿中目標函數(shù)同時達到最小值時的參數(shù)組作為最優(yōu)參數(shù)組,結(jié)果見表3。選取2013年作為驗證期來檢驗PA-DDS算法參數(shù)優(yōu)化結(jié)果(圖5、表4)。

表3 最優(yōu)參數(shù)組數(shù)值Tab.3 The value of optimum parameter array

圖5 2013年流量擬合效果圖Fig.5 Discharge Fitting effect in 2013

表4 PA-DDS算法與HBV結(jié)合的結(jié)果統(tǒng)計表Tab.4 PA-DDS algorithm combined with HBV results statistics

由表4可以看出,用PA-DDS多目標優(yōu)化算法對HBV模型參數(shù)優(yōu)化結(jié)果,擬合5場洪水確定性系數(shù)平均值為0.86,其中0.85以上的有3場,接近0.9的有2場。以上結(jié)果表明,用PA-DDS多目標優(yōu)化算法對HBV模型參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果令人滿意。

5 結(jié) 語

(1)本文將PA-DDS多目標優(yōu)化算法在收斂性能方面對比NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法,并將非劣解分布的均勻性及解的相似性方面與AMALGAM進行比較,利用尼泊爾巴格瑪?shù)俸恿饔蛸Y料,采用PA-DDS算法對HBV模型參數(shù)進行優(yōu)化,并選取五場歷史洪水對優(yōu)化結(jié)果進行了檢驗,發(fā)現(xiàn)PA-DDS算法尋優(yōu)速度快,非劣解分布范圍廣并且穩(wěn)定,以確定性系數(shù)為指標,模型擬合效果較好。

(2)分析PA-DDS算法對于其他水文模型的適應性是今后研究的重點。

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