陳 誠(chéng)，龔 懿，王 潔，嚴(yán)岳同，胡 璟

(1．揚(yáng)州大學(xué)水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009；2．宿遷水利樞紐管理局，江蘇 宿遷 223800；3．江蘇省洪澤湖水利工程管理處，江蘇 洪澤 223100)

近年來(lái)，隨著施工技術(shù)的不斷發(fā)展，在渠道工程設(shè)計(jì)中已由原來(lái)單一的梯形斷面向多元化形式發(fā)展[1]，拋物線形渠道以其斷面連續(xù)性好，易于計(jì)算和制作模型、水力及力學(xué)性能良好等優(yōu)點(diǎn)在渠道襯砌與防滲工程中逐漸得到應(yīng)用，其中以二次、立方和半立方拋物線形斷面最為常見，其斷面曲線方程的指數(shù)n分別為2、3和3/2。張麗偉和滕凱[2]、范子龍和趙明登[3]通過(guò)計(jì)算分別證明當(dāng)n=3.35時(shí)，對(duì)應(yīng)的最佳水力斷面為拋物線類渠道的最優(yōu)斷面，因而立方拋物線形斷面是最接近拋物線類渠道最優(yōu)斷面的一種常見的斷面形式。

以往在明渠斷面特征水深近似計(jì)算公式的推求過(guò)程中，通常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)人為地選取函數(shù)模型進(jìn)行逐次優(yōu)化擬合，對(duì)于一些線型復(fù)雜的曲線，適合的函數(shù)模型往往很復(fù)雜[4-7]，大大提高了模型尋找和求解的難度。為解決現(xiàn)有的立方拋物線形斷面收縮水深計(jì)算公式[8-12]精度不夠高的問(wèn)題，同時(shí)避免復(fù)雜擬合函數(shù)模型尋找過(guò)程中存在的盲目性，本文提出明渠特征水深計(jì)算的迭代逼近-逐次優(yōu)化擬合方法，擬通過(guò)迭代法和逐次優(yōu)化擬合方法的聯(lián)合運(yùn)用直接推求高次方程的近似解析解，建立一套高精度的直接計(jì)算公式，為明渠特征水深直接計(jì)算方法的研究提供有益的參考。

1 無(wú)量綱收縮水深基本方程

如圖1所示，立方拋物線形斷面的曲線方程為：

(1)

式中：a為立方拋物線形斷面的形狀參數(shù)，m-2。

圖1 立方拋物線形過(guò)水?dāng)嗝鍲ig.1 Cubic parabolic cross-section

根據(jù)水力學(xué)原理，由能量守恒方程推得的收縮水深基本方程為：

(2)

式中：E0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的過(guò)水建筑物上游總水頭，m；hc為收縮斷面處的水深，m；Q為過(guò)水流量，m3/s；g為重力加速度，通常取9.81 m/s2；φ為流速系數(shù)，一般取0.80～1.00；Ac為收縮斷面處的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，m2。

立方拋物線形渠道收縮斷面處過(guò)水?dāng)嗝婷娣e：

(3)

引入無(wú)量綱收縮水深x和無(wú)量綱參數(shù)k：

(5)

將式(3)、式(4)和式(5)代入式(2)并整理得：

(6)

式(6)即為關(guān)于立方拋物線形斷面無(wú)量綱收縮水深x的基本方程。實(shí)際工程中，可根據(jù)式(5)通過(guò)已知參數(shù)求得k值，但無(wú)法由k對(duì)x直接進(jìn)行求解。

2 直接計(jì)算公式的建立

2.1 迭代逼近-逐次優(yōu)化擬合方法

本文提出高次方程近似求解的迭代逼近-逐次優(yōu)化擬合方法，建立立方拋物線形斷面無(wú)量綱收縮水深的精確計(jì)算公式。對(duì)式(6)進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換，可得如下迭代公式[8,10,12]：

(7)

式中：x0為迭代初值；xi為x0經(jīng)i次迭代后得到的數(shù)值。

設(shè)迭代初值為x0，兼顧公式的精確性和簡(jiǎn)捷性，將其帶入式(7)連續(xù)迭代3次，整理得：

(8)

式(8)實(shí)質(zhì)上為一個(gè)迭代公式，在計(jì)算過(guò)程中需給定一個(gè)迭代初值計(jì)算公式由k計(jì)算x0的值，再將x0代入式(8)進(jìn)行迭代計(jì)算。故(1-x0)3/8、(1-x0)9/642項(xiàng)均為常量。將除k和1外的7個(gè)常量作為未知的擬合參數(shù)進(jìn)行逐次優(yōu)化擬合，根據(jù)式(8)可得如下擬合函數(shù)模型：

(9)

實(shí)際工程中，一般取無(wú)量綱收縮水深x∈[0.01,0.50][8-11]，每隔一定步長(zhǎng)在該區(qū)間內(nèi)給定一個(gè)x值，將其代入式(6)算得相應(yīng)的k值，以式(9)作為擬合函數(shù)模型，運(yùn)用Matlab 8.5軟件的Curve Fitting Toolbox工具箱對(duì)所得的計(jì)算點(diǎn)進(jìn)行逐次優(yōu)化擬合，參照各參數(shù)的初始值反復(fù)進(jìn)行參數(shù)率定，最終建立一套直接計(jì)算公式(擬合相關(guān)系數(shù)為1.000 0)。

(10)

2.2 現(xiàn)有的各類計(jì)算公式

目前相關(guān)水利專家學(xué)者共計(jì)提出5套立方拋物線形斷面收縮水深的直接計(jì)算公式[8-12]，均通過(guò)引入無(wú)量綱參數(shù)來(lái)計(jì)算收縮水深，其中趙延風(fēng)等[10]公式和滕凱[11]公式是拋物線類斷面收縮水深計(jì)算的通用公式，將n=3代入得到相應(yīng)于立方拋物線形斷面收縮水深計(jì)算的公式形式。各類計(jì)算公式具體見表1，其中λ、ψ、k′為計(jì)算過(guò)程中引入的中間變量，其他符號(hào)意義同前文所述。

3 誤差分析與精度評(píng)價(jià)

3.1 本文公式的誤差分析

為驗(yàn)證本文公式的精確性，在[0.01,0.50]區(qū)間內(nèi)以一定步長(zhǎng)選取不同的xi，以此作為無(wú)量綱收縮水深的精確值x*，將其代入式(6)算得與之相對(duì)應(yīng)的k值，將k作為已知參數(shù)代入式(10)，算得無(wú)量綱收縮水深的近似值x′，并根據(jù)式(11)計(jì)算相對(duì)誤差δ(保留至小數(shù)點(diǎn)后第6位數(shù)字)，計(jì)算結(jié)果見表2。即：

(11)

表2及進(jìn)一步計(jì)算結(jié)果表明，在工程適用范圍內(nèi)，式(10)的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值僅為0.117 592%。以0.000 1為步長(zhǎng)，計(jì)算式(10)相對(duì)誤差曲線在[0.01,0.50]區(qū)間內(nèi)的4 901個(gè)點(diǎn)的相對(duì)誤差，分別取絕對(duì)值之后計(jì)算其平均值，得式(10)的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值為0.056 328%，誤差小于0.1%的點(diǎn)占80.7%以上。本文將迭代逼近-逐次優(yōu)化擬合方法用于明渠特征水深計(jì)算，建立的直接計(jì)算公式在工程適用范圍內(nèi)的相對(duì)誤差均較小，具有很高的計(jì)算精度。

表1 現(xiàn)有的各類直接計(jì)算公式Tab.1 Presently available direct calculation formulae

表2 本文公式相對(duì)誤差分析Tab.2 Relative error analysis of the proposed formula

3.2 各類公式的精度評(píng)價(jià)

根據(jù)式(11)，用同樣的方法計(jì)算各類公式在[0.01,0.50]區(qū)間內(nèi)的相對(duì)誤差，并計(jì)算其最大相對(duì)誤差絕對(duì)值和以0.000 1為步長(zhǎng)的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值，計(jì)算結(jié)果見表3和圖2。其中，圖2繪制的是各直接計(jì)算公式和迭代初值計(jì)算公式的相對(duì)誤差分布圖，且略去相對(duì)誤差絕對(duì)值大于1%的部分。

表3 現(xiàn)有計(jì)算公式相對(duì)誤差Tab.3 Relative error analysis of the existing formulae

圖2 各類公式相對(duì)誤差分布圖Fig.2 Distribution curve of relative errors of the existing formulae

根據(jù)表3和圖2，當(dāng)x∈[0.01,0.50]時(shí)，式(10)的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值小于現(xiàn)有的5套直接計(jì)算公式，比冷暢儉等[8]公式、趙延風(fēng)等[10]公式和代述兵等[12]公式迭代1次的精度更高。本文提出的直接計(jì)算公式通過(guò)較小的計(jì)算量實(shí)現(xiàn)了立方拋物線形斷面收縮水深的精確計(jì)算，體現(xiàn)出迭代逼近-逐次優(yōu)化擬合方法在明渠特征水深計(jì)算中的優(yōu)越性。

4 應(yīng)用舉例

選用與文獻(xiàn)[8]、[9]相同的算例，已知某閘前斷面總水頭E0=15 m，通過(guò)渠道的流量Q=162 m3/s，流速系數(shù)φ=0.95，若采用立方拋物線形斷面渠道，其斷面曲線的方程為y=0.2|x|3，取重力加速度g=9.81 m/s2，求閘后斷面收縮水深hc的值(保留至10-6m)。

(1)計(jì)算無(wú)量綱參數(shù)k。將已知參數(shù)代入式(5)得：

(2)計(jì)算無(wú)量綱收縮水深的近似值x。將k值代入式(10)有：

(3)計(jì)算收縮水深hc。將x值代入式(4) 計(jì)算hc：

hc=xE0=0.200 162 760×15=3.002 441(m)

通過(guò)試算法求得本算例收縮水深的精確值為3.003 480 m，相對(duì)誤差僅為-0.035%，計(jì)算精度完全滿足實(shí)際工程應(yīng)用的要求。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出高次方程求解的迭代逼近-逐次優(yōu)化擬合方法，通過(guò)迭代算法和逐次優(yōu)化擬合方法的聯(lián)合運(yùn)用直接推求高次方程的近似解析解，并將其運(yùn)用于明渠特征水深的計(jì)算，建立了一套立方拋物線形斷面收縮水深的高精度計(jì)算公式，在工程適用范圍內(nèi)其最大相對(duì)誤差絕對(duì)值小于0.118%，較好地彌補(bǔ)了現(xiàn)有的各類直接公式及迭代初值計(jì)算公式精度不夠高的問(wèn)題，且計(jì)算較為簡(jiǎn)便，不需要通過(guò)反復(fù)的迭代過(guò)程提高計(jì)算精度。立方拋物線形斷面明渠水力條件較優(yōu)，本文直接計(jì)算公式的提出，可為該類渠道的設(shè)計(jì)和運(yùn)行管理提供有益的參考。

本文提出的迭代逼近-逐次優(yōu)化擬合方法具有一定的理論創(chuàng)新意義，通過(guò)迭代逼近的過(guò)程建立合適的擬合函數(shù)模型，參考各擬合參數(shù)的初始取值進(jìn)行參數(shù)率定可保證參數(shù)求解過(guò)程的收斂，為高次方程的近似求解提供了一條新的思路，對(duì)各類斷面明渠及隧洞的特征水深計(jì)算有一定的實(shí)用參考價(jià)值。在今后的研究中，需進(jìn)一步考慮如何通過(guò)迭代逼近的過(guò)程較好地建立擬合函數(shù)模型，以及如何合理地選取擬合參數(shù)用于曲線擬合，從而提高計(jì)算精度。

□

致謝：感謝揚(yáng)州大學(xué)水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院院長(zhǎng)程吉林教授和副院長(zhǎng)吉慶豐教授在論文寫作過(guò)程中給予的悉心指導(dǎo)和幫助。

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