摘要：數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維方面具有其他學(xué)科不可比肩的作用，發(fā)散思維是創(chuàng)新思維的主要部分，一題多解與一題多變是培養(yǎng)發(fā)散思維的主要方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；發(fā)散性思維

作者簡(jiǎn)介：劉錦發(fā)（1969-），男，福建省武平縣人，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)教學(xué)研究.心理學(xué)家吉爾福特說過“人的創(chuàng)造力主要依靠發(fā)散思維，它是創(chuàng)造性思維的主要部分”，新課程標(biāo)準(zhǔn)要求通過新課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，因此，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維就成了重中之重的任務(wù).

一、一題多解培養(yǎng)發(fā)散思維

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果或把同一條件下隱含的結(jié)果都找出來.數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還要求發(fā)展學(xué)生的能力，培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣.在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的過程中，適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

在幾何學(xué)習(xí)中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)往往導(dǎo)致圖形的變化與結(jié)論的變化.

例1如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長(zhǎng)為.

解析根據(jù)題意，若△CDB′恰為等腰三角形需分三種情況討論：

1）如圖1-1，DB′=DC時(shí)，則DB′=16（易知點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C、B重合）；

2）如圖1-2，當(dāng)CB′=DB′時(shí)，作BG⊥AB與點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H.

∵AB∥CD，∴B′H⊥CD，

∵CB′=DB′，∴DH=12CD=8，∴AG=DH=8

∴GE=AG-AE=5，

在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH-B′G=4.

在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′=45.

（3）當(dāng)CB′=CD時(shí)，∵EB=EB′，CB=CB′∴點(diǎn)E、C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去.

綜上所述，DB′=16或45.

從不同角度去思考問題，尋求解決問題的辦法，也是培養(yǎng)發(fā)散思維的有效途徑.

例2油桶包油重800克，用去一半油后油桶包油重450克，問油有多少克？

思路一從油的角度出發(fā)，設(shè)油x克，則由800-12x=450，解得x=700（克）.

思路二從桶的角度出發(fā)，設(shè)桶x克，則12（800-x）+x=450，解得x=100克，故油重為800-100=700（克）.

二、一題多變培養(yǎng)創(chuàng)新思維

教學(xué)中，立足于某一些基本條件，結(jié)合相關(guān)模塊知識(shí)把條件或結(jié)論適當(dāng)改變，變成新情景或新問題，要求我們能夠立足基礎(chǔ)，結(jié)合實(shí)際，調(diào)動(dòng)思維，擴(kuò)大思考范圍，我們習(xí)慣稱為一題多變.一題多變是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性與深刻性的重要手段，能使學(xué)生思維更具發(fā)散性.因此，在教學(xué)中要挖掘題目潛能，適當(dāng)改造一些題目以拓寬學(xué)生思路、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生探究能力

例3如圖2-1，已知，RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE平分∠BCD，求證：AE2=AD·AB.

解析∵△ABC是RT△，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D.

∴∠ACD=∠B，AC2=AD·AB.

∵CE平分∠BCD.

∴∠DCE=∠ECB.

∴∠ACD+∠DCE=∠B+∠ECB.

∴AC=AE∴AE2=AD·AB.

變式一如圖2-2，已知，RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交BC于E，求證：CE∶EB=CD∶CB.

解析∵△ABC是RT△，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D.

∴△ACB∽△ADC，從而AC∶AB=CD∶BC.

∵AE平分∠BAC交BC于E.

∴AC∶AB=CE∶EB.

∴CE∶EB=CD∶CB.

變式二如圖2-3，已知，RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠DCB=∠BCE，求證：BD∶DA=CE2∶AE2.

解析∵△ABC是RT△，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D.

∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA，

∴證明BD∶DA=CE2∶AE2可轉(zhuǎn)化成證明BC2∶AC2=CE2∶AE2，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成證明BC∶CE=AE∶AC.

∵∠A=∠BCD.∠E是△EBC和△ECA的公共角 ∴△EBC∽△ECA.

∴BC∶CE=AE∶AC.

∴BD∶DA=CE2∶AE2.

一題多變不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)遷移能力，還可以大大擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)容量，經(jīng)常做這種訓(xùn)練，不僅可以提高學(xué)生思維質(zhì)量，還可以培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)難題的良好的從容心態(tài)，也是一種良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).

總之，在教學(xué)中多進(jìn)行發(fā)散性思維訓(xùn)練，不只可以讓學(xué)生掌握更多的解題方法，重要的是培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的解題思路、提高教育教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)立下基礎(chǔ).

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