葛 軍

高考數(shù)學(xué)幾個(gè)基本問題的再認(rèn)識(shí)

葛 軍

要想輕松應(yīng)對(duì)高考數(shù)學(xué)，需要反思幾個(gè)基本問題。教師應(yīng)當(dāng)對(duì)高考的屬性有所認(rèn)識(shí)，仔細(xì)研讀考試說明，指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容，從“四識(shí)”的角度研讀經(jīng)典題型，對(duì)基本知識(shí)與技能達(dá)到“熟與細(xì)”的境界。

高考數(shù)學(xué)；應(yīng)考分析；教學(xué)反思

縱觀現(xiàn)今高考數(shù)學(xué)的教與學(xué)，我們看到高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)并未減輕，而且近年來總有“好心人”借用我的名義談?wù)撊绾螒?yīng)對(duì)高考，因此，我覺得有必要再與大家共同探討高考數(shù)學(xué)的幾個(gè)基本問題:高考考什么？我們當(dāng)前在高考數(shù)學(xué)教與學(xué)中缺失的是什么？學(xué)生雖然做了大量的習(xí)題但見效不大的根源在哪兒？能否做到輕松迎考？

一、高考數(shù)學(xué)考試是屬于選拔性的考試還是結(jié)業(yè)考試？

要回答上面的諸多問題，首先需認(rèn)識(shí)清楚高考數(shù)學(xué)考試是屬于選拔性的考試還是結(jié)業(yè)考試。若是后者，僅需設(shè)定一個(gè)達(dá)標(biāo)分?jǐn)?shù)線，至多再設(shè)一個(gè)“A”等第。當(dāng)然也可以不設(shè)“A”等第，因?yàn)闇y(cè)試的是每個(gè)學(xué)生是否符合高中三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求，這樣的測(cè)試不需要在意區(qū)分度。若是選拔性考試，則需要側(cè)重于區(qū)分度，且要設(shè)計(jì)相對(duì)合理的階梯式區(qū)分要求。倘若既是結(jié)業(yè)考試又是選拔性考試，即兩者兼顧，則首先需要貫徹區(qū)分度。因?yàn)椋绻粚^(qū)分度放在首位，會(huì)出現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可能都較高，但因平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平不太高，導(dǎo)致學(xué)生不適應(yīng)高要求的大學(xué)學(xué)習(xí)的狀況，這樣反而損傷了此類學(xué)生向上發(fā)展的趨向。因此，我希望大家對(duì)這個(gè)問題必須要有一個(gè)清醒而明確的認(rèn)識(shí)。

二、高考數(shù)學(xué)考什么？怎樣考？

當(dāng)有人說在“擼袖”搞高考數(shù)學(xué)應(yīng)試時(shí)，我總以為大家懂得應(yīng)試，即應(yīng)對(duì)考試。所謂應(yīng)對(duì)考試就是針對(duì)高考必考的知識(shí)點(diǎn)與方法進(jìn)行有針對(duì)性和有效性的訓(xùn)練。但在多次的交流中 我發(fā)現(xiàn)，不少人將“應(yīng)試”一詞曲解了，曲解為反復(fù)地、大量地做練習(xí)（不需要考慮練習(xí)題質(zhì)量的），曲解為搞“猜題押寶”等不恰當(dāng)活動(dòng)。

其實(shí)，對(duì)照江蘇省高中數(shù)學(xué)的教學(xué)要求以及考試說明，是容易知道相關(guān)考試內(nèi)容的難度要求的。例如，填空題前6題，大概覆蓋了集合基本運(yùn)算、簡(jiǎn)單概率計(jì)算、統(tǒng)計(jì)知識(shí)（樣本關(guān)系、直方圖）、復(fù)數(shù)運(yùn)算、流程圖、函數(shù)基本性質(zhì)（單一性質(zhì)的理解）、立體幾何中的體積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)。再如，解答題的第15題、第16題一定是簡(jiǎn)單的基本題，且依據(jù)考試要求，其中的立體幾何題也是容易題，是期望所有的考生可以準(zhǔn)確解答的問題。

如果仔細(xì)分析近年來考卷的問題設(shè)定特點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)文理合卷160分的試題難度可以分為五級(jí)，第一級(jí)難度題是填空題的第1至第6題；第二級(jí)難度題是填空題的第7至第9題，解答題的第15題、第16題；第三級(jí)難度題是第10和11題，解答題的第17題；第四級(jí)難度題是第12、13題，第18題；第五級(jí)難度題是第14題，第19和20題，這里是從題目的整體性來說的。需要特別指出的是:第18題的前一半的問題、第19題與第20題中第一問的難度僅是第三級(jí)難度，一般僅需認(rèn)真讀題，將題干中的基本數(shù)據(jù)代入便可得到解答。我在這里列出這樣的粗淺認(rèn)識(shí)，只是想引發(fā)大家分析理解近年來的考卷，做到心中有數(shù)，有的放矢，我的認(rèn)識(shí)并非完全合理，但可以作為參考，去指導(dǎo)不同的學(xué)生形成各自的答卷策略，以利于有效的高考應(yīng)試（如:“先做會(huì)做的”“會(huì)做的一定要做對(duì)”），并取得最優(yōu)的結(jié)果。

三、高考數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著三大問題

首先，教材不知在何處。因近年來“學(xué)案”的大力推行，有些學(xué)生高中三年未將教材完整讀過一遍，書上定理公式未親自證過一遍，例題未做過一遍并對(duì)照規(guī)范解答驗(yàn)視一遍，書上練習(xí)、習(xí)題未做過一遍；到了高三本應(yīng)將上述“四個(gè)一遍”再做一遍的，可事實(shí)上這些學(xué)生卻將教材束之高閣，而做起了所謂的高考復(fù)習(xí)題。有的學(xué)生對(duì)教材不熟悉，一旦考不好，不是反思自己的學(xué)習(xí)方式，而是將怨氣撒到教材上，因此就有了燒教材的壞現(xiàn)象。

其次，心中無“經(jīng)典”。若去問學(xué)生，請(qǐng)他回憶一道必考型的立體幾何證明題，不少學(xué)生未必可以順暢地說出。但愿高三數(shù)學(xué)教師是能夠順暢地說出一些題的。有的學(xué)生對(duì)經(jīng)典題型的漠視已經(jīng)到了麻木無知的地步，但同時(shí)又陷入了大量的“新題”題海之中，陷入了在一些“專家”的誤導(dǎo)之下追覓語義不詳、邏輯錯(cuò)誤、人為拼湊的“創(chuàng)新”題中。若問學(xué)生，是否做過以往的高考題？一部分學(xué)生回答是做了，一部分回答是考過的題不是不考嗎，這還要做？若問:這樣的題做了幾遍？回答是一遍。還能回憶這些題是什么樣子嗎？得到的答案是記不得了。于是，我再無勇氣追問諸如“有幾種解法？”“涉及到哪些知識(shí)點(diǎn)？”“每個(gè)解法是如何想到的？”“是書上哪兩三道基本題整合而成的？”等等問題了。古人云，一事習(xí)得三遍熟！可懂得這樣道理的教師和學(xué)生卻不見得有很多。

最后，教師教學(xué)偏重題量而忽視“四識(shí)”。有的教師熱衷于讓學(xué)生大量地“認(rèn)”題目，而缺乏熱情引導(dǎo)學(xué)生去“識(shí)”題目。教師的教學(xué)本應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生至少達(dá)成“四識(shí)”:一識(shí)規(guī)范解答；二識(shí)求解解法，這里所說的解法一定是基本的解法，不是人為刻意牽強(qiáng)的解法，這樣學(xué)生可以從中選擇適合自己的解法加以鞏固；三識(shí)解題關(guān)鍵、知識(shí)與方法；四識(shí)題是從哪里來的，或者說這道題是怎樣生成的，即要知道這一道題的變化，并進(jìn)一步思考一般化的問題又該如何解決。雖然“讓學(xué)生多認(rèn)些題”的初衷是好的，但是凡不在“識(shí)”的層面上的“認(rèn)”，都只是暫時(shí)記憶的（甚至是瞬時(shí)的），是靠不住的，會(huì)讓學(xué)生吃盡題海的苦頭。更為可怕的是，學(xué)生在經(jīng)歷了“怪題”（乃至“錯(cuò)題”）的不良刺激后，難以分得清“怎樣的題才是高考題”，久而久之，出現(xiàn)了猜題押寶的消極心態(tài)，也就不足為怪了。

四、時(shí)下復(fù)習(xí)在乎“熟與細(xì)”

我們都知道一個(gè)道理:一道題做“透”了，要遠(yuǎn)勝于做一百道題；判斷一個(gè)數(shù)學(xué)題是否是優(yōu)質(zhì)題，其標(biāo)準(zhǔn)是看它能否衍化出新類型的題來。但是，道理雖懂，我們卻未能落實(shí)到位。所謂落實(shí)到位就是努力精進(jìn)，做到“熟與細(xì)”的地步。這里的“熟”，是指能用多種方式表述基本知識(shí)，能夠舉出若干容易的例子來說明基本方法的運(yùn)用；對(duì)多種基本思路、基本解法都能明了于心。所謂的“細(xì)”，是指對(duì)于“簡(jiǎn)單的性質(zhì)、定理、例題、問題”的基本思路、基本環(huán)節(jié)需明晰，對(duì)基本過程的每一步表達(dá)都清楚、明白。要達(dá)到“熟、細(xì)”，需要不忘初心，回歸到關(guān)注經(jīng)典題，做到題題有“四識(shí)”，步步有細(xì)節(jié)。

對(duì)于這道題目，一識(shí)正確解答，每個(gè)計(jì)算環(huán)節(jié)都應(yīng)準(zhǔn)確無誤。二識(shí)三種基本解法，解法一是代數(shù)解法、運(yùn)算較繁；解法二可以利用平行性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)之間的代數(shù)關(guān)系，運(yùn)算簡(jiǎn)捷；解法三可以利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角運(yùn)算。三識(shí)基本知識(shí)與方法，本題包含的基本知識(shí)與方法有二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、兩根之差與系數(shù)的關(guān)系、整體運(yùn)算、參數(shù)方程、三角運(yùn)算、平行線性質(zhì)等。四識(shí)習(xí)題的本質(zhì)，此題本質(zhì)是直線與二次曲線的關(guān)系，解題中需要兩次思考這樣的關(guān)系，學(xué)生需要有“同理”的思維意識(shí) （“同理”的思維意識(shí)是必考的）。關(guān)于此題的一般性思考有:是否在其他頂點(diǎn)都有類似的結(jié)論？若是不過頂點(diǎn)，而是經(jīng)過x軸上一點(diǎn)的直線，結(jié)論如何呢？反過來呢，即滿足結(jié)論的直線有幾條？等等。在此思考的過程中，就可以產(chǎn)生新的有意義的試題了。上述的解析幾何題，可以認(rèn)為是高考解析幾何中中檔偏上難度的問題。

再如，一道經(jīng)典的函數(shù)題:設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2，（Ⅰ）若 a=0，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)x≥0 時(shí) f（x）≥0，求 a 的取值范圍。

對(duì)于這道題目，一識(shí)此題的解答:（Ⅰ）a=0時(shí)，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。當(dāng) x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng) x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0。 故 f（x）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加。 （Ⅱ）f′（x）=ex-1-2ax，由（Ⅰ）知 ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)等號(hào)成立，故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而當(dāng) 1-2a≥0，即 a≤時(shí)，f′（x）≥0（x≥0），而 f（0）=0。于是當(dāng) x≥0 時(shí)，f（x）≥0。 由 ex＞1+x（x≠0）可得，當(dāng) a＞時(shí)，f′（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=ex（ex-1）（ex-2a），故當(dāng) x∈（0，ln2a）時(shí)，f′（x）＜0，而 f（0）=0，于是當(dāng) x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）＜0。綜合得a的取值范圍為（-∞，］。

二識(shí)此題的第二種基本解法，即對(duì)函數(shù)g（x）=f′（x）=ex-1-2ax 求導(dǎo)，即 g′（x）=ex-2a（x≥0），這里g（0）=0，接著通過 g′（x）的正負(fù)性推得 g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到 g（x）的正負(fù)性，從而推得 f（x）的正負(fù)性（讀者可以嘗試寫出此解法的完整解答）。

三識(shí)基本知識(shí)與方法。在此題解答的過程中，利用了基本不等式ex≥1+x，這是高考必考的知識(shí)點(diǎn)，在解法一中運(yùn)用此不等式進(jìn)行了估算，將-x用e-x-1來放縮，這是一個(gè)基本的代換手法。在解法二中，認(rèn)識(shí)到導(dǎo)函數(shù)依然是一個(gè)新的函數(shù)，可以繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)，從而逐步逆推得到答案。連續(xù)求兩次導(dǎo)數(shù)，這也是高考函數(shù)解答題中要求的，熟悉這兩個(gè)解法，就可以把握高考中此類問題了。

四識(shí)此類題的變化，如在2017年的江蘇考試說明中類似的問題，除了復(fù)雜性以外，其基本思路是相同的。

限于篇幅，僅給出上述兩例，權(quán)當(dāng)拋磚引玉。教師和學(xué)生只要“熟、細(xì)”解答與題根，掌握變化的道理和思路，就可以堅(jiān)定信心，坦然面對(duì)各類變化，展現(xiàn)所學(xué)，輕松迎考。

G633.6

A

1005-6009（2017）35-0020-02

葛軍，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)（南京，210003）校長(zhǎng)，教育學(xué)博士，南京師范大學(xué)兼職教授，碩士生導(dǎo)師。