廣東廣雅中學(xué)(510160) 賴淑明 吳新華

例談高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的策略與功能

廣東廣雅中學(xué)(510160) 賴淑明 吳新華

1.提出問題和解決問題

數(shù)學(xué)變式就是從不同視角把握問題的本質(zhì),在變與不變中明辨問題的本質(zhì)的一種解決問題的方式.數(shù)學(xué)是抽象而邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科,變式能呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯與思維,反映數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),因而變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教師在課堂上常用的教學(xué)形式之一.而合理的變式設(shè)置,會啟發(fā)學(xué)生追根溯源,使學(xué)生的反思成為主動而迫切的行為,提高學(xué)生的思維品質(zhì).

橢圓的教學(xué)是圓錐曲線教學(xué)的難點(diǎn),學(xué)生在橢圓的學(xué)習(xí)過程中普遍感覺知識點(diǎn)多而雜.此外,平面幾何知識在思維突破上沒有代數(shù)問題的客觀具體,也沒有立體幾何的直觀形象,學(xué)生難以捉摸和掌握.如果合理進(jìn)行變式的設(shè)置,可以實現(xiàn)從直線與圓的問題的遷移到橢圓問題,深化對橢圓知識的理解.在合理的變式引導(dǎo)下,學(xué)生對橢圓的探索逐步升級,思考逐層深入,最終能夠挖掘到問題的根源.

1.1概念引入的變式,反思概念的本質(zhì)和拓展

問題1:請回憶高中課本中圓的定義.

一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離為定值,這個定點(diǎn)的軌跡為圓.

思考:一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值(不等于1),這個動點(diǎn)的軌跡是什么?這是著名的阿波羅尼圓的定義.

變式1:一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值,這個動點(diǎn)的軌跡是什么呢?這個動點(diǎn)的軌跡是橢圓.

由“一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離”問題,到“一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離”問題,通過變式,逐步探究,引出橢圓的定義.既有由已學(xué)的二次曲線定義進(jìn)行承上啟下,也有類比阿波羅尼圓的定義,加深對橢圓定義的認(rèn)識.變式引入的過程,使橢圓的定義有了參照系:阿波羅尼圓,同時阿波羅尼圓的定義和橢圓定義的相似性,又會啟發(fā)學(xué)生思考如下問題:

變式2:一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之差為定值,這個動點(diǎn)的軌跡是什么呢?

當(dāng)定值＜|F1F2|,動點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支.

變式3:一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之積為定值,這個動點(diǎn)的軌跡是什么呢?動點(diǎn)的軌跡為卡西尼卵形線.

1.2概念辨析的變式,反思概念的內(nèi)涵和外延

問題2:設(shè)F1,F2為定點(diǎn),|F1F2|=6,動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=10則動點(diǎn)M的軌跡是____

變式2:設(shè)F1(?3,0),F2(3,0),動點(diǎn)M滿足|PF1|+|PF2|=6,則動點(diǎn)M的軌跡方程是___

反思1:“一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和為定值”有幾種表達(dá)方式?

嘗試請學(xué)生列舉自己知道的表達(dá)方式,通過反思引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)符號化.

反思2:橢圓定義的關(guān)鍵點(diǎn)是什么?

定值要大于兩定點(diǎn)間的距離,即2a＞2c;若定值等于兩定點(diǎn)間的距離,即2a=2c,則軌跡不是橢圓,而是一條線段.若定值小于兩定點(diǎn)間的距離,即2a＜2c,則軌跡不存在.

1.3概念應(yīng)用的變式,啟發(fā)反思概念的等價性和轉(zhuǎn)化

問題3:已知動圓P過定點(diǎn)A(?3,0),并且在圓F：(x?3)2+y2=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切,試求動圓圓心P的軌跡方程.

圖1

變式1:已知M是以點(diǎn)C為圓心的圓(x+1)2+y2=8上的動點(diǎn),定點(diǎn)D(1,0).線段DM的中垂線CM交于N,交DM于P,求動點(diǎn)N的軌跡方程.

變式2:設(shè)圓x2+y2+2x?15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.寫出點(diǎn)E的軌跡方程.

變式3:已知圓C1：(x?4)2+y2=169,圓C2：(x+4)2+y2=9,動圓C與圓C1內(nèi)切同時與圓C2外切,求動圓圓心的軌跡方程.

以上問題,借助變式,引導(dǎo)學(xué)生在各個不同的平面幾何關(guān)系中,發(fā)現(xiàn)橢圓定義,加深對橢圓定義的理解.反思,動圓和定圓相切的問題,動圓中半徑的中垂線問題等,都可以構(gòu)造動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和為定值.那么,除了以上的問題,我們還可如何構(gòu)造橢圓的軌跡?引發(fā)學(xué)生對軌跡問題的等價轉(zhuǎn)化的進(jìn)一步思考.

1.4深化概念的變式,啟發(fā)反思概念的多種結(jié)構(gòu)和規(guī)律

借助變式教學(xué),拓展課本的例題,反思,把例題的結(jié)論一般化,歸納出橢圓的第二種定義:橢圓的第二種定義:一個動點(diǎn)M到一個定點(diǎn)的距離,與該點(diǎn)到一條定直線的距離的比為定值e,當(dāng)0＜e＜1時,點(diǎn)M的軌跡為橢圓.

思考2:變式1的逆命題是否成立?

借助變式教學(xué),進(jìn)一步探索橢圓的第二定義的逆用,反思,獲得橢圓第二定義的性質(zhì)定理,如變式2和變式3的結(jié)論.

借助變式教學(xué),拓展課本的例題,反思,把例題的結(jié)論一般化,歸納出橢圓的第三種定義:

思考2:變式1的逆命題是否成立?

思考3:變式2中兩個定點(diǎn)A(?a,0),B(a,0)是否可以換成橢圓上的其它點(diǎn)?

借助變式教學(xué),進(jìn)一步探索橢圓的第三定義的逆用,反思,獲得橢圓第三定義的性質(zhì)定理,即變式3的結(jié)論.

變式逐層遞進(jìn),探索逐級上升,反思漸入佳境,對橢圓第三定義性質(zhì)定理進(jìn)行拓展,我們獲得橢圓的中點(diǎn)弦定理,即變式4的結(jié)論.

通過概念變式的逐層深化,概念多種形式、多種命題的反復(fù)轉(zhuǎn)換,啟發(fā)學(xué)生反思概念的多種結(jié)構(gòu)和規(guī)律,對概念有更綜合和全面的理解.運(yùn)用類比學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生在后續(xù)雙曲線的學(xué)習(xí)中探索雙曲線多維度的定義及性質(zhì).

2.深化問題和拓展問題

在多種橢圓問題解決中合理設(shè)置變式,進(jìn)一步推動學(xué)生主動反思,形成能力.

2.1一個問題多種表征,反思問題的本源

例如:考查橢圓與以F1F2為直徑的圓的位置關(guān)系的題型,很值得深入研究.

如果學(xué)生不能實現(xiàn)不同問題表征之間的相互轉(zhuǎn)化,就不能達(dá)到解決一道題,理解一類題的目的.因此教師在教學(xué)過程中,借助變式呈現(xiàn)一類題的不同表征,有利于學(xué)生認(rèn)識、辨別問題的異同,反思問題的本源,逐步提高數(shù)學(xué)理解能力,形成數(shù)學(xué)修養(yǎng).

2.2一類問題多種載體,反思問題的遷移

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題,就是將軍飲馬問題:詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的點(diǎn)A(1,1)出發(fā),走到河邊(河流所在位置x+2y+2=0)飲馬后,再到點(diǎn)F(4,0)宿營,請問怎樣走才能使總的路程最短?

問題7:已知點(diǎn)A(1,1)、F(4,0),P為直線l：x+2y+ 2=0上的動點(diǎn),求|PA|+|PF|的最小值.

從問題的引入,到問題的變化,呈現(xiàn)了同類問題在不同載體中的變化,學(xué)生在問題生成的過程中,會不自覺地思考,在后續(xù)的學(xué)習(xí)中,河流是否也同樣可以變成雙曲線和拋物線呢?解決將軍飲馬問題的關(guān)鍵是:借助點(diǎn)關(guān)于直線對稱轉(zhuǎn)換研究的距離,再結(jié)合“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”求得最值.而當(dāng)河流改變?yōu)榍€之后,則借助曲線定義轉(zhuǎn)換研究的距離,再結(jié)合“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”求得最值.如果河流變?yōu)殡p曲線或拋物線時,是否可以同理推廣?變式的過程實現(xiàn)問題的階梯式上升,達(dá)到深化對問題求解過程的認(rèn)識和反思.

2.3一種方法解決多種問題,反思問題的通法

點(diǎn)差法,是解決直線與橢圓問題的一個重要方法.從表面上看,點(diǎn)差法適用于解決與弦所在直線的斜率及弦的中點(diǎn)相關(guān)的問題.但,亦有很多看似不是中點(diǎn)弦問題,實質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦的問題.如橢圓上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的問題,又如橢圓內(nèi)接等腰三角形問題等.

不同問題,本質(zhì)一致.借助變式教學(xué),讓學(xué)生體會點(diǎn)差法在看似不同的問題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光研究問題,反思如何關(guān)聯(lián)問題的各個條件,實現(xiàn)條件的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化,達(dá)到對解題方法由點(diǎn)到面的發(fā)散,形成學(xué)生自身認(rèn)知系統(tǒng)對基礎(chǔ)知識和典型方法的網(wǎng)絡(luò)框架.

3.基本結(jié)論

變式教學(xué)是動態(tài)變化的教學(xué)過程,有效、準(zhǔn)確、生動的變式能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),反思數(shù)學(xué)方法及原理,探索數(shù)學(xué)問題的求解.變式教學(xué)貫穿始終的橢圓教學(xué),反思成為教學(xué)課堂上的常態(tài),這對促進(jìn)學(xué)生研究橢圓的本質(zhì),構(gòu)建圓錐曲線良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),駕馭解析幾何問題有著重要意義,也為后續(xù)其它曲線的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

變式教學(xué)思維過程,檢查得失,加深對數(shù)學(xué)原理、解法的認(rèn)識,聯(lián)系以往知識中有共同本質(zhì)的東西,概括出帶有普遍性的規(guī)律,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,提高學(xué)生的思維品質(zhì),努力培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力,全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).這是我們教學(xué)的不懈追求.

[1]劉雪穎.橢圓的變式教學(xué)研究[D].湖北:華中師范大學(xué),2015.5

[2]李錦旭王.樹運(yùn).從兩道高考試題的背景說起[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2012(8)

[3]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)[M].人民教育出版社2005