江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)(211200) 徐茂炳

2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)卷第19題閱卷感悟

江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)(211200) 徐茂炳

一、背景分析

筆者參加了2015年江蘇高考數(shù)學(xué)閱卷,試題的解法、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、考生的錯(cuò)誤引發(fā)了筆者對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一點(diǎn)思考.所閱的是數(shù)學(xué)卷第19題,閱卷結(jié)果如下表：

得分_ __0分_ __1分_ __2分_ __3分__ _4分_ __5分比例_ _23.25_ __1.73_ __5.56_ __1.59__ _9.85_ __4.81得分_ __6分_ __7分_ __8分_ __9分__ _10分_ _11分比例_ _33.13_ __2.35_ __4.68_ __3.72__ _4.24_ __1.31得分_ _12分_ _13分_ _14分_ _15分_ _16分_ _難度比例_ __1.01_ __0.44_ __0.57_ __0.74__ _1.00__ _0.298

在閱卷之余,筆者思考面對(duì)這樣的答題情況,教師該如何教學(xué)?由此,我對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行了分析,對(duì)學(xué)生所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行了歸納,并總結(jié)出教學(xué)啟示“基礎(chǔ)牢、審題清、用通法、‘分’點(diǎn)明、計(jì)算準(zhǔn)、步驟精”,以期為我們的教學(xué)提供借鑒和幫助.(本題難度系數(shù)0.298)

二、試題回顧

(2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)第19題,本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)

(1)試討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若b=c-a(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是,求c的值.

知識(shí)與能力要求 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)問題,第(2)問具有一定的新穎性與挑戰(zhàn)性,涉及逆向思維與“恰好成立”問題,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及代數(shù)推理能力.

命題思路及特色 本題以考生熟悉的三次函數(shù)為背景,使大多數(shù)考生都能入手,考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和運(yùn)算求解能力.本題反向提出問題,解決“恰好成立”問題,既要利用“兩邊夾”思想,先求出c的值,又要代入驗(yàn)證,確保c的值滿足“恰好成立”.雖然題面表述簡(jiǎn)潔,但是思維量較大.

解題思路 (1)利用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)號(hào),討論函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性;(2)利用三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)應(yīng)具備的特性,結(jié)合三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍,確定c的取值范圍;(3)根據(jù)所得c的取值范圍,討論三次函數(shù)是否確實(shí)有三個(gè)零點(diǎn),在保證恰好成立的前提下,最終得到所求c的值.

三、考生出現(xiàn)的錯(cuò)誤及其分析

2.第一問考查單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間不能用∪連接,f(x)單調(diào)遞增不交代區(qū)間不對(duì)(扣2分).但是結(jié)論下錯(cuò)了,表格列對(duì)了不扣分.所以導(dǎo)數(shù)題最好列表;

4.因?yàn)樵u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是按步給分,一般一個(gè)得分點(diǎn)2分,多一個(gè)步驟得2分.因此考試過程中只要時(shí)間允許,一定要寫到?jīng)]得寫為止,比如一步2分共4分,不少考生認(rèn)為后面不會(huì)做了,所以第二步2分沒得到;

5.求導(dǎo)不正確,導(dǎo)數(shù)求錯(cuò)或f′(x)=0解出錯(cuò)(常見錯(cuò)誤答案) ,平時(shí)教學(xué)中,一定要重視概念、公式、定理的教學(xué),基本知識(shí)是“三基”的根本;

6.審題要認(rèn)真,準(zhǔn)確完整地捕捉題目中的信息是解題的關(guān)鍵,平時(shí)教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)很多時(shí)候?qū)W生會(huì)把錯(cuò)誤歸結(jié)到“看錯(cuò)了”.如的解集為當(dāng)作x的范圍,第一問有許多同學(xué)將單調(diào)性誤讀為奇偶性(有一人是0分+10分);

7.特殊到一般的思想方法,猜出答案的重要性,只要能得到答案c=1(得4分);

8.有些考生利用變量分離研究交點(diǎn)個(gè)數(shù),由x3+ax2+ c -a = 0可知(解不出來).變量分離研究交點(diǎn)個(gè)數(shù)確實(shí)是比較有效的方法,前提是分離后的函數(shù)我們一定要能作圖,其實(shí)就是把一個(gè)復(fù)雜的圖變?yōu)閮蓚€(gè)簡(jiǎn)單的圖研究;

10.函數(shù)的零點(diǎn)式可以補(bǔ)充給學(xué)生(說清楚即滿分) ;

教學(xué)過程中有些內(nèi)容課本進(jìn)行了淡化或者刪除,但是為了知識(shí)的完整性和后續(xù)學(xué)習(xí)的需要,我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充.如三次函數(shù)的零點(diǎn)式、三垂線定理(分析問題)、數(shù)量積(投影)、橢圓的第三定義、阿波羅尼斯圓等.

圖1

四、復(fù)習(xí)和教學(xué)建議

1.夯實(shí)基礎(chǔ)是永恒,突出主干知識(shí)是根本,理解記憶是保障

在高考卷中基礎(chǔ)題和中檔題所占比例最重,然而,通過閱卷發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基礎(chǔ)能力的訓(xùn)練方面非常薄弱,主干知識(shí)中的定理?xiàng)l件不清,公式記錯(cuò)等錯(cuò)誤比比皆是.所以在教學(xué)過程中要夯實(shí)基礎(chǔ),突出主干知識(shí)落實(shí),狠抓學(xué)生的記憶.教師要重視探究概念的形成過程,重視公式定理推導(dǎo)的過程.對(duì)重要的概念、公式反復(fù)強(qiáng)調(diào),加深學(xué)生的記憶和理解.

2.通性通法是主流,淡化技巧是趨勢(shì),規(guī)范答題是追求

從高考試題中可以明顯看出,高考重視對(duì)通性通法的考查.現(xiàn)在高考命題的一個(gè)原則就是淡化特殊技巧.因此指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)中,不要刻意追求特殊解法,要更多地注重思考題目的“核心”是什么,屬于哪類題.閱卷過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生會(huì)做不會(huì)寫,在平時(shí)的教學(xué)中要幫助學(xué)生規(guī)范答題,明確題目的通性通法的得分點(diǎn)和解題步驟,要求學(xué)生按得分點(diǎn)、步驟書寫,嚴(yán)格訓(xùn)練.

3.扎實(shí)提升“運(yùn)算”和“推理”能力

就高考而言,可以說運(yùn)算準(zhǔn)確、合理、迅速是取得好成績(jī)的關(guān)鍵.面對(duì)數(shù)、代數(shù)式的基本運(yùn)算,能敏銳察覺算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),做到心算、估算、假算相結(jié)合;至于復(fù)雜的運(yùn)算,則重在“算法”的設(shè)計(jì),實(shí)際上“運(yùn)算錯(cuò)誤”不僅是技能不過關(guān),更主要的是算法不好.教師要有意識(shí)地進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練的同時(shí)做到以下幾點(diǎn)：一是教師要充分發(fā)揮示范、引領(lǐng)、指導(dǎo)的作用,能詳細(xì)、規(guī)范書寫解題的推算過程,并對(duì)運(yùn)算細(xì)節(jié)做必要的解釋與說明;二是對(duì)讓學(xué)生上臺(tái)板演,相互比較“算法”的優(yōu)劣;三是杜絕計(jì)算器的使用;四是對(duì)于認(rèn)為會(huì)做的題目而做錯(cuò)了,要求學(xué)生通過自己獨(dú)立、耐心演算得到正確答案.

4.養(yǎng)成良好的解題教學(xué)習(xí)慣

認(rèn)真審題是重要的好習(xí)慣,有的學(xué)生對(duì)審題重視不夠,匆匆一看急著下筆,無法吃透題目的條件和要求,無法從題目中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路.學(xué)生的解題習(xí)慣很大程度上與教師的解題教學(xué)有關(guān).有些教師在例題教學(xué)中,學(xué)生還沒有讀完題目就問“你有什么想法?”學(xué)生一時(shí)答不上來,老師就急著開始講,久而久之就影響了學(xué)生的解題習(xí)慣.教師要學(xué)會(huì)“等待”、“傾訴”,指導(dǎo)學(xué)生先寫出已知條件,用不同“語言”(文字語言、符號(hào)語言、圖形語言)表達(dá)條件,寫出需要求解的具體命題,理清解題思路并標(biāo)注需要的條件等.