布金偉，左小清

(昆明理工大學(xué) 國(guó)土資源工程學(xué)院，云南 昆明 650093)

區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化的方法探討與精度分析

布金偉，左小清

(昆明理工大學(xué) 國(guó)土資源工程學(xué)院，云南 昆明 650093)

闡述與GPS/水準(zhǔn)高程擬合相關(guān)的基本理論及區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化的原理與方法，并結(jié)合區(qū)域的具體實(shí)例，重點(diǎn)比較二次多項(xiàng)式曲面擬合法、三角剖分雙線性內(nèi)插法、加權(quán)平均推估法的精度情況，從中得到結(jié)論。實(shí)驗(yàn)表明，在沒有足夠重力數(shù)據(jù)的支持下，三角剖分雙線性內(nèi)插法獲得比較理想的精度，利用該方法精化似大地水準(zhǔn)面獲得的高程可以代替四等水準(zhǔn)。

GPS/水準(zhǔn)；區(qū)域似大地水準(zhǔn)面；二次多項(xiàng)式曲面擬合法；三角剖分雙線性內(nèi)插法；加權(quán)平均推估法

隨著全球?qū)Ш叫l(wèi)星(GNSS)定位技術(shù)及連續(xù)運(yùn)行參考站(CORS)的廣泛應(yīng)用，能提供高于10-7相對(duì)精度的大地測(cè)量數(shù)據(jù)，但我國(guó)使用的高程系統(tǒng)是正常高系統(tǒng)，GNSS 獲得的數(shù)據(jù)高程為大地高。如果地區(qū)沒有一個(gè)高精度高分辨率似大地水準(zhǔn)面模型，即使能用GNSS給出高精度的大地高，也無法達(dá)到GPS大地高至正常高的高精度轉(zhuǎn)換[1-2]。為了滿足用GPS代替水準(zhǔn)測(cè)量方法測(cè)定高程的需求，似大地水準(zhǔn)面需要達(dá)到厘米級(jí)精度。而在地形起伏復(fù)雜的某些區(qū)域，還存在一定的缺陷，因此本文從理論上利用不同類型的觀測(cè)數(shù)據(jù)，從算法上對(duì)似大地水準(zhǔn)面進(jìn)行精度分析。

1 幾種擬合方法的原理

1.1 多項(xiàng)式曲面擬合法

曲面擬合[3-6]是一種局部逼近的方法。基本思想是以每一個(gè)內(nèi)插點(diǎn)為中心，用內(nèi)插點(diǎn)周圍數(shù)據(jù)點(diǎn)的值建立一個(gè)擬合曲面，使其到各數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離加權(quán)平方和為極小，而這個(gè)曲面在內(nèi)插點(diǎn)上的值就是所求內(nèi)插值。

根據(jù)地區(qū)高程變化的復(fù)雜程度，可選n次曲面來擬合，設(shè)高程控制點(diǎn)的高程異常值ζ與坐標(biāo)(x，y)之間的函數(shù)關(guān)系式為

ζ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+

a4x2+a4y2+….

(1)

各高程異常點(diǎn)的已知高程異常與其擬合值之差為

Δi=ζ(x,y)-ζ(x,y).

(2)

Δi稱為殘差。根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)有

(3)

原則下，求出式中各系數(shù)ai，那么就可以利用相應(yīng)的擬合方程推算出其它點(diǎn)的高程異常值。對(duì)函數(shù)式求一階偏導(dǎo)，則

(4)

求二階偏導(dǎo)

(5)

一旦擬合函數(shù)確定(確認(rèn)擬合次數(shù))，ai(i=1,2…)均為一常數(shù)，模型函數(shù)與某一切平面存在一個(gè)切點(diǎn)，說明幾何表示為一拋物單曲面，僅有一個(gè)凹面或圖面。

上述的多項(xiàng)式曲面擬合存在以下問題：擬合多項(xiàng)式階次過高，則擬合曲面形態(tài)過于復(fù)雜；擬合多項(xiàng)式階次過低，GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)使用率太低，其攜帶的高精度信息體現(xiàn)不顯示；殘差模型不通過GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)，容易出現(xiàn)異常點(diǎn)；且擬合面邊緣地區(qū)會(huì)出現(xiàn)劇烈的震蕩現(xiàn)象。考慮到山區(qū)地形起伏大，似大地水準(zhǔn)面變化復(fù)雜。由此，論文提出進(jìn)一步分區(qū)擬合的思想，采用三角剖分雙線性內(nèi)插法與加權(quán)平均推估法進(jìn)行擬合。

1.2 小三角形雙線性內(nèi)插法

1.2.1 Delaunay準(zhǔn)則三角形剖分

三角剖分是將離散的殘差點(diǎn)剖分成不規(guī)則的三角形網(wǎng)，Delaunay三角剖分滿足以下兩個(gè)準(zhǔn)則：①空?qǐng)A準(zhǔn)則，網(wǎng)中任一三角形的外接圓范圍內(nèi)不會(huì)有其它點(diǎn)存在；②最大化最小角準(zhǔn)則，其所形成的三角形的最小角最大。采用Delaunay準(zhǔn)則進(jìn)行三角剖分具有如下特點(diǎn)[7]：①以最臨近的三點(diǎn)形成三角形，且各線段皆不相交，可保證擬合成果具有高空間相關(guān)性；②剖分結(jié)果唯一性；③任意兩個(gè)相鄰三角形形成的凸四邊形的對(duì)角線如果可以互換的話，那么兩個(gè)三角形6個(gè)內(nèi)角中最小角不會(huì)變大，避免內(nèi)插時(shí)出現(xiàn)病態(tài)方程；④改變?nèi)我夤?jié)點(diǎn)只會(huì)影響相鄰三角形，保證誤差不會(huì)整網(wǎng)傳遞。

1.2.2 雙線性內(nèi)插法的原理

設(shè)三角形的3個(gè)端點(diǎn)分別為A,B,C，點(diǎn)L、點(diǎn)R分別位于AB與AC上，待求點(diǎn)P為直線LR上的點(diǎn)，又由于三點(diǎn)決定一面，即點(diǎn)P在此面上，而通過P點(diǎn)的二維直線段在此面上有無數(shù)條，又因?yàn)闊o論任何一條從理論上內(nèi)插出的點(diǎn)值是唯一的，故為方便計(jì)算，設(shè)上述點(diǎn)P,L,R中Y值相同，即YP=YL=YR。則點(diǎn)P,點(diǎn)R,點(diǎn)L的內(nèi)插高程異常差值算式為

(6)

1.3 加權(quán)平均推估法

關(guān)于推估問題，主要有兩種方法：一種是以最小二乘推估法為代表的統(tǒng)計(jì)推估方法；另一種是函數(shù)擬合法、加權(quán)平均法等為主的解析推估方法。由于前者的計(jì)算工作量大，本論文采用加權(quán)平均法推估內(nèi)插點(diǎn)處的高程異常差值。

假設(shè)三角形為ABC，待求點(diǎn)為P， 則算式為

(7)

2 殘差模型的建立

在沒有足夠重力數(shù)據(jù)的條件下，構(gòu)想利用地區(qū)局部區(qū)域高精度GPS/水準(zhǔn)高程異?？刂凭W(wǎng)與省級(jí)精化似大地水準(zhǔn)面疊加融合，利用局部高精度高分辨率糾正廣域低精度低分辨率，實(shí)現(xiàn)建立局部區(qū)域厘米級(jí)精度似大地水準(zhǔn)面模型。

首先將GPS/水準(zhǔn)獲得的高程異常值[8]與省級(jí)精化似大地水準(zhǔn)面計(jì)算的高程異常值求差，獲得殘差值。

Δξ=ξGPS-ξG,

(8)

ξGPS=H水準(zhǔn)-H大地高，

(9)

ξG=H插值-H大地高.

(10)

綜合以上算式得到簡(jiǎn)化算式為

Δξ=H水準(zhǔn)-H插值.

(11)

式中:Δξ為兩種基準(zhǔn)高程異常值差值；ξGPS為GPS/水準(zhǔn)獲得的高程異常值；ξG為省級(jí)精化似大地水準(zhǔn)面計(jì)算的高程異常值。

利用離散的殘差值采用幾何方法構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的擬合數(shù)值模型

Δξ=f(B，L).

(12)

式中:B,L為坐標(biāo)系與橢球參數(shù)統(tǒng)一的緯度與經(jīng)度。

在連續(xù)的殘差數(shù)值模型上疊加融合省級(jí)精化似大地水準(zhǔn)面計(jì)算的高程異常值ξG，即采用移去-恢復(fù)法完成區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的構(gòu)建。

ξ′(B，L)=Δξ(B，L)+ΔξG(B，L).

(13)

該方法避免了缺少重力數(shù)據(jù)而丟失物理場(chǎng)信息的弊端，以及純幾何擬合內(nèi)插的缺陷，可靠性和精度更高。

3 算例分析

3.1 項(xiàng)目說明

整個(gè)項(xiàng)目共有4個(gè)分區(qū)，論文采用一分區(qū)作為實(shí)驗(yàn)區(qū)域，測(cè)區(qū)范圍為98.625 km2。其中，已有測(cè)區(qū)周圍GPS的C級(jí)點(diǎn)2個(gè)，GPS的D級(jí)點(diǎn)16個(gè)，坐標(biāo)系為×××市坐標(biāo)系，測(cè)區(qū)內(nèi)有1985國(guó)家高程基準(zhǔn)的一等水準(zhǔn)點(diǎn)1個(gè)，二等水準(zhǔn)點(diǎn)18個(gè)，同時(shí)有***局提供的三等水準(zhǔn)點(diǎn)成果。

基于連續(xù)運(yùn)行參考站(CORS)同步快速靜態(tài)觀測(cè)模式進(jìn)行GPS一級(jí)控制測(cè)量，完成GPSⅠ級(jí)控制點(diǎn)35個(gè)；利用四等水準(zhǔn)測(cè)量對(duì)GPS一級(jí)點(diǎn)進(jìn)行高程聯(lián)測(cè)，完成四等水準(zhǔn)觀測(cè)88.5 km。其中，35個(gè)一級(jí)GPS點(diǎn)轉(zhuǎn)換至2000國(guó)家坐標(biāo)系后，參與插值軟件計(jì)算，高程異常差值見表1，殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果見圖1。

表1 高程異常差值表 m

圖1 殘差統(tǒng)計(jì)

3.2 殘差模型算法分析

殘差模型法的關(guān)鍵在于尋求數(shù)學(xué)算法，確定f(B，L)，使其能準(zhǔn)確反映區(qū)域GPS/水準(zhǔn)與省級(jí)精化似大地水準(zhǔn)面之間的差距。

3.2.1 多項(xiàng)式曲面擬合法

按二次計(jì)算，則高程異常差值算式為

Δξ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2.

(14)

其中，35個(gè)一級(jí)GPS點(diǎn)全部參與擬合計(jì)算，最終內(nèi)符合精度統(tǒng)計(jì)見表2。

表2 多項(xiàng)式曲面擬合殘差表 m

根據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算，高程異常差值擬合殘差中誤差：MΔξ=0.028 5 m。

3.2.2 三角剖分雙線性內(nèi)插法與加權(quán)平均推估法

3.2.2.1 Delaunay準(zhǔn)則三角形剖分

根據(jù)試驗(yàn)區(qū)35個(gè)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)以及計(jì)算的相應(yīng)的省級(jí)精化似大地水準(zhǔn)面高，選擇27個(gè)點(diǎn)參與計(jì)算，其余8個(gè)分布均勻的點(diǎn)用于外部檢核。以這27個(gè)殘差點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，采用Delaunay準(zhǔn)則將整個(gè)測(cè)區(qū)剖分成小的三角形區(qū)域，整個(gè)測(cè)區(qū)的三角剖分結(jié)果見圖2。

圖2 Delaunay三角剖分示意圖

3.2.2.2 三角剖分雙線性內(nèi)插

在對(duì)高程異常差值點(diǎn)進(jìn)行三角剖分后，要對(duì)待求點(diǎn)所在小三角形進(jìn)行擬合計(jì)算，計(jì)算采用雙線性內(nèi)插法。然后，根據(jù)式(12)將ξG省級(jí)精化似大地水準(zhǔn)面與殘差擬合模型疊加，建立區(qū)域精化似大地水準(zhǔn)面ξ′(B，L)。則擬合疊加以后計(jì)算的正常高高程為

H′=H+ξ′(B，L).

(15)

通過計(jì)算，檢核點(diǎn)的擬合、疊加計(jì)算高程與實(shí)際GPS/水準(zhǔn)高程對(duì)比數(shù)據(jù)見表3。

表3 雙線性內(nèi)插法精度檢查統(tǒng)計(jì)表 m

根據(jù)表3分析統(tǒng)計(jì)，建立的區(qū)域似大地水準(zhǔn)面基于水準(zhǔn)數(shù)據(jù)的檢核中誤差為：

3.2.2.3 加權(quán)平均推估

選擇27個(gè)點(diǎn)參與計(jì)算，其余8個(gè)分布均勻的點(diǎn)用于外部檢核。

表4 加權(quán)平均推估法精度檢查統(tǒng)計(jì)表 m

表5 加權(quán)平均推估法精度檢查統(tǒng)計(jì)表 m

表6 加權(quán)平均推估法精度檢查統(tǒng)計(jì)表 m

3.3 精度對(duì)比分析

由表7和圖3分析可知：三角剖分雙線性內(nèi)插法和加權(quán)平均推估法明顯比二次曲面擬合法效果更為理想，精度相對(duì)更高。主要原因有兩點(diǎn)：①由于二次曲面擬合為整體區(qū)域擬合，可能由于似大地水準(zhǔn)面變化不平緩引起擬合函數(shù)無法準(zhǔn)確表達(dá)，而三角剖分則使得擬合區(qū)域分成若干小的三角形擬合區(qū)域，擬合精度分配較為均勻；②二次曲面擬合是不過點(diǎn)擬合，擬合后的曲面不經(jīng)過已知高程異常控制點(diǎn)，而三角剖分雙線性內(nèi)插法和加權(quán)平均推估法是以各個(gè)已知高程異常控制點(diǎn)為頂點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插，保證過點(diǎn)擬合的優(yōu)勢(shì)。

表7 二次曲面擬合法、三角剖分雙線性內(nèi)插法和加權(quán)平均推估法精度對(duì)比表 m

圖3 二次曲面擬合法、三角剖分雙線性內(nèi)插法和加權(quán)平均推估法精度對(duì)比圖

4 結(jié) 論

從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得出的精度，可得如下結(jié)論：

1)在沒有足夠重力數(shù)據(jù)的支持下，三角剖分雙線性內(nèi)插法獲得了比較理想的精度，利用該方法精化似大地水準(zhǔn)面獲得的高程可以代替四等水準(zhǔn)。

[1] 魏立峰.城市似大地水準(zhǔn)面精化成果的應(yīng)用[J].地理空間信息，2016，14(7)：57-58.

[2] 郭春喜，聶建亮.區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合方法及適用性分析[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2013，33(1)：103-107.

[3] 朱毅.云南省局部區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化方法探討與精度分析[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2012.

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[6] 黃鵬.市級(jí)大地水準(zhǔn)面精化的研究與應(yīng)用[D].青島：山東科技大學(xué)，2010.

[7] 劉振宇，高炳浩.基于CQG2000的吉林省西部地區(qū)似大地水準(zhǔn)面的建立[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2010，39(5)：441-443,464.

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[責(zé)任編輯：張德福]

Discussion of quasi local level method and its precision analysis

BU Jinwei, ZUO Xiaoqing

(School of Land and Resources Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093,China)

This paper presents the principle and method of GPS/ leveling fitting the basic theory and the regional quasi geoid. Combined with concrete examples of regional key comparison, two polynomial curve fitting methods: bilinear interpolation method of triangulation, and weighted average push accuracy estimate method are given to obtain some useful conclusions. The experimental result shows that in the absence of sufficient gravity data, triangulation bilinear interpolation can obtain the ideal accuracy,by which the method of refined quasi geoid height can cover the fourth level.

GPS/ level; quasi local level; two degree polynomial surface fitting method; bilinear interpolation method; weighted average method

引用著錄：布金偉，左小清.區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化的方法探討與精度分析[J].測(cè)繪工程，2017，26(6)：40-45.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.06.008

2016-07-15

布金偉(1992-)，男，碩士研究生.

P228

A

1006-7949(2017)06-0040-06