Avery+Thompson

1.Collatz 猜想

隨意選一個整數(shù)，如果它是偶數(shù)，將它除以2；如果它是奇數(shù)，將它乘以3再加1。對于得到的新數(shù)，重復操作上面的運算過程。如果一直操作下去，你每次都將得到1。

數(shù)學家們試驗了數(shù)百萬個數(shù)，還沒發(fā)現(xiàn)結果不是1的例子。然而問題在于，仍無法證明一定不存在一個特殊的數(shù)，在這一操作下最終結果不是1。有可能存在一個特別巨大的數(shù)，在這一套操作下趨于無窮，或趨于一個除了1以外的循環(huán)的數(shù)。但至今沒有人能證明這些特例的存在。

2.移動沙發(fā)問題

你要搬新家了，想把沙發(fā)搬過去。如果這個沙發(fā)很小，那沒什么問題。如果是一個挺大的沙發(fā)，估計得卡在樓梯的轉角處。究竟能成功轉過樓道的最大沙發(fā)有多大？這個沙發(fā)不一定是矩形，可以是任何形狀。

這便是“移動沙發(fā)問題”的核心，具體來說就是二維空間問題。設樓道的寬為1，轉角為90°，求能轉過轉角的最大二維面積是多少。

求得的面積被稱為“沙發(fā)常數(shù)”，沒人知道它到底有多大。迄今為止，我們只知道沙發(fā)常數(shù)在2.2 195到2.8 284之間。

3.完美立方體問題

還記得勾股定理A2+B2=C2嗎？A、B、C三個字母表示直角三角形的三條邊的邊長?，F(xiàn)在將這個概念擴展到三維空間，在這個空間需要四個數(shù)A、B、C和G。前三個數(shù)是立方體的三維邊長，G是立方體的空間對角線長度。

正如有些三角形的三邊都是整數(shù)一樣，存在一些立方體的三邊和體對角線（A、B、C和G）都是整數(shù)，但對于立方體來說還有三個面的對角線（D、E和F），這就帶來一個有趣的問題：有沒有立方體滿足這7條邊長都是整數(shù)的條件？

若一個立方體滿足A2 + B2 + C2 = G2，且全部的邊和對角線長度都是整數(shù)，這種立方體就被稱為完美立方體。數(shù)學家們測試了各種不同的可能構型，還沒找到任何一個滿足條件的情況。但他們也不能證明這樣的立方體不存在，因此搜尋完美立方體的工作還在繼續(xù)。

4.內接正方體問題

隨手畫一條閉合曲線，這條曲線不一定是圓形，可以是任何你想要的形狀，但曲線的起、終點必須重合且曲線不能穿越自身，在這條曲線上可能找到四個點連成一個正方形。內接正方形假設的內容就是，每條閉合曲線（確切來說是每個平面內的簡單閉合曲線）一定有一個內接正方形，這個正方形上的四個點都在這條閉合曲線上的某處。

許多閉合曲線上內接其他形狀的問題都已經(jīng)得到解決，例如矩形或三角形等，但正方形卻有點復雜，至今數(shù)學家們還沒有搞明白這個問題的正式證明。

5.美好結局問題

這個問題之所以被命名為“美好結局問題”，是因為它促成了一對數(shù)學家的美好姻緣：數(shù)學家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解決這一問題，他們最終結婚了（而這個問題仍未解決）。

這個問題是在一張紙面上隨機放置5個點，假設這5個點排布不特殊（比如排在一條直線上），你總能找到其中四個點構成一個凸四邊形，即四個邊夾角小于180°的四邊形。

除了四邊形，數(shù)學家還發(fā)現(xiàn)，為確保構造出一個凸五邊形，似乎需要9個點，六邊形則需要17個點，而構造七邊形和更多邊形需要多少個點依然是個謎。更重要的是，理應有一個公式告訴我們對于某一邊數(shù)需要多少個點，科學家們認為這個公式可能是M=1+2N-2，其中M是點數(shù)，N是邊數(shù)。但至今為止數(shù)學家們能證明的也就是上述這些有限范圍內的結論了。