程明賀，陳倉

（長安大學(xué)，陜西 西安 710064）

專題 汽車設(shè)計(jì)與研究

基于PID和LQR算法的倒立擺控制設(shè)計(jì)

程明賀，陳倉

（長安大學(xué)，陜西 西安 710064）

文章建立了一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上通過MATLAB仿真工具對(duì)一級(jí)倒立擺的PID（Proportion Integration Differentiation）及LQR（Linear Quadratic Regulator）控制算法進(jìn)行了設(shè)計(jì)與仿真。一般而言LQR控制算法的控制性能要優(yōu)于PID控制算法。

倒立擺；PID；LQR

10.16638/j.cnki.1671-7988.2017.05.001

CLC NO.: U462.1 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2017)05-01-04

1、引言

倒立擺是一種典型的快速多變量非線性絕對(duì)不穩(wěn)定非最小相位系統(tǒng)。這種控制的方法在航空航天、機(jī)器人等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。從控制這個(gè)角度上講，對(duì)倒立擺的研究在理論和方法上均有著深遠(yuǎn)的意義。同時(shí)由于倒立擺結(jié)構(gòu)簡單成本低廉因此成為人們學(xué)習(xí)研究和驗(yàn)證各種控制理論的理想裝置。

2、一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)建模

直線倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)機(jī)電一體化系統(tǒng)，由小車和擺桿組成。通過同步傳送帶驅(qū)動(dòng)的[2]小車可以在水平方向的導(dǎo)軌上來回移動(dòng)，位移的大小由固定在導(dǎo)軌的一端的位置傳感器來測量，電機(jī)也固定在同一側(cè)。擺桿通過轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈與小車相連，共軸角度傳感器安裝在小車和擺桿的連接處，用來測量擺桿轉(zhuǎn)過的角度。在導(dǎo)軌的兩端裝有控制小車移動(dòng)距離的開關(guān)，當(dāng)小車到達(dá)左右兩端附近的位置時(shí)，能夠防止小車脫離導(dǎo)軌起到保護(hù)作用。

圖1 一級(jí)倒立擺小車擺桿位置圖以及受力隔離圖

為了在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和處理問題的方便，可作出如下假設(shè)：

（1）擺桿在運(yùn)動(dòng)中是不變形的剛體；

（2）齒型帶與輪之間沒有相對(duì)滑動(dòng)，齒型帶長度保持不變；

（3）小車在移動(dòng)的過程中，摩擦系數(shù)保持不變；

（4）忽略空氣阻力；

基于上述條件假設(shè)，可將小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)模擬代替直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)（圖1）。

圖2 擺桿受力分析圖

在文中，建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型使用的方法是牛頓——?dú)W拉法。小車和擺桿的相關(guān)參數(shù)如下所述：

x小車位移，單位(m)；β擺桿與垂直方向的夾角，單位(rad)；M小車的質(zhì)量，單位(kg)；

m擺桿的質(zhì)量，單位(kg)；l擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到擺桿質(zhì)心的距離，單位m；J擺桿對(duì)重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位(kg·m2)；u電機(jī)對(duì)小車施加的作用力，單位(N)；F小車受到的等效摩擦力，單位(N)；

首先，對(duì)小車進(jìn)行受力分析，如圖1和圖2所示。

其中，N和P表示小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。F為小車受到的作用力，x為小車位移，β為擺桿與垂直向上方向的夾角，θ為擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下)[3]。再結(jié)合例句平衡方程可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出角度為Φ，求解方程組(9)得到傳遞函數(shù)為：

由于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式為：方程組（5）對(duì)x˙˙，θ˙˙解代數(shù)方程，得到解如下：

式（6）為直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

3、PID控制控制算法的設(shè)計(jì)

PID控制算法和模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等相比是一個(gè)非常傳統(tǒng)的控制方式。PID控制的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用范圍比較廣，而且參數(shù)較易調(diào)整。雖然倒立擺模型是非線性的，但通過對(duì)其簡化可以變成基本線性的系統(tǒng)。

(1) 比例調(diào)節(jié)P

比例系數(shù)KP的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)速度的快慢，但KP過大會(huì)使控制系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)或振蕩現(xiàn)象，KP過小又起不到調(diào)節(jié)作用比例控制無法消除余差[4]。

(2) 積分調(diào)節(jié)I

積分常數(shù)Ti大小的選擇決定了積分作用強(qiáng)弱程度，而積分作用一般會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。

(3) 微分調(diào)節(jié)D

當(dāng)偏差e瞬間波動(dòng)過快時(shí)微分調(diào)節(jié)器會(huì)立即產(chǎn)生響應(yīng)來抑制偏差的變化使系統(tǒng)更趨于穩(wěn)定改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

首先在Simulink中搭建模型如下圖所示：

圖3 Simulink模型圖

在上圖中PIDController中根據(jù)實(shí)際更改PID的三個(gè)參數(shù)，使小車到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。在狀態(tài)空間中根據(jù)建立的模型，把實(shí)際的系統(tǒng)參數(shù)帶入A、B、C、D中，從而確定模型的屬性。

圖4

圖5

圖6

圖7

圖4 KP=9, Ki=0, KD=0仿真圖，控制曲線不收斂，需要增大控制量。

圖5 KP=40, Ki=0, KD=0仿真圖，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩。為消除系統(tǒng)的振蕩，應(yīng)增加微分控制參數(shù)KD。

圖6 KP=40, Ki=20, KD=4仿真圖，小車的控制基本穩(wěn)定，角度基本為0度，但是小車的位置在持續(xù)的變化，所以小車有穩(wěn)態(tài)偏差。

圖7 KP=40, Ki=20, KD=80仿真圖，相比之下小車的位置穩(wěn)定性大幅度提高，但是如果要達(dá)到絕對(duì)的穩(wěn)定，還應(yīng)通過以下兩種方法解決：一，繼續(xù)調(diào)整PID的三個(gè)控制參數(shù)。二，采用雙PID控制。

因此，采用PID控制可以達(dá)到工程上的效果，但是需要反復(fù)調(diào)整三個(gè)控制參數(shù)才能達(dá)到預(yù)期效果。從表面上來看帶有一定的盲目性，因此本文又嘗試結(jié)合最優(yōu)控制的方法。

4、LQR控制算法的設(shè)計(jì)

LQR控制器的最優(yōu)反饋增益矩陣為：

K=LQR（A,B,Q,R）

u(k)=-Kx

由原理知，要求出最優(yōu)控制作用u，除求解代數(shù)Riccati方程外，加權(quán)矩陣的選擇也是至關(guān)重要的，下面是幾個(gè)選擇的一般原則：

① 通常選用Q和R為對(duì)角線矩陣,當(dāng)控制輸入只有一個(gè)時(shí)，R為標(biāo)量數(shù)。

② Q的選擇不唯一，這表明當(dāng)?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r(shí)，可以有多種Q值的選擇，其中總有一個(gè)對(duì)角線形式的Q。

下面將通過仿真實(shí)驗(yàn)求加權(quán)陣Q、R與性能指標(biāo)間的關(guān)系：

圖8

圖9

圖10

圖11

● 在w11=500、w33=500時(shí)，K =22.3607 13.5836 -22.3497 2.2314。小車位置和擺桿角度的關(guān)系如圖8所示。

● 在w11=10000、w33=500時(shí)，K =100.0000 23.8060 -13.7383 5.8454。小車的位置和擺桿角度的關(guān)系如圖9所示。

● 在w11=10000、w33=10000時(shí)，K =100.0000 50.1585 -78.6839 19.9598。小車的位置和擺桿的角度如下圖10所示。

由圖8-10可以看出Q矩陣中的權(quán)值對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間、超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間有很大的影響。在w11=10000、w33=500時(shí)，小車的位置和擺桿的角度有很大的超調(diào)量，尤其是擺桿角度超調(diào)量更大。這對(duì)小車的穩(wěn)定性是很不利的。所以需調(diào)整Q中的權(quán)值，來減少超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。

通過大量的實(shí)際測試，在w11=10000、w33=10000，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間變的最短。同時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量和穩(wěn)定時(shí)間也有所減少，是一種比較理想的狀況。但是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前期仍然需要調(diào)整[7]。

故可得出結(jié)論當(dāng)Q(t)陣中某一元素的權(quán)值增大時(shí), 與其相對(duì)應(yīng)的x(t)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程好轉(zhuǎn), ts、td顯著下降系統(tǒng)快速性得到一定提高；與此同時(shí)，也引進(jìn)了一些振蕩而控制量的幅值會(huì)相應(yīng)增大這表明要求輸入能量增大即要提高動(dòng)態(tài)性能必須以比較大的能量消耗為代價(jià)。

現(xiàn)保持Q值不變，即w11=10000、w33=10000,改變R。使R=1變?yōu)镽=3,考擦控制量的變化，對(duì)比仿真結(jié)果如圖11所示，K =44.7214 24.5829 -39.8801 7.0549。

可見當(dāng)R(t)陣中某一元素的權(quán)值增大時(shí)控制量幅值相應(yīng)減小由0.8減少為0.5 ,表明能量消耗隨R(t)增大而減小,其對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有所改善,但并不顯著[8]。

通過上面的分析可知，LQR最優(yōu)控制系統(tǒng)中Q(t)和R(t)的選擇是相互制約相互影響的，如果要求控制狀態(tài)的誤差平方積分減少必然會(huì)導(dǎo)致增大能量的消耗反之為了節(jié)省控制能量就不得不犧牲對(duì)控制性能的要求。

5、結(jié)論

常規(guī)PID控制的效果相比LQR稍差。主要是因?yàn)槌Ｒ?guī)PID控制器實(shí)質(zhì)上是一種線性控制器對(duì)于像倒立擺這樣的非線性絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)控制效果上顯得有所不足，但LQR的抗干擾性能及魯棒性也不是十分的完美，因?yàn)長QR是通過對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化后運(yùn)用的一種方法[9]。

雖然控制理論在不斷的發(fā)展新的控制方法不斷的出現(xiàn)，但PID控制器因具有結(jié)構(gòu)簡單設(shè)計(jì)原理易于被工程設(shè)計(jì)人員掌握，魯棒性強(qiáng)和不需要對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型等優(yōu)點(diǎn)在工業(yè)過程控制中仍然得到了最廣泛的應(yīng)用[10]。然而對(duì)于那些復(fù)雜如具有延遲非線性和時(shí)變的控制系統(tǒng)為了克服傳統(tǒng)PID控制的缺點(diǎn)人們把傳統(tǒng)PID控制與模糊邏輯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遺傳算法等人工智能技術(shù)相結(jié)合形成智能PID。

[1] 固高科技(深圳)有限公司編著.倒立擺與自動(dòng)控制原理與實(shí)驗(yàn)[M].2005,24-27.

[2] 關(guān)天祥,陳瑋,羅俊奇.一級(jí)倒立擺的建模、仿真與實(shí)時(shí)控制[J].深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,2.

[3] 黃苑紅,梁慧冰.從倒立擺裝置的控制策略看控制理論的發(fā)展和應(yīng)用.廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001,19(3)：49-52.

[4] 李曉燕.平面一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的智能控制策略研究：[碩士學(xué)位論文].山西：太原理工大學(xué)，2005.

[5] 宋西蒙.倒立擺系統(tǒng)LQR-模糊控制算法：[碩士學(xué)位論文].西安：西安電子科技大學(xué),2006.

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[8] 張錚等編著.MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用.北京：電子工業(yè)出版社,2007,5.

[9] 朱文凱，袁桂娥，朱學(xué)峰.倒立擺的PID與LQR控制算法的對(duì)比研究.廣東自動(dòng)化與信息工程，2006，(2)：1-3.

[10] 吳文進(jìn),葛鎖良.基于LQR最優(yōu)調(diào)節(jié)器的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng).安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2007,13(2)：32-34.

Design of Single Inverted pendulum based on PID and LQR

Cheng Minghe, Chen Cang

（Changan University, Shaanxi Xi'an 710064）

In this thesis single inverted pendulum model was built. And on this basis, through MATLAB simulation tools, inverted pendulum PID and LQR control algorithm was carried on the design and simulation. In general, the LQR control algorithm is superior to the control performance of PID control algorithm.

Single inverted pendulum; PID; LQR

U462.1

A

1671-7988 (2017)05-01-04

程明賀，（1993-）男，碩士研究生，就讀于長安大學(xué)。研究方向：數(shù)字圖像處理。