王炫凱

摘要：導數(shù)因其在函數(shù)研究方面的獨特作用，尤其在求函數(shù)的最值、極值、單調(diào)性等方面，非常方便、簡潔。同時，為解決函數(shù)問題提供了新的解題工具，拓寬了解題方法。以導數(shù)在函數(shù)最值及單調(diào)性中的應用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個問題總結導數(shù)的解題思路與方法。

關鍵詞：導數(shù) 函數(shù) 拉格朗日乘數(shù)法

導數(shù)是微積分的基本知識，也是近年新課改后新增的內(nèi)容。導數(shù)是具有研究功能和解決實際問題的有力工具。導數(shù)可以從不同的角度衍生知識，靈活考察知識的綜合運用和解決數(shù)學問題的能力。導數(shù)與不等式、數(shù)列、函數(shù)等知識的交集命題，應用數(shù)學知識解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點。本文以導數(shù)在函數(shù)最值及單調(diào)性中的應用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個問題總結導數(shù)的解題思路與方法。

一、導數(shù)在求函數(shù)極值中的應用

函數(shù)中的最值問題是高中數(shù)學中一個核心問題，也是一個判斷學生數(shù)學優(yōu)劣的分界點。在高中課本引入導數(shù)以前，存在許多種求函數(shù)最值的方法，但是引入導數(shù)后，許多求最值類型的題目不僅多了一種解題的思路與方法，更是一種解決問題的簡便方法。

問題分析：（1）導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點.所以在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點。（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值。（3）對于任意給定求函數(shù)極值的題目，首先先求出其定義域，再根據(jù)定義域進行下一步計算。

二、導數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性中的應用

導數(shù)可以判斷函數(shù)的增減性，在函數(shù)的一階導數(shù)為零的點為增減分界點，一階導數(shù)大于零，函數(shù)在有效區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；反之，一階導數(shù)小于零，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。利用函數(shù)的單調(diào)性可以很明了的繪畫出函數(shù)的大致圖像，對函數(shù)的增減性有很強的直觀性，能夠很簡便的求出函數(shù)的單調(diào)性。下面列舉以下題目進行解答以說明導數(shù)在求增減性中的作用。對于這種超越函數(shù)求單調(diào)性一般比較復雜，尤其在引入?yún)?shù)后會使問題變得極其復雜。

三、拉格朗日乘數(shù)法

四、總結

導數(shù)的應用還有許多，如導數(shù)在根式曲線、對數(shù)曲線、分式曲線、指數(shù)曲線、圓錐曲線、三角曲線的應用。由于篇幅限制，關于導數(shù)這些方面的應用就不再贅述，但是導數(shù)應用所要用到的基本的思路與原理都是大同小異的。

本文著重討論了在求函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性以及拉格朗日乘數(shù)法中導數(shù)的應用，事實上，導數(shù)的應用范圍何其之廣，本文提到的只是鳳毛翎角，例如在解析幾何與立體幾何中以及在向量中，都具有重要的應用。總之，雖然新課標的課程大綱將導數(shù)移至高中數(shù)學的學習，增加了高中數(shù)學課程的學習內(nèi)容，但導數(shù)作為大學課程《高等數(shù)學》中微積分的學習基礎及其本身具有的實際應用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題；在單調(diào)性問題、不等式證明等問題中具有突出的實際運用性，是高中數(shù)學學習過程中的一個很好的學習工具。與此同時，導數(shù)是在各類考試中重點考察的內(nèi)容，占非常大的分數(shù)比例，一般試卷壓軸題出導數(shù)的題目概率及其之高。因此，在學習導數(shù)過程中要注意理解導數(shù)的一些常規(guī)運用并且理解導數(shù)的意義，在基礎問題方面勤加練習，做到舉一反三，同時熟練的掌握導數(shù)的運用，才能在考試中發(fā)揮出理想的實力。

參考文獻：

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