李阿娜， 孫華東

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

基于紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型

李阿娜， 孫華東

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

考慮基于非系統(tǒng)風(fēng)險的投資組合問題， 本文首先構(gòu)建信息風(fēng)險控制函數(shù)， 其次將信息風(fēng)險控制函數(shù)引入投資組合模型中， 提出了基于信息風(fēng)險的投資組合模型， 并將資產(chǎn)紅利引入模型中， 最后應(yīng)用罰函數(shù)算法對模型進行求解， 并給出模型和算法的實證分析， 研究表明： 隨著投資者預(yù)期收益率的增大， 基于紅利的信息控制投資組合模型比不帶信息風(fēng)險控制函數(shù)的投資組合模型具有較低的風(fēng)險， 能更好地規(guī)避投資風(fēng)險.

數(shù)學(xué)模型； 罰函數(shù)； 信息控制； 組合投資

0 引 言

從1952年馬克維茨針對組合投資問題提出了均值—方差模型以來[1]， 最優(yōu)化在組合投資問題中的應(yīng)用已受到越來越多的研究人員及投資者的關(guān)注[2-8]. 投資組合的組合優(yōu)化模型可以降低投資中的非系統(tǒng)風(fēng)險， 達到分散風(fēng)險的目的， 然而針對具體的非系統(tǒng)風(fēng)險構(gòu)建的投資組合模型還較少[9-11]. 因此， 本文將非系統(tǒng)風(fēng)險中的信息風(fēng)險函數(shù)引入投資組合優(yōu)化模型， 構(gòu)建了帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型， 提出了改進的罰函數(shù)算法對模型進行求解， 并與傳統(tǒng)的帶紅利的投資組合模型進行比較， 驗證了模型和算法的有效性.

1 帶紅利的信息控制投資組合模型

本文通過非系統(tǒng)風(fēng)險中的信息風(fēng)險函數(shù)， 并且引入資產(chǎn)的紅利分配因素構(gòu)建組合投資模型， 假設(shè)投資的總資產(chǎn)為1， 投資n只股票， 每只股票都會得到紅利， 第i種資產(chǎn)在第k期得到的紅利用hik表示， 則資產(chǎn)的收益率可表示為

式中：rik表示第i種資產(chǎn)在第k期的資產(chǎn)的收益率；pik表示第i種資產(chǎn)在第k期的資產(chǎn)的收盤價.

資產(chǎn)的信息包括宏觀信息和微觀信息， 通過信息對股價的影響構(gòu)建信息風(fēng)險控制函數(shù). 假設(shè)資產(chǎn)i獲得一個信息記作αi， 其中：αi∈{0,-1}. 由于投資者大部分為風(fēng)險厭惡型， 在進行投資時只關(guān)注投資的損失， 因此考慮兩種情況的信息： 當(dāng)αi=0時， 表示投資者收到的信息不會對其投資產(chǎn)生的收益產(chǎn)生不利的影響， 即表示投資者不會受到損失； 當(dāng)αi=-1時， 表示投資者收到的信息會對投資者的收益產(chǎn)生不利的影響， 即表示投資者會受到一定的損失.

信息對資產(chǎn)收益的影響可表示為

則信息控制函數(shù)可表示為

式中：αi=0時，u表示資產(chǎn)收益率的改變量，αi=-1時，d表示資產(chǎn)收益率的改變量.

信息控制函數(shù)對資產(chǎn)的收益率的影響可表示為

因此， 帶紅利的信息控制投資組合模型可表示為

2 罰函數(shù)算法

針對模型的求解， 本文通過罰函數(shù)算法對模型進行求解. 首先定義關(guān)于帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型的罰函數(shù). 稱

L(x,σk)=f(x)+Pσk(x)=f(x)+σkQ(x).

(7)

為上述的帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型的罰函數(shù)， σ>0為罰因子， 其中

q(t)=|

算法步驟：

1) 選定變量的初始點為x0； 選取罰函數(shù)初始的罰因子σ1>0(可取σ1=1)， 罰因子的放大系數(shù)c>1(可取c=10)； 允許誤差ε>0， 置k=1.

3) 若σkQ(x)<ε， 則xk就是所要求的最優(yōu)解， 停止； 否則轉(zhuǎn)下一步.

4) 置σk+1=cσk； k=k+1， 轉(zhuǎn)2).

當(dāng)k趨向于無窮大時， 隨著σk的不斷增大， 對每一個的不可行點的懲罰σkQ(x)也將會不斷增加. 所以， 在對應(yīng)于σk的無約束極小化問題的最優(yōu)解xk處， σkQ(x)的值應(yīng)該是不斷減小的， 從而保證xk逐步趨向于可行并最終達到上述問題的最優(yōu)解.

3 實證分析

通過選取10種具有紅利分配的公司股票進行投資， 收集每家公司收盤價及具體紅利分配情況. 選取的10家公司股票代碼分別為000005(世紀(jì)星源)， 000010(美麗生態(tài))， 000012(南玻A)， 000021(深科技)， 000025(特力A)， 000030(富奧股份)， 600016(民生銀行)， 600399(撫順特鋼)， 600462(九有股份)， 600345(長江通信). 選取的公司所屬的行業(yè)十分分散， 可進一步降低資產(chǎn)投資風(fēng)險. 通過選取10種股票的月平均收益率的歷史數(shù)據(jù)(www.gtarsc.com)， 從2010年1月1日至2015年12月31日共計72個月， 總共收集720個數(shù)據(jù)， 每只股票收益率的期望和方差如表1所示， 為了降低模型的計算難度， 設(shè)定每只股票的紅利分配政策一致， 每只股票的紅利分配比例近似看作資產(chǎn)總額的0.2%. 求解的模型罰函數(shù)選取為q(t)=|t|2(誤差精度設(shè)為0.001)， 帶紅利的信息控制投資組合模型的參數(shù)初始化數(shù)據(jù)如表 2 所示.

表 1 資產(chǎn)收益率的期望與方差

表 2 模型參數(shù)的初始化數(shù)據(jù)

1) 為了降低模型的誤差， 提高計算精度， 通過股票收益率的期望和方差進行蒙特卡羅模擬[11]獲取大量的樣本數(shù)據(jù)， 利用模擬的收益率數(shù)據(jù)進行模型的計算和投資組合的決策. 通過Matlab軟件分別對帶紅利的組合優(yōu)化模型與帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型進行計算， 所得結(jié)果如表 3 所示， 將帶紅利的組合優(yōu)化模型簡記為HP模型， 帶紅利的信息控制投資組合模型簡記為HIP模型.

表 3 HP和HIP模型的計算結(jié)果

表 3 表示在投資者的預(yù)期收益率為10%時， 帶紅利的投資組合模型和帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型的計算結(jié)果. 表3表明在預(yù)期收益率一定時， 通過配置風(fēng)險較小， 收益率比較高的證券資產(chǎn)， 達到投資組合的風(fēng)險最小化， 驗證了帶紅利的信息控制投資模型及其相應(yīng)的罰函數(shù)算法的有效性. 通過表3發(fā)現(xiàn)帶紅利的信息控制模型具有較低的投資組合風(fēng)險. 由于投資者將帶有不利信息的資產(chǎn)賣出， 增持帶有有利信息的資產(chǎn)， 獲得風(fēng)險更低的投資組合.

2) 通過設(shè)定不同的預(yù)期收益率， 分別計算帶紅利的投資組合優(yōu)化模型及帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型得到其相應(yīng)的目標(biāo)風(fēng)險值， 如表 4 和圖 1 所示. 由表 4 和圖 1 可知， 隨著預(yù)期收益率的增大， 兩種模型相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值也增大， 符合收益越大風(fēng)險越大的投資規(guī)律. 通過表4和表2表明了本節(jié)提出的模型和算法的有效性， 為投資者提供了一定的決策參考. 通過分析表 4 發(fā)現(xiàn)帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型更符合實際， 能更好地為投資者提供投資決策.

表 4 不同預(yù)期收益率下的HP和HIP模型目標(biāo)值

圖 1 不同預(yù)期收益率下的HP和HIP模型目標(biāo)值Fig.1 HP and HIP model target values with different expected returns

3) 通過設(shè)定不同的股票紅利分配比率， 利用Matlab軟件對帶紅利的投資組合優(yōu)化模型及帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型進行求解， 所得結(jié)果如表 5 所示. 表 5 表示在投資者的預(yù)期收益率為10%時， 通過設(shè)定不同的股票紅利分配比率， 通過Matlab計算帶紅利的投資組合優(yōu)化模型與帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型的計算結(jié)果， 得到的相應(yīng)的目標(biāo)風(fēng)險值， 驗證了兩種模型及其相應(yīng)的罰函數(shù)算法的有效性. 表5表明帶紅利的信息控制模型具有較低的投資組合風(fēng)險. 由于投資者將帶有不利信息的資產(chǎn)賣出， 增持帶有利信息的資產(chǎn)， 獲得風(fēng)險更低的投資組合. 表5表明紅利分配比率越高， 資產(chǎn)組合的風(fēng)險越小， 由于在一定預(yù)期收益率的約束下， 紅利越高， 通過資產(chǎn)組合所需獲得的收益越低， 其目標(biāo)風(fēng)險值也越低， 符合高風(fēng)險高收益， 低風(fēng)險低收益的投資規(guī)律. 通過圖2發(fā)現(xiàn)帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型比帶紅利的投資組合優(yōu)化模型具有更低的目標(biāo)風(fēng)險值， 更符合投資者實際情況， 為投資者提供一定的決策參考.

表 5 不同紅利分配率下的HP與HIP模型的目標(biāo)值

圖 2 不同紅利分配率下的HP與HIP模型的目標(biāo)值Fig.2 HP and HIP models with different dividend distribution ratios

4 結(jié) 論

本文通過將信息風(fēng)險函數(shù)引入投資組合問題中， 構(gòu)建更加符合實際的帶紅利的信息控制模型， 同帶紅利的模型相比較發(fā)現(xiàn)帶紅利的信息控制模型具有較低的投資組合風(fēng)險， 并且隨著投資者預(yù)期的收益率的增大， 模型的目標(biāo)值也在逐漸增大， 即投資組合的風(fēng)險在逐步增加. 然而本文僅僅研究了單期靜態(tài)的投資組合模型， 但在實際的投資過程中， 投資者會不斷地進行投資組合的調(diào)整， 以達到收益的最大化. 因此， 動態(tài)的投資組合模型將是今后的研究方向.

[1] Harry M. Portfolio selection[J]. Journal of Finance， 1952， 7(1)： 113-124.

[2] Sharpe W. A simplified model for portfolio analysis[J]. Management Science， 1963(3)： 13-26.

[3] Eastham J， Hasting K . Optimal impulse control of portfolios[J]. Mathematical Programming， 2008(4)： 11-24.

[4] 趙春峰. 基于條件風(fēng)險價值(CVaR)投資組合模型的分析及應(yīng)用[D]. 成都： 西南財經(jīng)大學(xué)， 2010.

[5] 梁素紅. 組合投資數(shù)學(xué)模型發(fā)展的研究[D]. 吉林： 吉林大學(xué)， 2011.

[6] 王貞. 幾類投資組合優(yōu)化模型及其算法[D]. 西安： 西安電子科技大學(xué)， 2012.

[7] 鮑勇， 范玉妹， 趙金玲. 求解不等式約束優(yōu)化問題的SQP濾子算法[J]. 中北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2014， 35(1)： 15-18. Bao Yong， Fan Yumei， Zhao Jinling， The SQP filter algorithm for solving inequality constrained optimization problem[J]. Journal of North University of China (Natural Science Edition)， 2014， 35(1)： 15-18. (in Chinese)

[8] 申飛飛， 楊柳. 基于CVaR的債券投資組合模型[J]. 經(jīng)濟數(shù)學(xué)， 2014(2)： 56-59. Shen Feifei， Yang Liu. Bond portfolio optimization based on CVaR[J]. Journal of Quantitative Economic， 2014(2)： 56-59. (in Chinese)

[9] 張波， 陳睿君， 路璐. 粒子群算法在投資組合中的應(yīng)用[J]. 系統(tǒng)工程， 2007， 25(8)： 108-110. Zhang Bo， Chen Ruijun， Lu Lu. Application of the particle swarm optimization in the portfolio selection[J]. Systems Engineering， 2007， 25(8)： 108-110.(in Chinese)

[10] 文鳳華， 馬超群， 陳牡妙， 等. 一致性風(fēng)險價值及其算法與實證研究[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐， 2004， 24(10)： 15-21. Wen Fenghua， Ma Chaoqun， Chen Mumiao， et al. Calculations and case study of cohesive value at risk[J]. Systems Engineering-Theory & Practice， 2004， 24(10)： 15-21. (in Chinese)

[11] 湯文超， 李文海， 羅恬穎. 基于費用函數(shù)的測試性優(yōu)化分配方法研究[J]. 測試技術(shù)學(xué)報， 2015(4)： 355-358. Tang Wenchao， Li Wenhai， Luo Tianying. Study on testability allocation method based on cost function[J]. Journal of Test and Measurement Technology， 2015(4)： 355-358. (in Chinese)

[12] Shapiro A. Monte carlo sampling methods [J]. Stochastic Programming. Operations Research and Management Science， 2003， 10： 353-425.

The Model of Portfolio Optimization Based on Information Control and Dividend

LI Ana, SUN Huadong

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

Considering the non-systematic risk-based portfolio problem, the paper first constructs the information risk control function.And introduces the information risk control function into the portfolio model, puts forward the portfolio model based on the information risk and introduces the dividend into the model, Finally, the penalty function algorithm is used to solve the model and the empirical analysis of the model and algorithm is given. The results show that the dividend-based information control portfolio model is more effective than the non-information risk control function with the increase of the investor's expected return, and the portfolio model has lower risk and can better to avoid investment risks.

mathematical model; penalty function; information control; portfolio

1671-7449(2017)02-0120-05

2016-10-23

李阿娜(1989-)， 女， 碩士生， 主要從事最優(yōu)化模型及其數(shù)值算法等研究.

F830.59

A

10.3969/j.issn.1671-7449.2017.02.005