江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué)(213000)

陳 鸞●

一道有關(guān)二項(xiàng)式定理高考題的解法探究

江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué)(213000)

陳 鸞●

2016年江蘇高考數(shù)學(xué)的附加第24題

(2)設(shè)m,n∈N*，n≥m,求證：

在去年高考的這道題中，筆者發(fā)現(xiàn)得分很低，對學(xué)生來說很難，但其實(shí)筆者研究下來，發(fā)現(xiàn)方法還是很多的，下面就分析出來的幾種方法整理如下：

法一：也是標(biāo)準(zhǔn)答案的方法

當(dāng)n=m時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)n>m時(shí),

這種方法過程很簡潔，但是公式運(yùn)用要非常熟練，學(xué)生不太容易想到.

法二：構(gòu)造函數(shù)F(x)

F(x)=(m+1)(1+x)m+(m+2)(1+x)m+1+(m+3)(1+x)m+2+…+(n+1)(1+x)n①.

要求的式子的左邊即為F(x)的xm項(xiàng)前的系數(shù),

再對函數(shù)進(jìn)行等差比求和的化簡，得

(1+x)F(x)=(m+1)(1+x)m+1+(m+2)(1+x)m+2+…+n(1+x)n+(n+1)(1+x)n+1②

①-②：

評析 在進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)還可以構(gòu)造h(x)=(1+x)m+1+(1+x)m+2+…+(1+x)n+1.

求導(dǎo)之后就是上面構(gòu)造的F(x)，但是計(jì)算相對較簡單，不需要等差等比數(shù)列求和.

這種方法學(xué)生比較能夠想到，但是過程中計(jì)算也是很大的.

法三：利用拆補(bǔ)一輪又一輪進(jìn)行計(jì)算

原式

這種方法也是很不錯(cuò)的.

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B

1008-0333(2017)07-0026-01