孫鵬

（湖北工程學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 孝感 432000）

兩種人口預測方法在孝感市人口預測中的應用

孫鵬

（湖北工程學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 孝感 432000）

文章運用馬爾薩斯人口模型和灰色預測GM（1，1）模型兩種方法，通過分析湖北省孝感市2001～2011年的人口數(shù)據(jù)，再以2012～2015年的人口數(shù)據(jù)做驗證，以此比較這兩種預測方法的特點與適用性，得出相對合適的人口預測模型。

人口預測方法；應用；孝感市

隨著人口的增加，人口和自然資源之間的矛盾變得更加激烈，怎樣處理好人口數(shù)量和自然資源之間的矛盾問題變得更為嚴峻，所以人口增長是當今世界最關(guān)注的焦點問題之一，人口預測能掌握未來人口增長趨勢，對制定國民經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃、城市人口發(fā)展規(guī)劃、處理人口與自然環(huán)境的矛盾、完善公共服務設施等都至關(guān)重要。目前，人口預測方法有很多，如馬爾薩斯人口模型、年齡移算法、Logistic增長模型、GM（1，1）灰色預測模型、回歸分析預測法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測、系統(tǒng)動力學模型等。文章采用馬爾薩斯模型和灰色預測模型兩種預測方法，以湖北省孝感市為例，探討這兩種預測方法的特點及其適用性問題。

1 灰色預測GM（1，1）模型

灰色預測就是通過灰色模型的建立，發(fā)現(xiàn)并掌握系統(tǒng)發(fā)展的規(guī)律，對系統(tǒng)的未來狀態(tài)做出科學的定量預測。通常在人口增長的趨勢無規(guī)律數(shù)據(jù)不全的情況下常用灰色預測法，該法主要是通過灰色模型GM（1，1）進行預測，通過一次累加或累減，找出規(guī)律，該方法所需數(shù)據(jù)量小，建模過程簡單，預測精度高。

1.1 GM（1，1）模型建模方法

做一次累加生成數(shù)列

相應的白化微分方程為：

于是求解方程（1）得：

1.2 灰色預測的步驟

（1）數(shù)據(jù)的檢驗與處理。為了保證建模方法的可行性，需要對已知數(shù)據(jù)列做必要的檢驗處理。設參考數(shù)據(jù)為，計算數(shù)列的級比：

（2）建立模型。按照上述方法建立模型GM（1，1），則可以得到預測值：

而且

（3）檢驗預測值

①殘差檢驗：

令殘差為ε（k），相對誤差為e（k），則：

②級比偏差值檢驗：

如果ρ（k）＜0.2，則可認為達到一般要求；如果ρ（k）＜0. 1，則可認為達到較高要求。

③預測預報：由模型 GM（1，1）所得到的指定時區(qū)內(nèi)的預測值，根據(jù)實際問題的需要，給出相應的預測預報。灰色預測模型所需數(shù)較少，預測比較準確，精度較高，樣本不需要規(guī)律，計算也簡單，所以適合做短期和中期人口預測。

2 建立模型和對比研究

（1）模型的建立、預測和誤差分析及檢驗。文章收集了孝感市2001～2011年的戶籍總?cè)丝跀?shù)據(jù)，如表1所示，散點圖如圖1所示。

表 1孝感市2001～2011年人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計

圖1 孝感市2001～2011年人口總數(shù)與自然增長率

從圖1可知孝感市人口總體是一個增長的趨勢，除了2003～2005年和2010～2011這兩個時間段人口在遞減之外，其他時間段呈現(xiàn)一個線性增長趨勢。

由馬爾薩斯模型的介紹，再結(jié)合2001～2011年的人口數(shù)據(jù)，計算得到馬爾薩斯模型中自然增長率r=0.004243，所以孝感市的馬爾薩斯人口預測模型為：

P（t）=P0e0.004243（t-t0）

其中P0為505.32，t0為2001。

通過馬爾薩斯模型來計算2001～2011年的孝感市人口總數(shù)并和實際人口比較得到相對誤差，如表2所示，擬合圖像如圖2所示。

表 2 馬爾薩斯模型的預測值、殘差和相對誤差表

圖2 馬爾薩斯模型的擬合圖像

由表2得到2001～2011年馬爾薩斯模型的人口預測值和實際值的殘差最大絕對值為7.96，平均相對誤差為0.65%，精確度相對較高，擬合程度相對較好。

（2）灰色預測GM（1，1）模型。首先進行級比檢驗，孝感市2001～2011年孝感市總?cè)丝跀?shù)據(jù)的時間序列為：

由式（3）得到級比為（λ（2），λ（3），…，λ（11））=（1.0020，1.0051，…，0.9966），所有的

則數(shù)列x（0）可以作為模型GM（1，1）的數(shù)據(jù)進行灰色預測。

因此求得模型的各種檢驗指標值的計算結(jié)果如表3所示，擬合圖像如圖3所示。

表3 GM（1，1）模型檢驗表

圖3 灰色預測模型的擬合圖像

由表3可知，在2001～2011年間建立的灰色預測模型擬合程度相對較好，殘差最大絕對值為6.95，平均相對誤差為0.51%，同時該模型的級別偏差值全部小于0.1，說明該模型精度較高，擬合程度也比較好。

（3）對比和研究。將上述兩種模型的最大殘差和相對誤差進行對比，如表4所示。

表 4 兩種模型最大殘差和平均相對誤差的比較表

通過對比可知，兩種預測方法在2001～2011年間模型擬合程度上，灰色預測模型和馬爾薩斯模型最大殘差絕對值差距不大，擬合結(jié)果都較好。再通過兩種模型預測2012～2015年的人口數(shù)據(jù)，具體如表5、表6、表7所示，擬合圖像如圖4、圖5、圖6所示。

表5 馬爾薩斯模型對2012～2015年的人口預測結(jié)果

圖4 馬爾薩斯模型2001～2015年的擬合圖像

表6 灰色預測模型對2012～2015年的人口預測結(jié)果

圖5 灰色預測模型2001～2015年的擬合圖像

表7 兩種模型對2012～2015年的人口預測結(jié)果的最大殘差和相對誤差

從圖表和預測結(jié)果可知，孝感市的人口在2012～2015年的人口總數(shù)預測上，馬爾薩斯模型較差，而灰色預測模型相對較好。而在2001～2015年這個整體模型擬合上，馬爾薩斯模型不能準確擬合出孝感市人口的變化趨勢，導致偏差越來越大，而灰色預測模型擬合出了人口的變化趨勢，模型走向和實際人口走向大致相同，預測的相對較為準確。

總體上兩種模型在收集數(shù)據(jù)和操作難度上，馬爾薩斯模型操作難度相對簡單，但需要相對較多的數(shù)據(jù)才能更好地擬合人口曲線，而灰色預測模型操作難度比較高，但所需數(shù)據(jù)量少，能通過較少的數(shù)據(jù)擬合出人口數(shù)據(jù)的變化趨勢。

在預測精度上，從模型中可以看出，隨著人口的持續(xù)增長，孝感市到了2010年，由于人口老齡化和就業(yè)壓力問題使得孝感市的人口開始減少，人口與自然的矛盾變得更激烈，人口總數(shù)接近飽和，此后的人口將不會呈指數(shù)增長，會以一個上下波動的趨勢緩慢增長，所以以后的人口預測馬爾薩斯模型將不再準確，只有灰色預測模型能相對較好的預測后面幾年的人口數(shù)據(jù)，而馬爾薩斯模型在人口不受環(huán)境因素的約束自由增長時更加適用，而要做長期的預測則需要通過建立灰色預測模型來擬合人口總數(shù)的曲線，掌握人口變化的趨勢，才能更準確地預測后幾年甚至更遠時間的人口數(shù)量。

3 討論和展望

綜上可以看出，不同的人口預測方法最后的預測值差別很大，不同的時間段，各個模型的擬合程度也大不相同，而且樣本數(shù)據(jù)的選取也對最后的模型預測結(jié)果產(chǎn)生了較大的影響，不同的地區(qū)人口數(shù)據(jù)變化趨勢不盡相同，同一種預測方法在不同的地區(qū)會產(chǎn)生不同的模型和不同的結(jié)果。馬爾薩斯模型可以反映出短期到中期內(nèi)的人口增長趨勢，當人口的自然增長率比較穩(wěn)定時，可以采用馬爾薩斯模型來進行人口預測，而灰色預測模型所需數(shù)據(jù)量小，同時增加了樣本數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，預測精度也較高，適合在人口數(shù)據(jù)波動較大或數(shù)據(jù)量較少時使用，并可以對長期的人口數(shù)據(jù)進行預測?？傊捎谟绊懭丝跀?shù)據(jù)的因素過多，導致了人口數(shù)據(jù)變化的不規(guī)律性，要根據(jù)所選取的樣本數(shù)據(jù)來決定應該選用的人口預測方法，如果能將各種預測方法結(jié)合起來將會使預測效果更加理想。

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［4］司守奎，孫璽菁.數(shù)學建模應用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2012.

Application of Two Kinds of Population Forecasting Methods in Population Forecast of Xiaogan City

SUN Peng
（College of Mathematics and Statistics，Hubei Institute of Technology，Xiaogan，Hubei 432000，China）

This paper uses the Malthusian population model and the gray forecasting GM （1，1）model to analyze the demographic data of Xiaogan City in Hubei Province from 2001 to 2011，and then the population data from 2012 to 2015 is validated. The paper compares the characteristics and applicability of the two methods，and obtain the relative population forecasting model.

population forecasting method；application；Xiaogan city

C921.2

A

2095-980X（2017）02-0099-03

2017-02-20

孫鵬（1995-），男，湖北恩施人，大學本科，主要研究方向：應用統(tǒng)計學。