董莉娜++李倩

【摘要】通過(guò)對(duì)我國(guó)1949年至2012年共49年的人口數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，分別運(yùn)用確定性因素分解法和ARIMA模型兩種不同的時(shí)間序列分析方法，對(duì)我國(guó)人口的變化規(guī)律進(jìn)行了擬合研究。

【關(guān)鍵詞】時(shí)間序列分析 確定性因素分解法建模 ARIMA模型

人口過(guò)多一直是我國(guó)最重要的問(wèn)題之一，合理的人口規(guī)模是經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、資源和環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展的有力保證，因此了解我國(guó)人口規(guī)模發(fā)展的現(xiàn)狀和預(yù)測(cè)未來(lái)人口規(guī)模發(fā)展的趨勢(shì)，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。早在十八世紀(jì)末，英國(guó)人馬爾薩斯在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)資料后，利用微分方程建立了Logistic人口模型；國(guó)內(nèi)眾多學(xué)者也對(duì)人口預(yù)測(cè)方面的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行許多研究。本文通過(guò)對(duì)我國(guó)1949年至2012年共49年的人口數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，分別運(yùn)用確定性因素分解法和ARIMA模型兩個(gè)不同的時(shí)間序列分析方法，對(duì)我國(guó)人口的變化規(guī)律進(jìn)行了擬合研究。

時(shí)間序列是指同一現(xiàn)象的觀測(cè)值按不同時(shí)間排列的數(shù)字序列。在早期的時(shí)間序列分析中，通常是通過(guò)歷史數(shù)據(jù)的比較和圖形的觀察來(lái)揭示現(xiàn)象隨時(shí)間變化的規(guī)律，即所謂的描述性時(shí)序分析。傳統(tǒng)時(shí)間序列分析在實(shí)踐中的應(yīng)用主要是確定性時(shí)間序列分析方法，包括指數(shù)平滑法、移動(dòng)平均法、時(shí)間序列分解法等等。但在現(xiàn)實(shí)生活中，許多不確定性因素的影響越來(lái)越嚴(yán)重，已經(jīng)引起人們的重視。博克斯和詹金斯（1970）提出了一種基于隨機(jī)理論的時(shí)間序列分析方法，使時(shí)間序列分析理論達(dá)到了一個(gè)新的高度，大大提高了預(yù)測(cè)的精確度。對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列來(lái)說(shuō)，基本模型有：自回歸（AR）模型、移動(dòng)平均（MA）模型以及自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型等。對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列，基本模型為：求和自回歸移動(dòng)平均模型以及殘差自回歸模型等。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和信號(hào)處理技術(shù)的迅速發(fā)展，時(shí)間序列分析的理論和方法越來(lái)越完善。

運(yùn)用確定性因素分解法建立模型時(shí)，克萊默分解定理認(rèn)為任何時(shí)間序列都可以分解為兩部分：一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定趨勢(shì)的一部分，另一部分是平穩(wěn)零均值誤差。由于1949年到1970年間的總?cè)丝跀?shù)據(jù)有部分缺失，所以只選擇1970年到2012年的人口數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。處理過(guò)程中以1970年為時(shí)間起點(diǎn)，即t=1。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，總?cè)丝谛蛄袌D有明顯的線(xiàn)性趨勢(shì)，嘗試擬合一元線(xiàn)性直線(xiàn)。

建立ARIMA模型時(shí)，先將時(shí)間序列從Excel表中讀入R中，做總?cè)丝诘内厔?shì)圖，觀察趨勢(shì)及平穩(wěn)性。時(shí)序圖清晰地顯示每年總?cè)丝诔尸F(xiàn)出明顯的逐年遞增的趨勢(shì)，顯然該序列一定不是平穩(wěn)序列。同時(shí)單位根檢驗(yàn)的結(jié)果顯示，統(tǒng)計(jì)量的P值大于0.05，拒絕平穩(wěn)這一原假設(shè)，所以可以認(rèn)為我國(guó)總?cè)丝谛蛄酗@著非平穩(wěn)。顯然，這個(gè)序列的DF檢驗(yàn)結(jié)果與根據(jù)時(shí)序圖得到的直觀判斷完全一致。先對(duì)總?cè)丝谛蛄羞M(jìn)行一階差分，觀察發(fā)現(xiàn)一階差分序列仍然是不平穩(wěn)序列，再對(duì)總?cè)丝谛蛄羞M(jìn)行二階差分，時(shí)序圖和單位根檢驗(yàn)結(jié)果表明二階差分序列是平穩(wěn)序列。建立二階差分序列的ARMA模型.。ACF為四步截尾的，PACF收斂的速度能達(dá)到要求，嘗試擬合MA（4）模型。先對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行估計(jì)和顯著性檢驗(yàn)，根據(jù)輸出結(jié)果計(jì)算T統(tǒng)計(jì)量值（由參數(shù)除以標(biāo)準(zhǔn)差而得），MA（1）參數(shù)的T統(tǒng)計(jì)量值：-0.4502/0.1396=-3.22492837，MA（2）參數(shù)的T統(tǒng)計(jì)量值：-0.2038/0.1571=-1.29726289，MA（3）參數(shù)的T值：0.0946/0.1470 =0.64353741，MA（4）參數(shù)的T值0.4406/0.1460=-3.01780822，顯然MA（1）和MA（4）參數(shù)均在5%的顯著水平下拒絕零假設(shè)。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果去掉不顯著的變量，建立疏系數(shù)模型，MA（1）和MA（4）參數(shù)均在5%的顯著水平下拒絕零假設(shè)。為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裼糜诮Y(jié)果的預(yù)測(cè)，對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步的適應(yīng)性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明：LB統(tǒng)計(jì)量的P—值多數(shù)大于0.05（或其ACF均落在區(qū)間內(nèi)），說(shuō)明殘差序列無(wú)自相關(guān)，模型為適應(yīng)的。利用觀察值數(shù)據(jù)和前面得到的擬合數(shù)據(jù)，進(jìn)行預(yù)測(cè)。

模型一中，擬合模型Xt=85342.930+1273.835t+εt

模型二中，綜合前面的差分運(yùn)算，實(shí)際上是對(duì)原序列擬合疏系數(shù)模型ARIMA（0，2，（1，4））。

參考文獻(xiàn)

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[3][美]Jonathan D.Cryer，Kung-Sik Chan著，潘紅宇等譯.時(shí)間序列分析及應(yīng)用（原書(shū)第二版）.機(jī)械工業(yè)出版社，2011.1

作者簡(jiǎn)介：董莉娜（1993-），女，山西運(yùn)城人；李倩（1993-），女，山西長(zhǎng)治人，山西財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)碩士研究生，研究方向：市場(chǎng)調(diào)查與分析。