☉浙江杭州市富陽區(qū)永興中學 許靈嘉

初中數(shù)學拓展性課程的“哺育”與“反哺”
——“平方根”與“無理數(shù)的由來”對比研究

☉浙江杭州市富陽區(qū)永興中學 許靈嘉

拓展性課程開發(fā)的興起是伴隨著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革出現(xiàn)的新生事物.2015年《浙江省教育廳關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導意見》指出：義務(wù)教育課程分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程.基礎(chǔ)性課程指國家和地方課程標準規(guī)定的統(tǒng)一學習內(nèi)容；拓展性課程指學校提供給學生自主選擇的學習內(nèi)容，是對基礎(chǔ)性課程的補充與拓展.

筆者認為，基礎(chǔ)性課程與拓展性課程猶如大樹與枝葉.基礎(chǔ)性課程提供主干作用，滋養(yǎng)著拓展性課程，對拓展性課程的開發(fā)和實施起到指導作用；拓展性課程豐富了基礎(chǔ)性課程的內(nèi)容，也為基礎(chǔ)性課程的學習服務(wù).那么，如何運用基礎(chǔ)性課程指導拓展性課程的設(shè)計、開發(fā)，拓展性課程又如何為基礎(chǔ)性課程服務(wù)呢？筆者通過一節(jié)成功的基礎(chǔ)性課程“平方根”教學與筆者在所在學校開設(shè)的拓展性課程“數(shù)學史拾趣”中“無理數(shù)的由來”一課進行對比探究.

一、明月松間照：基礎(chǔ)性課程對拓展性課程的“哺育”作用

（一）基礎(chǔ)性課程教學是拓展性課程教學的“指南針”.

基礎(chǔ)性課程的教學經(jīng)過長時間的研究、實踐，有較為完善的體系，而拓展性課程作為新生事物，其教學處于探索階段.筆者認為，拓展性課程不是一門“想怎么教就怎么教”的課程，它也需要形成教學方法，基礎(chǔ)性課程的教學為其提供了“指南針”作用.

1.教學程序.

在“平方根”教學中，筆者運用的是概念教學的一般程序：

圖1 “平方根”教學程序

在“無理數(shù)的由來”教學中，筆者借鑒“平方根”的教學程序進行：

圖2 “無理數(shù)的由來”教學程序

筆者在拓展性課程“無理數(shù)的由來”中運用了基礎(chǔ)性課程“平方根”概念教學的教學程序，使教學過程完整、有序.

兩者的對比研究：

表1：“平方根”與“無理數(shù)的由來”教學程序?qū)Ρ缺?/p>

由此可見，基礎(chǔ)性課程的教學程序為拓展性課程提供指導，而在具體的程序中，基礎(chǔ)性課程更注重知識的理解和應(yīng)用，拓展性課程可以更注重知識的由來發(fā)展及趣味性體現(xiàn).

2.教學方法.

“平方根”概念辨析環(huán)節(jié)教學實錄：

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫作a的平方根.如果x2=a，則x叫作a的平方根.

師：在這個定義里，你還能讀出更多的信息來嗎？你覺得這里的a是一個什么樣的數(shù)？

生1：a是一個非負數(shù).

師：a為什么是非負數(shù)？

生1：負數(shù)的平方是正數(shù)，正數(shù)的平方依然是正數(shù)，還要考慮0的平方是0，所以一個數(shù)的平方一定是非負數(shù).

師：非常厲害！進一步，這里還有一個字母，你認為x是什么情況？

生2：x可能是正數(shù)、負數(shù)或0.

師：是不是同時出現(xiàn)的？

生3：不是，正數(shù)有兩個平方根，一個是正數(shù)，一個是負數(shù)，0只有一個平方根，就是0.

師：你的意思就是根據(jù)a的取值分情況來看.x是一個數(shù)或者是兩個數(shù)，如果是兩個數(shù)，一正一負什么關(guān)系？

生（七嘴八舌）：互為相反數(shù).

師：看，我們又分析得到了兩個字母的取值問題，所以我們要善于發(fā)現(xiàn)概念背后的隱含信息，把它讀出來.

筆者在“平方根”的概念教授過程中花了大量的時間在概念的剖析上，以概念中的兩個字母為切入點，分析兩個字母的取值，得到了概念的隱含條件且順其自然地得到了平方根的性質(zhì).這樣的概念教學是學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動加以建構(gòu)得到的，體現(xiàn)了學生的主體地位，又深入了概念本質(zhì).這為學生以后的概念學習提供了方法指導，既讓學生對數(shù)學知識有了深刻的認知，又培養(yǎng)了學生數(shù)學學習的能力.

由此可見，基礎(chǔ)性課程的教學已有理論支持和方法指導，在日常的教學中，一線教師已基本掌握基礎(chǔ)性課程的教學方法，所以拓展性課程的教學需要借鑒、依據(jù)基礎(chǔ)性課程的教學方法.比如，概念教學要深入概念本質(zhì)，不能因為是拓展性課程就一帶而過；拓展性課程也需要以學生為主體，使學生根據(jù)已有知識經(jīng)驗主動地對知識進行建構(gòu)；基礎(chǔ)性課程需要培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，拓展性課程更是學生提出、分析、解決問題的最好平臺.

（二）數(shù)學思想方法的滲透是拓展性課程的“風向標”.

初中數(shù)學蘊含著大量的數(shù)學思想與方法，這些是數(shù)學學習最本真的東西，在基礎(chǔ)性課程中隱性地體現(xiàn)其中.

“平方根”教學片段實錄1：

師：乘方的逆運算是什么？我們一起來研究一下.首先我們來回憶一下乘方運算，xn中，x稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)，整個結(jié)果稱為冪.在乘方運算中，比如，x的平方、立方、四次方……如果要一一研究，特別難，那我們怎么辦？

生（齊）：挑一個.

師：你挑哪個？

生（齊）：平方，簡單.

“平方根”教學片段實錄2：

師：乘方的逆運算有嗎？我們先來看加法的逆運算是怎么產(chǎn)生的.加法運算中有加數(shù)、和，已知一個加數(shù)與和，求另一個加數(shù)，產(chǎn)生了減法.那么乘除呢？

生1：乘法運算中已知一個因數(shù)和積，求另一個因數(shù)，產(chǎn)生了除法.

師：那么乘方呢？加法運算中我們把一個加數(shù)變成問號產(chǎn)生逆運算，乘法運算中我們把一個因數(shù)變成問號產(chǎn)生逆運算，乘方運算中我們把什么變成問號？

生（齊）：底數(shù).

師：求指數(shù)的運算我們高中將學習——對數(shù)，求底數(shù)的運算我們今天來學習，也就是乘方的逆運算——開方.

“平方根”教學片段實錄3：

觀察思考：兩種運算有什么不同？

圖3

“無理數(shù)的由來”教學片段實錄1：

師：通過計算我們發(fā)現(xiàn)，我們可以得到一系列越來越接近的近似值，但是不能做到底，這與我們學過的很像，它們都是無限不循環(huán)的小數(shù)，我們把這種無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).你還能舉出類似的無理數(shù)嗎？

“無理數(shù)的由來”教學片段實錄2：

(二)離合詞“A了個B”與網(wǎng)絡(luò)語“A了(嘞)個B”在不同的語體中使用。前者一般在書面語體中或是在正規(guī)場合的口語中出現(xiàn)。而后者則主要出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)即時工具聊天，網(wǎng)絡(luò)游戲或者網(wǎng)絡(luò)論壇中，不過現(xiàn)在也開始“入侵”到非正規(guī)場合的口語中，用以表示幽默和時髦。如：

兩者對比研究：“平方根”三個教學片段分別在教學過程中滲透了從一般到特殊的數(shù)學研究方法、類比的數(shù)學思想、圖表探究法等數(shù)學思想方法，基礎(chǔ)性教學對數(shù)學思想方法的滲透可見一斑.“無理數(shù)的由來”中，從特殊的的研究、得到一般的無理數(shù)的概念，滲透了從特殊到一般的數(shù)學思想方法；模仿是無理數(shù)的證明方法證明是無理數(shù)運用了類比思想；又由特殊的無理數(shù)證明可以歸納出證明一般的“開不盡方”產(chǎn)生的無理數(shù)的方法.

顯而易見，是基礎(chǔ)性課程對數(shù)學思想方法的滲透方式指導著拓展性課程如何在教學過程中體現(xiàn)數(shù)學思想方法.而拓展性課程的教學更是滲透數(shù)學思想方法的最好平臺.

（三）短片式閱讀為拓展性課程提供“活水源”.

在“平方根”教學中，涉及根號的學習，筆者通過查閱根號的演變歷史，在教學中以短片式閱讀的方式向?qū)W生介紹了根號的寫法：

平方根號曾經(jīng)用拉丁文“Radix”（根）的首尾兩個字母合并起來表示.1840年前后，德國人用一個點“.”來表示平方根.1525年，路多爾夫在他的代數(shù)著作中，首先采用了“”表示根號，“”是由拉丁字母“r”變化而來的.十七世紀初葉，法國數(shù)學家笛卡兒在他的《幾何學》中，第一次使用現(xiàn)今的“這是出于什么考慮呢？有時候被開方數(shù)的項數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項連起來，因此我們的根號書寫中橫線長短要恰當.

這樣的教學素材為筆者的拓展性課程的開展提供了“活水源”，在“無理數(shù)的由來”一課中，筆者將“根號的歷史”作為一塊內(nèi)容展開進行教學：

根號的由來

古時候，埃及人用記號“┌”表示平方根.印度人在開平方時，在被開方數(shù)的前面寫上ka.

1840年前后，德國人用一個點“.”來表示平方根，兩點“..”表示4次方根，三個點“...”表示立方根，比如，.3、..3、...3就分別表示3的平方根、4次方根、立方根.

與此同時，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個字母的大寫R來表示開方運算，并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個字母q，或“立方”的第一個字母c，來表示開的是多少次方.

直到十七世紀，法國數(shù)學家笛卡爾（1596—1650年）第一個使用了現(xiàn)今用的根號“在一本書中，笛卡爾寫道：“如果我想求a2+b2的平方根，就寫作，如果想求a3+b3+abc的立方根，則寫作求

這是出于什么考慮呢？有時候被開方數(shù)的項數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項連起來，前面放上根號就為現(xiàn)時根號形式.

立方根符號出現(xiàn)得很晚，一直到十八世紀，才在一書中看到符號的使用，比如25的立方根用表示.以后，諸如等形式的根號漸漸使用開來.

由此可見，一種符號的普遍采用是多么地艱難，它是人們在悠久的歲月中，經(jīng)過不斷改良、選擇和淘汰的結(jié)果，它是數(shù)學家們集體智慧的結(jié)晶，而不是某一個人憑空臆造出來的，也絕不是從天上掉下來的.

兩者對比研究：基礎(chǔ)性課程的數(shù)學史滲透或短片式閱讀的呈現(xiàn)方式更為簡潔，它所起到的作用主要是引入，激發(fā)學生一定的學習興趣，拓寬學生的視野.“平方根”中根號的演變歷史介紹另一用途是由此強調(diào)了根號書寫中橫線的用處及寫法.基礎(chǔ)性課程介紹的這些數(shù)學史、短片式閱讀往往可以成為拓展性課程的設(shè)計開發(fā)的“活水源”，拓展性課程可以在此基礎(chǔ)上對內(nèi)容、形式進行拓展，形成自身的教學內(nèi)容.

基礎(chǔ)性課程的依據(jù)主要是課程標準和教材.由于課程改革，目前的教材中有大量的短片式閱讀為拓展性課程的開發(fā)提供了“活水源”.筆者所在學校將浙教版數(shù)學教材提供的短片式閱讀進行了簡單整理，這些基礎(chǔ)性課程的內(nèi)容已經(jīng)成為或即將成為開展拓展性課程教學的“活水源”，運用到學生開設(shè)的拓展性課程的開發(fā)和實施中.

1.課題學習與設(shè)計題.

數(shù)學來源于生活又服務(wù)于生活.現(xiàn)實生活中有大量與時代發(fā)展同步的數(shù)學素材，開發(fā)這些數(shù)學素材應(yīng)用于拓展性課程的教學，既可以加深學生對數(shù)學知識的理解，又能提升學生的數(shù)學應(yīng)用意識.教材中的課題學習與設(shè)計題為我們提供了范例.

表2

2.探究活動或習題.

教材中的探究活動或習題往往與所學內(nèi)容相關(guān)，有一定的探究價值又具有一定的趣味性，由此可以開發(fā)由學生主體參與的問題發(fā)現(xiàn)、探究、解決、反思、歸納等形式的拓展性課程，通過運用數(shù)學的基本思想解決問題，讓學生感悟數(shù)學思想，歸納和形成解題方法和策略，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

表3

3.數(shù)學史閱讀.

數(shù)學史是研究數(shù)學思想和方法產(chǎn)生、發(fā)展及其規(guī)律的科學，有關(guān)的數(shù)學的重大歷史事件、重要的數(shù)學成果及其研究過程、數(shù)學大師的介紹等都能有機融入數(shù)學課程.數(shù)學史的滲透有助于學生用發(fā)展的眼光看數(shù)學、用堅毅的品質(zhì)研究數(shù)學、用大家的眼光理解數(shù)學.

表4

七年級下冊第135頁閱讀材料八年級上冊第21頁閱讀材料實驗與歸納推理實驗與歸納推理費馬和他的猜想費馬大定理八年級上冊第79頁閱讀材料從勾股定理到圖形面積關(guān)系的發(fā)展勾股定理探索八年級上冊第125頁閱讀材料八年級下冊第129頁閱讀材料九年級上冊第52頁閱讀材料笛卡爾笛卡爾與直角坐標系有趣的拼圖移動與剪拼機會均等有趣的概率游戲九年級上冊第94頁閱讀材料生活離不開圓九年級上冊第101頁閱讀材料九年級上冊第122頁閱讀材料九年級上冊第159頁閱讀材料美妙的鑲嵌黃金分割精彩的分形生活中的圓與數(shù)學中的圓數(shù)學的構(gòu)圖美學

二、清泉石上流：拓展性課程對基礎(chǔ)性課程的”反哺“作用

“有興趣的同學可以課外自己去研究.”這是我們數(shù)學教師提及教材中的探究活動、設(shè)計題、閱讀材料或布置課外實踐活動作業(yè)時常用的一句話.試問：學生課外真的去“研究”了嗎？有多少學生會去“課外研究”？他們又是否有時間、有能力去自行研究呢？作為教師，我們需要關(guān)注這些問題，真正為學生進行“課外探究”創(chuàng)造條件.拓展性課程為這樣的”課外探究“創(chuàng)造了條件.拓展性課程由基礎(chǔ)性課程“哺育”，又“反哺”基礎(chǔ)性課程的教學和學習.

（一）激發(fā)學生的興趣和成就動機.

有趣的數(shù)學實驗、生動的數(shù)學探究、精彩的數(shù)學歷史等都可以很大程度上激發(fā)學生的學習興趣，讓學生明白數(shù)學并不是一門枯燥呆板的學科，而是一門不斷發(fā)展、可以不斷探究的生動有趣的學科.在拓展性課程的學習中，評價可以多元化，同時，實驗、探究、閱讀等過程中每個人都有收獲，這使學生獲得數(shù)學學習的成就感，從而由于這種成就動機而更加熱愛數(shù)學學習.

（二）促進學生的數(shù)學思考和理解.

新課程強調(diào)讓學生經(jīng)歷數(shù)學思維過程，體驗解決問題策略的多樣性.由于課程內(nèi)容、時間的限制，基礎(chǔ)性課程無法給學生提供調(diào)查、探究、實驗等較大型數(shù)學課題學習的平臺，比如，調(diào)查“初中生最喜愛的電視節(jié)目”，七巧板、魔法、折紙等實驗，拓展性課程可以打破這種局限，提供這一平臺，讓學生參與問題的發(fā)現(xiàn)、探究、解決、反思、歸納等過程，促進學生的數(shù)學思考和對數(shù)學問題的理解.

（三）幫助學生形成正確的數(shù)學觀.

數(shù)學并不是單純的知識和習題，并不是坐在教室里耳朵聽、動腦思考、動筆做的課程，數(shù)學還有對問題的探究，還有調(diào)查和數(shù)據(jù)整理，還有生活的運用，還有美圖的構(gòu)建，還有游戲，還有理財?shù)?學習數(shù)學并不是學會做題和考試，還需要走出課堂深入生活.數(shù)學定理、公式并不是寫在書本上然后去記憶、背誦，還需要用嚴謹?shù)膽B(tài)度和思維方式去探究、發(fā)現(xiàn)，還需要學會提出問題、分析問題、解決問題等.拓展性課程的設(shè)置可以通過這些方式幫助學生形成正確的數(shù)學觀.

（四）發(fā)展理性精神和創(chuàng)造性思維.

在數(shù)學閱讀中，學生可以知道當“萬物皆數(shù)”成為畢達哥拉斯學派的信條時，希伯索斯卻提出了無理數(shù)的存在，成為“叛逆者”而被葬身大海，由此產(chǎn)生了數(shù)學史上第一次數(shù)學危機；芝諾悖論和理發(fā)師悖論分別產(chǎn)生了數(shù)學史上的第二次、第三次數(shù)學危機.數(shù)學史的拓展性課程中可以介紹數(shù)學史上三次危機的產(chǎn)生與解決，介紹悖論，介紹未被證明的定理等，這些對基礎(chǔ)性課程的補充讓學生用發(fā)展的眼光看數(shù)學，鼓勵學生鍥而不舍地追求真理并不斷創(chuàng)新.

1.浙江省教育廳.浙江省教育廳關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導意見［Z］.浙教基〔2015〕36號.

2.王冰.教材分析——從宏觀到微觀［J］.中學數(shù)學教學參考，2011（5）.

3.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.李紅婷.課改新視域：數(shù)學史走進新課程［J］.課程·教材·教法，2005（9）.