顧曉輝　楊紹普　申永軍　劉進(jìn)志

摘要：研究了2個(gè)諧波激勵(lì)作用下含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子的一類組合共振，利用多尺度法得到了2ω1+ω2型組合共振的一次近似解析解，分析了定常解的穩(wěn)定性。應(yīng)用奇異性理論研究了幅頻響應(yīng)分岔方程，得到了開折參數(shù)平面的轉(zhuǎn)遷集和所有區(qū)間上分岔曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。最后通過(guò)數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)組合共振幅頻響應(yīng)的影響。研究表明：分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)即具有阻尼特性又具有剛度特性，選擇合理的分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)可以有效改善系統(tǒng)的響應(yīng)特性。

關(guān)鍵詞：Duffing振子；分?jǐn)?shù)階微分；組合共振；多尺度法；奇異性理論

中圖分類號(hào)：0322；0313

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523（2017）01-0028-05

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.004

引言

分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展至今已有超過(guò)300年的歷史，近些年來(lái)，基于眾多學(xué)者在其定義、性質(zhì)、計(jì)算方法等方面的不懈努力，分?jǐn)?shù)階微積分正逐步由抽象的數(shù)學(xué)概念走向工程應(yīng)用，尤其在描述黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系方面和控制工程領(lǐng)域深受關(guān)注。

在動(dòng)力學(xué)方面，目前主要集中于含分?jǐn)?shù)階微積分項(xiàng)的動(dòng)力系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究，wahi應(yīng)用平均法研究了含分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的響應(yīng)特征，發(fā)現(xiàn)了一些分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特有現(xiàn)象。shen提出了等效線性阻尼和等效線性剛度的概念，分析了含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的線性、非線性振子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Rossikhin基于R-L定義，應(yīng)用多尺度法推導(dǎo)了Duffing振子的二階近似解，并指出了一些學(xué)者的錯(cuò)誤觀點(diǎn)。Du研究了一類分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問題及其求解方法。GUO提出一種改進(jìn)的諧波平衡法得到了分?jǐn)?shù)階Van der Pol振子的近似解析解。楊建華應(yīng)用諧波平衡法分析了一類分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)在周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)的近似解。chen、孫春燕研究了隨機(jī)激勵(lì)作用下分?jǐn)?shù)階Duffing振子的幅頻特性。廖少鍇結(jié)合Newmark法和Zhang-Shimizu法推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的數(shù)值計(jì)算方法，并研究了含平方非線性分?jǐn)?shù)階振子的動(dòng)力學(xué)行為。cao采用數(shù)值積分法，結(jié)合相圖、龐加萊截面圖、分岔圖等分析了分?jǐn)?shù)階阻尼對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的影響。

通過(guò)以上分析可發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多針對(duì)單頻激勵(lì)或隨機(jī)激勵(lì)展開討論，而在實(shí)際問題中，許多工程結(jié)構(gòu)或部件會(huì)受多頻激勵(lì)作用的影響，多頻激勵(lì)作用下的系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。

4.系統(tǒng)參數(shù)的影響

在上述分析中，開折參數(shù)落在不同的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)有不同的動(dòng)力學(xué)行為，可以為系數(shù)設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。然而開折參數(shù)并不是獨(dú)立的系統(tǒng)參數(shù)，而是系統(tǒng)參數(shù)的組合，下面通過(guò)分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)研究系統(tǒng)參數(shù)的影響。

選取一組基本參數(shù)u=1，ωo=1，α=1，β=2，p=0.5，B1=1，B2=2。根據(jù)式（13）可以得到系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻曲線如圖3中L2所示，其中實(shí)線為穩(wěn)定解，虛線為不穩(wěn)定解，點(diǎn)線為骨架曲線。無(wú)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)（即β=0時(shí)）的整數(shù)階系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻曲線如圖3中L1所示。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)既影響了系統(tǒng)的剛度特性，使骨架曲線右移，共振頻率增大，又影響了系統(tǒng)的阻尼特性，使共振峰值減小，即分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)既具有剛度特性又具有阻尼特性，對(duì)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)有重要影響。

圖4給出了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，p=0時(shí)，系統(tǒng)具有最大的共振頻率和共振峰值，即系統(tǒng)的等效剛度最大，等效阻尼最小；而p=1時(shí)，系統(tǒng)具有最小的共振頻率和共振峰值，即系統(tǒng)的等效剛度最小，等效阻尼最大。說(shuō)明當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p→0時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)幾乎等同于線性剛度的作用；當(dāng)p→1時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)幾乎等同于線性阻尼的作用，這與分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的本質(zhì)保持一致。

圖5和6給出了線性阻尼系數(shù)和非線性項(xiàng)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，與整數(shù)階系統(tǒng)類似，線性阻尼系數(shù)并不影響幅頻曲線的彎曲程度，只影響共振峰值的大小，阻尼越大，峰值越小。而非線性項(xiàng)系數(shù)既影響共振頻率又影響共振峰值，非線性項(xiàng)系數(shù)越大，幅頻曲線越彎曲。與分?jǐn)?shù)階項(xiàng)系數(shù)不同的是，通過(guò)加大非線性項(xiàng)系數(shù)，不會(huì)改善系統(tǒng)的響應(yīng)特性。

5.結(jié)論

本文應(yīng)用多尺度法和奇異性理論分析了2個(gè)諧波激勵(lì)作用下含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子的一類組合共振，得到了系統(tǒng)的一次近似解，分析了定常解的穩(wěn)定性?；诜l響應(yīng)，得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分岔方程的轉(zhuǎn)遷集和對(duì)應(yīng)的分岔圖。通過(guò)數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻特性曲線的影響，研究表明：分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)即具有阻尼特性又具有剛度特性，選擇合理的分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)可以有效改善系統(tǒng)的響應(yīng)特性。