秦玲 唐哲敏 程彬彬

摘??要：評定孔系自參考位置度時，沒有一般化的判別方法來裁定某個算法構(gòu)造或找到的誤差邊界是否滿足最小區(qū)域條件。針對這一問題，研究基于邊界點(diǎn)的孔系自參考位置度最小區(qū)域一般化判別方法。分析了孔系的測點(diǎn)集與誤差邊界的相對空間關(guān)系，建立了孔系位置度最小區(qū)域模型；分析了最小區(qū)域判別邏輯的基本數(shù)理形式及其基本推論；建立邊界點(diǎn)的基本運(yùn)動矩陣，并將最小區(qū)域的判別邏輯問題轉(zhuǎn)化為等效的基于矩陣的一般化判別方法。最后通過一個實(shí)例驗(yàn)證了提出的孔系自參考位置度最小區(qū)域一般化判別方法。

關(guān)鍵詞：判別方法??位置度??孔系??自參考??誤差評定

中圖分類號：TH161?????文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

A?Generalized?Discrimination?Method?for?the?Minimum?Zone?of?Self-Reference?Positional?Tolerance?of?the?Pattern?of?Holes

QIN?Ling1??TANG?Zhemin2*?CHENG?Binbin1

（1.?Guilin?Institute?of?Information?Technology，?Guilin，?Guangxi?Zhuang?Autonomous?Region，?541004?China;

2.?Guilin?University?of?Electronic?Technology，?Guilin，?Guangxi?Zhuang?Autonomous?Region，?541004?China）

Abstract：?When?evaluating?the?self-reference?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes，?there?is?no?generalized?discrimination?method?to?determine?whether?an?algorithm?construction?or?found?error?boundary?meets?the?condition?of?the?minimum?zone?or?not.?In?view?of?this?problem，?a?generalized?discrimination?method?for?the?minimum?zone?of?the?self-reference?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes?based?on?boundary?points?is?studied.?This?paper?analyzes?the?relative?spatial?relationship?between?the?measure?point?set?and?the?error?boundary?of?the?pattern?of?holes，?establishes?the?model?of?the?minimum?zone?of?the?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes，?analyzes?the?basic?mathematical?form?and?its?basic?inference?of?the?discriminant?logic?of?the?minimum?zone，?establishes?the?basic?motion?matrix?of?boundary?points，?transforms?the?discriminant?logic?problem?of?the?minimum?zone?into?an?equivalent?matrix-based?generalized?discrimination?method，?and?finally?uses?an?example?to?verify?the?proposed?generalized?discrimination?method?for?the?minimum?zone?of?the?self-reference?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes.

Key?Words：Discrimination?method;?Positional?tolerance;??Pattern?of?holes;??Self-reference;??Error?evaluation

孔系自參考位置度誤差是機(jī)械零部件的一項(xiàng)重要幾何誤差，通常用于保障以孔系安裝定位的零件的可裝配性及裝配精度，在相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中的嚴(yán)格評定方法是最小區(qū)域法[1-2]。幾何誤差最小區(qū)域的幾何判別條件比較復(fù)雜，國標(biāo)和ISO給出了給定方向上的兩條平行直線、兩個平行平面及圓柱的共計(jì)十余條幾何判別準(zhǔn)則，但并未列舉孔系位置度誤差的最小區(qū)域判別準(zhǔn)則。

為了減少形狀誤差的判別條件款項(xiàng)，丁喜波等和熊有倫從不同角度提出了基于幾何學(xué)的統(tǒng)一判別方法[3-5]，統(tǒng)一了各類形狀誤差的判別，但具體操作和計(jì)算仍較復(fù)雜，因此，目前幾何誤差的最小區(qū)域判別方法大多與具體評定算法相關(guān)。Ameta?G、肖歡等利用T-MAP等方法構(gòu)造的變動域凸包，可以借助計(jì)算幾何方法枚舉所有“頂點(diǎn)”的誤差區(qū)域并找出其中最小值，即判別方法為數(shù)值上的“區(qū)域最小”[6-7]，這類方法能準(zhǔn)確判定最小區(qū)域，但不適合測點(diǎn)較多的情況。自適應(yīng)虛擬量規(guī)法、旋轉(zhuǎn)投影法等基于被測要素的幾何特性來構(gòu)造邊界并搜索大小更合適的包容邊界，直至滿足最小區(qū)域的幾何判別條件[8-9]。閔浩晨、李新、LUO?J、王生懷等分別利用牛頓法、二分法等傳統(tǒng)優(yōu)化方法和差分進(jìn)化算法、混合教與學(xué)算法等智能優(yōu)化算法進(jìn)行幾何誤差評定，這些優(yōu)化算法的判別方法通常為兩次迭代間步長或函數(shù)值的變化較小[10-13]；當(dāng)出現(xiàn)爭議時，這類方法仍需要采用幾何判別方法裁定。

綜上所述，在經(jīng)常需要處理大量測點(diǎn)數(shù)據(jù)的當(dāng)下，還缺乏一種一般化的、程式化的最小區(qū)域判別方法，以便在出現(xiàn)評定爭議時裁定算法是否找到了最小區(qū)域。本團(tuán)隊(duì)近期研究了若干類型幾何誤差最小區(qū)域的一般化判別方法，通過分析邊界點(diǎn)與誤差區(qū)域之間的相對空間關(guān)系，建立邊界點(diǎn)的基本分析矩陣，嘗試解決了圓柱度、空間直線度誤差的一般化判別方法[14-15]。

孔系位置度誤差是機(jī)械零部件中典型、重要且比較復(fù)雜幾何誤差，為解決其最小區(qū)域判別問題，本文研究其基于邊界點(diǎn)矩陣的一般化的、程式化的判別方法。分析了圓柱測點(diǎn)集與最小區(qū)域邊界之間的空間關(guān)系以及最小區(qū)域成立條件的數(shù)理邏輯形式，并利用邊界點(diǎn)集矩陣的性質(zhì)提出一種最小區(qū)域的一般化判別方法。最后，通過一個評定實(shí)例驗(yàn)證了提出的孔系位置度一般化判別方法。

1?孔系位置度包容區(qū)域模型

1.1?孔系測點(diǎn)集與包容區(qū)域的相對方位

孔系位置度誤差包容區(qū)域是保持理想方向、位置的若干直徑相同的圓（柱），且每個圓（柱）都包容著相應(yīng)的孔心；孔系位置度誤差值為構(gòu)造的最小圓（柱）的大小。如圖1所示，當(dāng)孔系中各孔的位置不由其它幾何要素定義時，各孔位置的參考關(guān)系完全由自身決定，這時，孔系位置度是自參考的位置度?？紫底詤⒖嘉恢枚韧ǔＳ糜诒Ｕ弦钥紫蛋惭b定位的零部件的可裝配性及裝配精度。

如圖2所示，構(gòu)造孔系自參考位置度包容區(qū)域時，可以先建立XOY平面坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系上建立評定孔系位置度的孔系框架。對于孔系自參考位置度而言，孔系框架的幾何形狀是固定的，但方向、位置沒有外部參考物，因此，孔系框架是可以浮動的，具有在XOY平面內(nèi)的兩個平移自由度dX、dY和繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動dα。理想孔心可以描述為被測孔心Pi的集合{Pi|Pi=（Xi，Yi），i=1，2，…}。

如圖3所示，作為零部件的組成部分，各被測孔心可以視為剛體上的若干固定點(diǎn)，它們之間的相對位置是固定的；因?yàn)樽詤⒖嘉恢枚裙钜?guī)范沒有直接定義測點(diǎn)與參考系之間的關(guān)系，所以被測孔心集剛體{pi|pi=（xi，yi），i=1，2，…}也可以相對于XOY平面、相對于孔系框架浮動，被測孔心集剛體{pi}自由度方向?yàn)檠豿、y軸的平動dx、dy和繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動dβ。

如圖4所示，孔系框架、被測孔心集剛體都是可以浮動的，當(dāng)它們處于某個相對空間關(guān)系時，可以根據(jù)各被測孔心到孔系框架上相應(yīng)理想點(diǎn)的距離的最大值，作出相應(yīng)的孔心邊界。一定空間相對關(guān)系下，測點(diǎn)pi到孔系框架上相應(yīng)理想點(diǎn)Pi的距離為ri=|Pi-pi|，孔心邊界的半徑D=2max?ri。

孔系自參考位置度的值應(yīng)當(dāng)為孔系框架和被測孔心集剛體浮動過程中孔心邊界直徑的最小值Dmin。顯然，取決于孔系框架和被測孔心集剛體之間的相對空間位置，兩者只需要保持一個運(yùn)動、一個靜止即可。為便于分析計(jì)算，本文令孔系框架保持靜止，令被測孔心集剛體運(yùn)動。

當(dāng)按自由度方向調(diào)整被測孔心集剛體時，被測孔心pi的方位變化趨勢dpi如公式（1）和圖3所示。

其中：Rdβ為測點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換矩陣，E2×2為單位矩陣；自由度調(diào)整量極小，因此sin?dβ≈dβ，cos?dβ≈1，dβ·dβ≈0。

1.2?孔心邊界的變化趨勢

孔系框架和被測孔心集剛體有相對方位變化趨勢時，孔心邊界的大小變化趨勢僅受與孔心邊界接觸的被測孔心影響。如圖5所示，被測孔心pi到理想孔心Pi距離的變化趨勢dri，是dpi在孔心邊界法向Ni=[（Xi-xi）/ri，（Yi-yi）/ri]T上的投影，即dri=-dpi·Ni。將dpi表達(dá)式公式（1）代入投影公式，可以得到dri的代數(shù)表達(dá)式，如公式（2）所示：

為便于分析，可以將公式（2）中pi自由度運(yùn)動趨勢合記為運(yùn)動趨勢向量Ψ=[dx，dy，dβ]T，Ψ的系數(shù)合記為運(yùn)動系數(shù)向量Ai，如公式（3）所示。

將Ai、Ψ代入公式（2），可以得到dri的線性向量表達(dá)式，如公式（4）所示。

記G={g}為與孔心邊界接觸的被測孔心序號集，則孔心邊界變化趨勢dR=min?drg。代入公式（4），可以得到dR的向量表達(dá)式，如公式（5）所示。

2?孔系自參考位置度最小區(qū)域的表達(dá)

2.1?2 孔系自參考位置度最小區(qū)域的邏輯形式

孔系自參考位置度的最小區(qū)域可以一般性地描述為：被測孔心剛體與孔系框架間的相對方位已調(diào)整至最佳，相對方位發(fā)生任意改變時，在孔心邊界上至少存在一個被測孔心使孔心邊界不會更小。據(jù)此可以建立最小區(qū)域判別的基本邏輯形式，如公式（6）所示，其中，h∈G。

公式（6）是對于運(yùn)動趨勢向量Ψ的“求證”形式，不便于直接分析其是否成立。其互斥的否命題形式如公式（7）所示，是對于運(yùn)動趨勢向量Ψ的“求解”形式，有利于進(jìn)行下一步數(shù)學(xué)分析。因此，本文建立基于公式（7）的最小區(qū)域判別：如果公式（7）成立，則孔心邊界不是最小區(qū)域，否則，孔心邊界是最小區(qū)域。

記A=[…，AgT，…]T為孔心邊界上被測孔心集的運(yùn)動系數(shù)矩陣，b=[…，drg，…]T為運(yùn)動常數(shù)項(xiàng)，則公式（7）等價于公式（8）。

2.2?基于邏輯表達(dá)式的一般化判別方法

設(shè)孔心邊界上被測孔心數(shù)目為m，rank（A）=r，則Ag共有m個，A共有m行。當(dāng)rank（[A，b]）=rank（A）=r時，AΨ=b總是有解，即，公式（8）總是成立，孔心邊界不是最小區(qū)域。下面討論rank（[A，b]）>r時公式（8）的成立條件。

記B=[…，b，…]T，則公式（7）中的不等式組{AgΨ<b}在任意給定超平面AΨ=B上的基本解集Fj={Ψ}j不超過Cmr個，相關(guān)定義如下：

定義1：在AΨ=B中任選r個線性無關(guān)的運(yùn)動系數(shù)向量Ag、對應(yīng)的drg及常數(shù)項(xiàng)b，分別集合成矩陣Ar、常數(shù)項(xiàng)br及常數(shù)項(xiàng)Br；線性方程組ArΨ=Br的解集Fj={Ψ}j就是不等式組{Au，vΨ<b}在超平面AΨ=B上的一個基本解集；其余的運(yùn)動系數(shù)向量Ag及對應(yīng)的drg分別集合成矩陣As和常數(shù)項(xiàng)bs，s∪r=G。

由公式（11）可知，可以先求解方程ArΨ=Br的一個解Ψ，然后考察Ψ是否滿足P2（Ψ），即可判斷相應(yīng)的基本解集Fj={Ψ}是否為有效基本解集。

如果Ψ滿足P2（Ψ），則公式（8）成立，即公式（7）成立，孔心邊界并非最小區(qū)域；如果Cmr個ArΨ=Br的特解Ψ都不滿足P2（Ψ），則Cmr個ArΨ=Br的任意解Ψ都不滿足P2（Ψ），則公式（8）恒不成立，即公式（7）不成立而公式（6）成立，孔心邊界是最小區(qū)域。

綜上所述，孔系自參考位置度的最小區(qū)域統(tǒng)一判別方法的基本流程如圖6所示。

3?實(shí)例驗(yàn)證

本節(jié)以仿真法蘭盤的一組測點(diǎn)數(shù)據(jù)為對象，用優(yōu)化法評定仿真孔系的自參考位置度，并用本文提出的方法辨別優(yōu)化法是否準(zhǔn)確構(gòu)建了自參考位置度的最小區(qū)域，以驗(yàn)證提出的判定方法。

3.1?仿真法蘭盤的自參考位置度評定

本例根據(jù)法蘭盤孔系公差規(guī)范（圖7）用Matlab對法蘭盤孔系進(jìn)行仿真，每個孔16個仿真點(diǎn)，如圖8所示；測點(diǎn)原始數(shù)據(jù)可以通過編輯部或作者免費(fèi)咨詢獲取。

擬合得到8個孔的仿真中心pi后，可以用優(yōu)化法求解孔系自參考位置度，如公式（12）所示；優(yōu)化求解方法為Matlab?R2021a自帶的fminucon函數(shù)。

在MATLAB?R2014a中，自編程序求解得到仿真法蘭盤的自參考位置度為0.045mm，構(gòu)成與最小區(qū)域邊界接觸的仿真孔心的序號為1、3、5、6，如表1所示。

3.2?評定結(jié)果的判別

基于提出的判別方法，對表1中的評定結(jié)果進(jìn)行判別，判斷優(yōu)化法是否滿足最小區(qū)域條件。將位于孔心邊界上的仿真孔心的最終位置代入公式（3），可以求出運(yùn)動系數(shù)向量Ai及運(yùn)動系數(shù)矩陣A，如公式（14）所示。

指定m=4個b=-1，并將其集合為b=[b，b，b，b]T=[-1，-1，-1，-1]T。因?yàn)閞ank（[A，b]）=4>rank（A）=3，所以需要選取不超過Cmr=C43=4個Ar并檢驗(yàn)基本解的有效性。本例借助MATLAB?2014R內(nèi)置函數(shù)“nchoosek”在A的4個行向量中選取3個行向量。

以第一組為例，選取A的前3行為Ar，并將第4行向量視為As；選取Br=[b，b，b]T=[-1，-1，-1]T。用Matlab?2014R內(nèi)置函數(shù)“＼”求得ArΨ=Br的解Ψ。因?yàn)锳4Ψ=-0.0993>-1，P2（Ψ）不成立，所以基本解集（單元素集）F1=Ψ*并不是有效基本解集。

依次檢驗(yàn)4組Ar對應(yīng)的基本解集，發(fā)現(xiàn)并不存在有效基本解集。因此，優(yōu)化法求得的位置度孔心邊界滿足最小區(qū)域條件，孔系的自參考位置度誤差為0.045mm。

4?結(jié)語

分析了孔系被測孔心集剛體與孔心框架之間的相對空間關(guān)系；基于數(shù)理邏輯、線性方程組和不等式組理論，分析了孔系自參考位置度誤差的最小區(qū)域的判別條件，并給出了相關(guān)線性矩陣及流程圖。提出的判別方法由程式化的運(yùn)算、條件選擇構(gòu)成，是一種程式化的、一般化的代數(shù)判別方法，可以在出現(xiàn)評定爭議時裁定算法是否找到了最小區(qū)域。

用優(yōu)化法評定了一個仿真法蘭盤的孔系自參考位置度誤差，用提出的方法檢驗(yàn)了優(yōu)化法的評定結(jié)果。提出的判別方法識別了優(yōu)化法求得的最小區(qū)域，具備最小區(qū)域判別的能力。

該文推導(dǎo)了孔系自參考位置度誤差最小區(qū)域的一般化判別方法，其中運(yùn)用的自由度、法向量、數(shù)理邏輯、線性理論等也適合其他形狀的最小區(qū)域評定。未來可以參考該文方法繼續(xù)研究輪廓度等形狀、方向和位置誤差的最小區(qū)域判定。

參考文獻(xiàn)

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