張 楠， 邱燕超， 張學(xué)良， 聞邦椿

(1.北京建筑大學(xué)城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，102616) (2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 沈陽(yáng)，110819)

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軟式非線性同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析*

張 楠1， 邱燕超1， 張學(xué)良2， 聞邦椿2

(1.北京建筑大學(xué)城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，102616) (2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 沈陽(yáng)，110819)

對(duì)軟式非線性同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性研究。首先，建立同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)的軟式非線性振動(dòng)模型，采用一次近似解的幅頻特性方程判定系統(tǒng)周期解穩(wěn)定性問(wèn)題；然后，利用選取的參數(shù)分析系統(tǒng)幅頻特性關(guān)系，并且根據(jù)幅頻特性曲線確定系統(tǒng)多解處的穩(wěn)定解問(wèn)題，以及討論沉樁系統(tǒng)參數(shù)(激振頻率、土的剛度和阻尼、激振器的偏心距等)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響；最后，基于Matlab/Simulink采用四階龍格-庫(kù)塔法運(yùn)算程序進(jìn)行數(shù)值仿真確定系統(tǒng)周期解穩(wěn)定性。通過(guò)理論和仿真系統(tǒng)地分析了系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性特性，以及系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)周期解的影響。

非線性振動(dòng)； 幅頻特性； 穩(wěn)定性； 同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)

引 言

同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)是通過(guò)兩激振電機(jī)回轉(zhuǎn)，進(jìn)行振動(dòng)沉樁的。在振動(dòng)沉樁系統(tǒng)沉樁過(guò)程中，激振電機(jī)上的偏心轉(zhuǎn)子反向回轉(zhuǎn)，只產(chǎn)生豎直方向的激振力來(lái)達(dá)到沉樁的目的。由雙激振電機(jī)偏心轉(zhuǎn)子反向回轉(zhuǎn)所組成的振動(dòng)沉樁系統(tǒng)稱為自同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)。當(dāng)非線性自同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)的激振電機(jī)的激振頻率與系統(tǒng)的一階固有頻率接近一致時(shí)，其激振電機(jī)的激振頻率被系統(tǒng)的一階固有頻率所俘獲，此時(shí)稱為系統(tǒng)發(fā)生頻率俘獲現(xiàn)象[1-2]。系統(tǒng)在頻率俘獲情況下，系統(tǒng)的沉樁振幅最大、沉樁速度快、沉樁效率高。

自同步振動(dòng)系統(tǒng)中存在各種形式的非線性因素，而自同步振動(dòng)系統(tǒng)中非線性因素將對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生重要的影響[3-5]。關(guān)于自同步振動(dòng)系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者從線性或擬線性化角度把系統(tǒng)簡(jiǎn)化為理想系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析[6-9]，有少數(shù)學(xué)者也考慮到系統(tǒng)模型的非線性特性[10]。另外許多同步振動(dòng)系統(tǒng)是在遠(yuǎn)超共振狀態(tài)下進(jìn)行相關(guān)研究[11-15]，這些研究并沒(méi)系統(tǒng)研究系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性。系統(tǒng)解的穩(wěn)定性是同步振動(dòng)系統(tǒng)重要的特性，因此，需深入研究同步振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為及其周期解穩(wěn)定性。

1 建立模型

在同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)工作過(guò)程中，樁土相互作用非常復(fù)雜，根據(jù)土壤應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，把樁土之間相互作用采用軟式非線性彈性力來(lái)表示土壤的非線性特性，軟式非線性彈性力可表示為k(y)=ky-εk′y3，式中k為土壤線性彈性剛度，y為樁的位移，ky為線性彈性力，ε為非線性系數(shù)(為小的整數(shù))，εk′y3為非線性彈性力，通常要比ky小。當(dāng)同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)的激振力由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)時(shí)，雙激振電機(jī)反向回轉(zhuǎn)，振動(dòng)沉樁系統(tǒng)在豎直方向工作，其振動(dòng)沉樁系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中，Oxy為非線性振動(dòng)系統(tǒng)坐標(biāo)系，O為振動(dòng)沉樁中心(同時(shí)為兩激振電機(jī)回轉(zhuǎn)軸心連線的中點(diǎn))，O1，O2為兩激振器回轉(zhuǎn)軸心。

圖1 非線性動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Nonlinear dynamic model

采用拉格朗日方程得到樁-土耦合動(dòng)力學(xué)模型如下

(1)

2 模型解析

其中所有的ε系數(shù)相等，得

(5)

將通解代入式(5)第二個(gè)式子中得到

(6)

需要去掉長(zhǎng)期項(xiàng)的條件是

(7)

(8)

式(8)中所有實(shí)部和虛部相等，可以得

(9)

式(9)中第1個(gè)式子乘以sinβ與第2個(gè)式子乘以cosβ然后相加，或者式(9)中第1個(gè)式子乘以cosβ與第2個(gè)式子乘以sinβ然后相減，最終整理得到下面兩個(gè)式子，即

(10)

將式(10)變換為一個(gè)自治系統(tǒng)(即不顯含T1的系統(tǒng))，設(shè)，γ′=σ-β′，β′=σ-γ′，則式(10)變?yōu)?/p>

(11)

由于系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，其α′=β′=0，因此式(11)變?yōu)?/p>

(12)

式(12)中的兩個(gè)式子平方后相加得

(13)

式(13)整理得

(14)

因此，振動(dòng)沉樁系統(tǒng)頻率俘獲情況下的一次近似解為

(15)

(16)

其中參數(shù)由式(14)確定。

3 系統(tǒng)解的穩(wěn)定性

如果確定式(13)中的α和γ，就可以確定原系統(tǒng)的一個(gè)周期解即式(16)。因此分析α和γ的穩(wěn)定性問(wèn)題，就能確定系統(tǒng)解的穩(wěn)定性問(wèn)題。于是，可以把式(11)進(jìn)行變換求解，設(shè)

(17)

式(11)整理得到

(18)

式(18)第1式乘以cosγ與第2式乘以sinγ相減得

(19)

同理，式(18)第1式乘以sinγ與第2式乘以cosγ相加得

(20)

式(19)和(20)整理得到新的方程為

(21)

4 幅頻特性分析

圖2 幅頻特性Fig.2 Amplitude-frequency characteristic

系統(tǒng)參數(shù)變化導(dǎo)致幅頻特性變化如圖3所示。由圖顯示，整個(gè)系統(tǒng)的其他參數(shù)不變，僅改變土壤的非線性系數(shù)ε，隨著ε變小，振幅顯著增加，且軟式非線性系統(tǒng)就越接近線性振動(dòng)系統(tǒng)，如果系統(tǒng)不考慮非線性因素時(shí)，即ε=0，則曲線變?yōu)榫€性系統(tǒng)幅頻特性曲線。當(dāng)增大土壤線性彈性系數(shù)k，幅頻特性曲線向右移動(dòng)，由于激振頻率產(chǎn)生激振力，激振頻率不斷變化，激振力也是變化的，因此幅頻特性曲線彎曲程度有些變大。當(dāng)減小土壤阻尼系數(shù)c或者增加激振力上的偏心距(偏向轉(zhuǎn)子的半徑r0與質(zhì)量m0的乘積)，比如增加偏心塊半徑時(shí)，同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)的振幅峰值增大，曲線彎曲程度變大。

圖3 參數(shù)變化對(duì)振幅的影響Fig.3 Influence of parameter variation on amplitude

5 系統(tǒng)解的穩(wěn)定性計(jì)算與仿真

式(21)的雅可比矩陣的特征方程為

圖4 αt=0=0 m,γt=0=0 rad時(shí)相平面圖和軌跡圖Fig.4 Phase plane and waveform in αt=0=0 m and γt=0=0 rad

圖5 αt=0=0.6 m,γt=0=3.14 rad時(shí)相平面圖和軌跡圖Fig.5 Phase plane and waveform in αt=0=0.6 m,γt=0=3.14 rad

6 結(jié) 論

1) 理論推導(dǎo)系統(tǒng)在頻率俘獲情況下一次近似解，以及理論上討論周期解的穩(wěn)定性判據(jù)問(wèn)題，也利用幅頻特性方程和穩(wěn)定解相平面圖來(lái)實(shí)際分析系統(tǒng)解的穩(wěn)定性問(wèn)題，且理論和計(jì)算仿真分析相一致。

2) 同步振動(dòng)沉樁系統(tǒng)的激振頻率在一定范圍時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)多個(gè)定常解，兩個(gè)是穩(wěn)定的，而另一個(gè)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)最終穩(wěn)定在那個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)取決于系統(tǒng)的初始條件，而出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的地方，都是自發(fā)跳躍到穩(wěn)定點(diǎn)位置而與初始條件無(wú)關(guān)。選擇合適的初始位移，以便獲得大的沉樁振幅。

3) 在保證系統(tǒng)發(fā)生頻率俘獲的前提下，適當(dāng)改變系統(tǒng)參數(shù)，可以提高系統(tǒng)的最大振幅的平穩(wěn)性。表明土壤阻尼小、土壤的剛度大或者增加激振力，可增大振幅并提高系統(tǒng)的沉樁速度。

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*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51605022)；北京建筑大學(xué)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(00331616043)

2015-12-01；

2016-04-08

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.018

TH113.1； O322

張楠，女，1979年10月生，博士、講師。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)同步。曾發(fā)表《脈動(dòng)流誘發(fā)振動(dòng)轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)特性分析》(《清華大學(xué)學(xué)報(bào)》2014年第54卷第7期)等論文。 E-mail: zhangnan@bucea.edu.cn