牛德芳

【摘要】抽象是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征之一，對于數(shù)學(xué)學(xué)科的建設(shè)和發(fā)展是不可須臾或缺的，但是抽象一詞并不在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心詞中闡述，再加上一線教師們對課標(biāo)的解讀程度不同，致使很多教師在上公開課或者是常態(tài)課時，經(jīng)常忽視培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)，過多地關(guān)注課堂情境教學(xué)，重視直觀引用和實際應(yīng)用，導(dǎo)致了學(xué)生的抽象思維能力得不到發(fā)展.筆者認(rèn)為抽象思想應(yīng)該是貫穿于小學(xué)整個學(xué)習(xí)階段的，學(xué)生的抽象能力培育對學(xué)生的思維能力、邏輯能力等有很好的幫助.

【關(guān)鍵詞】抽象；數(shù)學(xué)學(xué)科

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的課程性質(zhì)提到：“數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價值觀等方面的發(fā)展.”可見，學(xué)生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點與本質(zhì)之一.

史寧中教授認(rèn)為：“抽象指脫離了具體內(nèi)容的形式和關(guān)系，因此，具有廣泛的應(yīng)用性.”作為一線數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該不難理解，數(shù)學(xué)的概念和運算法則是在現(xiàn)實生活中通過抽象得到的，也就是說數(shù)學(xué)中的任何概念、定理、法則等，都具有一定的抽象性.雖然在教科書中，我們不曾見到書中寫有“抽象”一詞，但是在課堂中我們常常要求學(xué)生用概括性的話語去提煉共同點，用字母符號抽象概括出一組相關(guān)聯(lián)的算式，用一定的模式或模型解釋具體的事物，其實這些都是抽象素養(yǎng)培育的體現(xiàn)，不過在隨著情境化導(dǎo)入教學(xué)、幾何直觀在教學(xué)中的強勢應(yīng)用和解決實際問題的大力推崇，抽象素養(yǎng)的培育似乎已經(jīng)成為教師們遺忘的思想.

一、直面問題：抽象素養(yǎng)的培育危機(jī)

（一）錯失時機(jī)的把握，欠缺抽象概念的建立

小學(xué)兒童思維的基本特點是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維形式為主要形式.但這種抽象邏輯思維在很大程度上，仍然是直接與感性經(jīng)驗相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性.所以，很多教師認(rèn)為，學(xué)生接觸抽象思維能力，應(yīng)該或者必須先以具體形象思維為初始，然后，慢慢過渡到抽象思維，所以他們就認(rèn)為學(xué)生的抽象思維能力的培養(yǎng)應(yīng)該在中高年級甚至是高年級，而低年級或者中年級以具體形象思維培養(yǎng)為主就行了.

其實，可以回憶一下，在低年級從認(rèn)識10以內(nèi)的自然數(shù)說起，抽象就開始伴隨著教學(xué)的進(jìn)程.例如，1，2，3等數(shù)的認(rèn)識.到了中年級，學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，比如，認(rèn)識二分之一或者幾分之一，就是抽象的學(xué)習(xí).當(dāng)然，到了高年級，百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識等就更為抽象了.當(dāng)然，這些屬于數(shù)的抽象一類，其實除了數(shù)的抽象外還有圖和形的抽象，比如，線段的初步認(rèn)識，是讓學(xué)生先觀察毛線再拉直，從而抽象出線段.很多教師在教學(xué)的時候，只是將這些內(nèi)容作為一節(jié)課來教，而沒有認(rèn)識到其實就是在引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)抽象素養(yǎng)的過程.所以，課堂欠缺了抽象思維的引領(lǐng)，影響學(xué)生后續(xù)抽象學(xué)習(xí)，導(dǎo)致抽象概念的建立不明確.

（二）止步于直觀層面，忽視抽象素養(yǎng)的培育

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出，要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系.其實，課標(biāo)也在提醒教師們不要只偏向于直觀，只停留于直觀，而不向深層次去發(fā)掘?qū)W生的思維潛力.

比如，在學(xué)習(xí)比較分?jǐn)?shù)大小的時候，教師出示題目比較二分之一和三分之一的大小，有學(xué)生回答要看圓的大小才能判斷，也就是有三種情況，這時教師只是分析學(xué)生沒有認(rèn)清是同一個圓，不同圓的幾分之一不能比較，而沒有從數(shù)的本身去分析，結(jié)果學(xué)生只會對分印象深刻，對數(shù)的認(rèn)識很單薄.再比如，六年級表面積的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會遇到求幾個正方體拼成的不規(guī)則的立體圖形，讓學(xué)生求表面積的大小，有些學(xué)生仍然用數(shù)出面的個數(shù)再計算總的表面積的方法，教師沒有指出這種方法的好壞，其實教師的本意是遵循學(xué)生的想法，因為比較直觀地“數(shù)”出小正方形的個數(shù)畢竟較為容易理解，可是，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從立體圖形抽象出左面（或右面）、上面（或下面）、前面（后面）的圖形，然后，用數(shù)學(xué)算式的方法進(jìn)行計算，這種方法比第一種方法要有思維含量，不是拘于現(xiàn)有的直觀圖解決問題.

（三）本質(zhì)上忽略抽象教學(xué)，推遲學(xué)生抽象能力的發(fā)展

由于在課標(biāo)中沒有明確定義抽象的概念和抽象的教學(xué)要求，所以很多教師基本上從本質(zhì)上忽略抽象教學(xué)，很多時候都是在新授課結(jié)束后，進(jìn)行鞏固練習(xí)和課外提升，但是往往都是從題目的難度上去考慮的，并非是從數(shù)學(xué)最終的本質(zhì)抽象素養(yǎng)去考慮的.

二、尋求途徑：抽象素養(yǎng)的培育道路

（一）以生為本，把握抽象素養(yǎng)培育的時機(jī)

從小學(xué)數(shù)學(xué)的角度看，抽象主要包括數(shù)與數(shù)量關(guān)系的抽象、圖形與圖形關(guān)系的抽象.史寧中教授將抽象的深度大體分為三個層次.1.簡約階段：把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達(dá).2.符號階段：去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的實物在內(nèi)的一類事物.3.通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物.仔細(xì)分析史寧中教授將抽象深度分為的三個層次，其實簡約階段的抽象深度，就是學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)中應(yīng)達(dá)到的程度；符號階段的抽象深度，就是學(xué)生在中高年級學(xué)習(xí)中應(yīng)達(dá)到的程度；第三階段的抽象深度，就是學(xué)生在初高中學(xué)習(xí)中應(yīng)達(dá)到的程度.這樣的明確區(qū)分，也為教師們對學(xué)生抽象思想的培育方向提供了有利的證據(jù)，也就是說，需要教師把握時機(jī)，讓學(xué)生的抽象能力能夠在他們不同的階段適當(dāng)?shù)匕l(fā)展.

學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)11～20的認(rèn)識時，也有抽象的思想，因為這些數(shù)相比1～9這些數(shù)來說較為復(fù)雜，但是這些數(shù)都是用了0～9這些數(shù)字符號進(jìn)行組合，不過在意義上截然不同，需要教師們通過簡單化、條理化的表述引導(dǎo)學(xué)生理解.

比如，學(xué)生在中年級學(xué)習(xí)長方形和正方形時，遇到這樣一個問題：有兩個長方形，長都是4厘米，寬都是2厘米，你會把它們拼成長方形或者正方形嗎？拼成的圖形的周長是多少？

這道題目，先讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的兩個完全一樣大小的長方形拼一拼，發(fā)現(xiàn)會拼成兩種不同的圖形，一個是長方形，一個是正方形.啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生去計算一下拼成的兩個圖形的周長，發(fā)現(xiàn)長方形的周長是32厘米，而正方形的周長是16厘米.

師：為什么都是用兩個同樣大小的小長方形拼成的圖形，但是周長卻不相同呢？

同桌交流思考.

生1：因為它們拼成的圖形不一樣.

生2：我覺得它們拼成的圖形周長不一樣是因為長方形的周長實際上是4個原長與2個原寬的和，而正方形的周長是4個原寬與2個原長的和，肯定是長方形的周長大于正方形的周長.

師：能說得再清楚點嗎？

生：那我在黑板上來寫一寫吧.

學(xué)生寫下了下面的式子.

長方形的周長=4個原長+2個原寬

=2個原長+2個原長+2個原寬

正方形的周長=4個原寬+2個原長

=2個原寬+2個原寬+2個原長

生2：那么2條長肯定比2條寬要長，所以長方形的周長大于正方形的周長.

師：同學(xué)們，這名同學(xué)的做法一目了然，我們還可以將長方形的周長中相同的部分畫去，最后，發(fā)現(xiàn)就拿2個原長和2個原寬做比較，更加一目了然.

新課程理念中，提倡學(xué)生要“開放”，而開放程度越高，學(xué)生的思維就越高，教師鼓勵學(xué)生的想法多樣化有個性，這名學(xué)生的想法意境屬于符號階段的想法了，他能夠通過用代數(shù)的做法來解決這個問題，具有抽象性，應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的想法，搭建抽象能力提升的平臺.

（二）正確處理直觀與抽象的關(guān)系，重視抽象要求的體現(xiàn)

在教學(xué)中，我們可以通過直觀逐步抽象出數(shù)學(xué)概念，為抽象的能力提高鋪平道路，但是也要正確衡量直觀與抽象的關(guān)系，直觀教學(xué)的不斷深化，導(dǎo)致學(xué)生都失去了本有的抽象能力，其實過度地直觀，有時候會讓學(xué)生的大腦活動不起來.

比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)認(rèn)識分?jǐn)?shù)時，教師一般會通過大量的操作，幫助學(xué)生理解直觀與抽象之間的聯(lián)系，讓學(xué)生把正方形、長方形、圓等，平均分成若干份，取其中的一份或幾份進(jìn)行觀察，接著在大量具體分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，概括出分?jǐn)?shù)的定義，這樣的完整過程，就是不斷體會概念的過程，幫助學(xué)生逐步形成抽象概括的能力.

可見，對于抽象與直觀的關(guān)系，需要認(rèn)真拿捏，既可以通過直觀教學(xué)，為學(xué)生建立“逐步抽象”做準(zhǔn)備，又要通過從直觀到抽象轉(zhuǎn)折處進(jìn)行引導(dǎo)，進(jìn)而處理好直觀與抽象的關(guān)系.

（三）厘清抽象本質(zhì)，明晰學(xué)生抽象能力的提升

數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過程.根據(jù)小學(xué)生的心理特點和規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)往往重操作和直觀，但是操作和直觀是教學(xué)的手段而非目的，要在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)進(jìn)行適度的抽象，由于數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)中及教學(xué)過程中無處不在，所以這對發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)是有好處的.

三、潛移默化：抽象思想的滲透意義

（一）抽象思想的滲透——發(fā)展學(xué)生抽象思維能力

抽象思維是指在思維過程中以概念、判斷、推理的形式來反映事物本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律的思維，教師的課堂注重了學(xué)生抽象素養(yǎng)的培育后，學(xué)生就能夠借助語言、運用符號和概念進(jìn)行數(shù)學(xué)運算和推導(dǎo)了，從而能使得學(xué)生今后適應(yīng)更難的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).也可以說，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，對于學(xué)習(xí)其他學(xué)科，對于研究解決其他領(lǐng)域的問題，對于今后在各種場面對事物錯綜復(fù)雜的多種因素，主動進(jìn)行舍去次要因素、提取主要因素的分析活動，都是一種能夠有效遷移的能力訓(xùn)練.

（二）抽象思想的滲透——發(fā)展學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)建模的能力

列寧說過：“認(rèn)識是人對自然界的反映，但是這并不是簡單的、直接的、完全的反映，而是一系列的抽象過程，即概念、規(guī)律等的構(gòu)成、形成的過程.”而模型思想建立的本質(zhì)，就是使學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，其實，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，總是從相對簡單到相對復(fù)雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗，從而形成運用模型去進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣，在建構(gòu)模型的能力的發(fā)展中，需要抽象思維的推動，比如，數(shù)概念的模型、運算模型、方程模型等，其實，都需要以抽象思想為前提.

（三）抽象思想的滲透——提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，那么數(shù)學(xué)課程中抽象素養(yǎng)的培育無疑是對學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升，在學(xué)習(xí)抽象得出的知識的同時，更多地要學(xué)習(xí)抽象概括的方法，以求知出數(shù)學(xué)最本質(zhì)的內(nèi)涵.我們都知道數(shù)學(xué)素養(yǎng)是必備的條件，而核心素養(yǎng)的概念界定是這樣的：是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.抽象的思想無論在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是生活中，對人的發(fā)展和進(jìn)步都有著不可或缺的作用.

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