王兆勝

(南京炮兵學(xué)院, 南京 211132)

0 引言

六自由度彈道模型在彈道仿真[1]、射表計(jì)算[2]、彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)[3]等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]以瞬時(shí)彈軸方向的單位矢量x表示彈軸的空間姿態(tài),給出了動(dòng)量矩H的矢量形式。通過(guò)引入過(guò)程輔助矢量h=H/Iy,研究力與力矩與x和h關(guān)系,將彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)方程與x和h聯(lián)系起來(lái),在單一的地面坐標(biāo)系下給出含有x和h的彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程和彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)方程,其特點(diǎn)是彈丸轉(zhuǎn)動(dòng)方程含有x和h兩個(gè)矢量。能否在不引入輔助矢量h情況下,用單一的矢量x建立起彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)方程,此時(shí)的矢量形式六自由度彈道模型分量形式如何,下面對(duì)此進(jìn)行研究。

1 矢量形式的六自由度彈道方程組

地面坐標(biāo)系采用文獻(xiàn)[4]中的表示符號(hào),即地面坐標(biāo)系記為O-123,原點(diǎn)O在炮口斷面中心,3個(gè)坐標(biāo)軸記分別為1、2、3,其中1、3軸所在的平面過(guò)原點(diǎn)且平行于原點(diǎn)處地球的切平面,1軸指向射向,2軸在發(fā)射點(diǎn)垂直向上,3軸按右手法則確定。圖1為地面坐標(biāo)系示意圖,地面坐標(biāo)系O-123簡(jiǎn)記為坐標(biāo)系[1,2,3]。

設(shè)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度為V(見(jiàn)圖1),則彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

式中:ΣFi為彈丸飛行中各項(xiàng)氣動(dòng)力的合力;mg為重力;mΛ為科氏力。

設(shè)彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩為H,則繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的彈丸動(dòng)量矩方程為:

(2)

式中:ΣMi為彈丸飛行中對(duì)質(zhì)心的各項(xiàng)氣動(dòng)力矩之和。

設(shè)x為沿彈軸方向指向彈尖的單位矢量(見(jiàn)圖1),對(duì)于軸對(duì)稱彈丸,彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量矩H為[4]:

(3)

式中:Ix為彈丸極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;p為彈丸繞彈軸的自轉(zhuǎn)角速度;Iy為繞通過(guò)質(zhì)心且垂直于x的任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式(3)代入式(2),得彈丸動(dòng)量矩方程為:

(4)

1.1 彈丸飛行中所受的氣動(dòng)力

彈丸飛行中所受的氣動(dòng)力包括空氣阻力、升力、馬格努斯力及俯仰阻尼力,設(shè)v為彈丸質(zhì)心的相對(duì)速度,則:

(5)

式(5)右端中簡(jiǎn)略符號(hào)的含義如下:

(6)

1.2 彈丸飛行中所受的氣動(dòng)力矩

彈丸飛行中所受的氣動(dòng)力矩包括極阻尼力矩、尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩(如果彈丸有尾翼)、俯仰力矩、馬格努斯力矩及俯仰阻尼力矩。因此有:

(7)

式(7)右端中的簡(jiǎn)略符號(hào)含義如下:

(8)

1.3 矢量形式六自由度彈道方程組

將ΣFi的表達(dá)式(5)代入式(1),得：

(9)

將ΣMi的表達(dá)式(7)代入式(4),并考慮到x×(x×v)=(x·v)x-v,得彈丸動(dòng)量矩方程為:

(10)

2 單一矢量形式的六自由度彈道模型

從方程(10)中不能直接解出d2x/dt2及其分量的顯式表達(dá)式,為了能在不引入輔助矢量的條件下得到完整的六自由度模型,需對(duì)式(10)進(jìn)一步處理,為此先對(duì)單位矢量進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算。

2.1 單位矢量的求導(dǎo)

由于x是單位矢量,因此有:

x·x=1

(11)

地面坐標(biāo)系下對(duì)式(11)兩邊求導(dǎo),得到:

(12)

繼續(xù)對(duì)式(12)兩邊求導(dǎo),得到:

(13)

2.2 六自由度彈道矢量方程組的具體形式

以x點(diǎn)乘方程(10),得:

(14)

再以x×式(10),并考慮到:

(15)

得:

(16)

將式(13)代入式(16),得:

(17)

式(17)即為d2x/dt2的顯式表達(dá)式,是矢量形式彈丸動(dòng)量矩方程的另一種表示式。取式(9)、式(14)、式(17),它們構(gòu)成了矢量形式六自由度彈道組的完整形式。

3 矢量形式六自由度彈道計(jì)算模型的分量表示與數(shù)值計(jì)算方法

將式(9)向地面坐標(biāo)系投影,得地面坐標(biāo)系下的分量方程組如下:

(18)

將式(17)向地面坐標(biāo)系投影,得分量方程組如下:

(19)

設(shè)彈道上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(X,Y,Z),則在地面坐標(biāo)系中,dX/dt=V1,dY/dt=V2,dZ/dt=V3,聯(lián)立式(14)、式(18)及式(19),并將方程組化為一階常微分方程組,這樣就能夠用四階R-K法或R-K-F方法[8]進(jìn)行微分方程組的數(shù)值計(jì)算。

需要說(shuō)明的是,由于數(shù)值計(jì)算誤差的存在,計(jì)算過(guò)程中x3個(gè)分量x1、x2和x3積分值的平方和往往并不完全等于1,此時(shí)如果不對(duì)x的模修正,將會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算過(guò)程中歸一化x的方法為:

(20)

4 彈道計(jì)算初始條件的確定

4.1 初始速度V0

設(shè)彈丸初速的高低角為θ0,初速的方向角為φ0,則彈丸初速V0在地面坐標(biāo)系[1,2,3]上的分量為:

(21)

由于相對(duì)速度v=V-W,因此v0在地面坐標(biāo)系[1,2,3]上的分量為:

(22)

4.2 初始單位向量x0

受起始擾動(dòng)的影響,彈軸矢量x0與初速矢量V0可能出現(xiàn)不一致,設(shè)α0為初始高低擾動(dòng)角,β0為初始方向擾動(dòng)角,則x0在地面坐標(biāo)系[1,2,3]上的分量為:

(23)

4.3 初始單位向量的一階導(dǎo)數(shù)

1)y0和z0的確定

設(shè)y0_1、y0_2和y0_3為y0在地面坐標(biāo)系[1,2,3]中的分量,由于y0在炮口處的鉛直面內(nèi),又因?yàn)槠浯怪庇趚0,即y0·x0=0,因此可取y0_1=-x0_2,y0_2=x0_1,y0_3=0。于是:

(24)

根據(jù)z0=x0×y0,得z0在地面坐標(biāo)系[1,2,3]上的分量為:

(25)

(26)

5 算例分析

下面根據(jù)文中的矢量形式六自由彈道模型,計(jì)算某炮不同起始擾動(dòng)條件下彈道的射程X和側(cè)偏Z。彈道計(jì)算的條件如下:標(biāo)準(zhǔn)氣象條件,初速V0=930 m/s,射角θ0=45°,φ0=0°,起始擾動(dòng)條件α0、β0、ωy、ωz及數(shù)值計(jì)算積分步長(zhǎng)h見(jiàn)表1,計(jì)算結(jié)果如表1所列。作為對(duì)比,表1中同時(shí)列出了采用文獻(xiàn)[4]中矢量形式六自由彈道模型及采用彈軸系歐拉角形式的六自由度彈道模型(參見(jiàn)文獻(xiàn)[5])的計(jì)算結(jié)果。

從計(jì)算結(jié)果看,文中模型的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]中模型的計(jì)算結(jié)果及彈軸系歐拉角模型的計(jì)算結(jié)果是完全一致的。

表1 不同六自由度模型下計(jì)算結(jié)果比較

6 結(jié)論

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