楊丹丹，方洋旺，彭維仕，楊鵬飛

（1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安710038；2.武警工程大學(xué)裝備工程學(xué)院，西安710086）

基于高階滑模微分器的增廣比例導(dǎo)引律*

楊丹丹1，方洋旺1，彭維仕2，楊鵬飛1

（1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安710038；2.武警工程大學(xué)裝備工程學(xué)院，西安710086）

導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)在導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制中具有重要作用，為了解決增廣比例導(dǎo)引中導(dǎo)彈-目標(biāo)視線角速度和視線角加速度不易獲得的問題，設(shè)計(jì)了一種基于高階滑模微分器的增廣比例導(dǎo)引律。首先，根據(jù)高階滑模微分器的數(shù)學(xué)模型建立視線角速度和視線角加速度的估計(jì)模型；其次，根據(jù)視線角速度和視線角加速度的估計(jì)值，利用一種光滑無(wú)抖陣滑模微分器構(gòu)造增廣比例導(dǎo)引律。最后，通過仿真驗(yàn)證表明，具有滑模微分器結(jié)構(gòu)的增廣比例導(dǎo)引律導(dǎo)引性能良好。

增廣比例導(dǎo)引，高階滑模微分器，視線角速度，視線角加速度

0 引言

工程應(yīng)用中，比例導(dǎo)引（Proportion Navigation，PN）是一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的導(dǎo)引方法。在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈尋的末制導(dǎo)飛行段，常采用比例導(dǎo)引方法。但在目標(biāo)大機(jī)動(dòng)的情況下，比例導(dǎo)引方法的導(dǎo)引性能急劇下降。因此，最優(yōu)導(dǎo)引規(guī)律被用于解決目標(biāo)大機(jī)動(dòng)情況下的精確制導(dǎo)問題［1-2］。但是其控制規(guī)律復(fù)雜，不易于工程實(shí)現(xiàn)。因此，改進(jìn)比例導(dǎo)引方法仍然是一種切實(shí)可行的導(dǎo)引途徑。

文獻(xiàn)［3］研究了視線角速率延遲情況下比例導(dǎo)引律的收斂性分析，運(yùn)用李亞普諾夫函數(shù)分析延遲微分方程的收斂性并得到視線角速率的變化關(guān)系。文獻(xiàn)［4］根據(jù)連續(xù)時(shí)間非線性預(yù)測(cè)控制方法提出了一種新的比例導(dǎo)引律，通過時(shí)延控制方法估計(jì)目標(biāo)加速度信息。文獻(xiàn)［5］結(jié)合滑?？刂评碚摵捅壤龑?dǎo)引律提出了一種新的魯棒比例導(dǎo)引律，研究結(jié)果表明魯棒比例導(dǎo)引律不僅具有很好的魯棒性，而且在實(shí)際應(yīng)用中簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)［6］在非線性系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論的基礎(chǔ)上，提出一種新型滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律；該導(dǎo)引律將目標(biāo)機(jī)動(dòng)視為干擾，僅利用目標(biāo)加速度界限的信息，在攔截過程中不需要精確的測(cè)量目標(biāo)加速度，因此，該導(dǎo)引律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)［8］基于擴(kuò)展比例導(dǎo)引律提出了一種改進(jìn)的方法，解決了在導(dǎo)彈攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的觀測(cè)問題。

對(duì)于被動(dòng)式的制導(dǎo)系統(tǒng)，一般只能提供視線角速度信號(hào)。因此，如何構(gòu)造擴(kuò)展比例導(dǎo)引律從而簡(jiǎn)單有效地從視線角速度信號(hào)中提取角加速度信號(hào)成為非常有意義的問題。文獻(xiàn)［7，9］研究較多的是基于卡爾曼濾波估計(jì)方法，但該算法復(fù)雜、計(jì)算量大。文獻(xiàn)［10］在分析目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于跟蹤-微分器的機(jī)動(dòng)目標(biāo)估計(jì)模型。該估計(jì)模型與卡爾曼濾波算法相結(jié)合，能夠在動(dòng)態(tài)過程完全未知的情況下估計(jì)出目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，且估計(jì)模型簡(jiǎn)單，物理意義明確，能夠適應(yīng)于目標(biāo)的各種機(jī)動(dòng)行為模式。

為解決從噪聲信號(hào)中提取微分信號(hào)的問題，性能更優(yōu)的微分器得到了較大發(fā)展，其中最具代表性的是Levant［10］提出的高階滑模微分器和韓京清等［12-16］提出的非線性跟蹤微分器。文獻(xiàn)［17］根據(jù)二階連續(xù)系統(tǒng)的最速控制給出了相應(yīng)的高階滑模微分器。文獻(xiàn)［19］通過分析設(shè)計(jì)參數(shù)的選取和系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)，對(duì)高階滑模微分器進(jìn)行了分析與改進(jìn)，提出了高階滑模微分器減小估計(jì)誤差且更適用于工程應(yīng)用的設(shè)計(jì)方法。

在文獻(xiàn)［17，19］的基礎(chǔ)上，本文基于高階滑模微分器算法，構(gòu)建彈目視線角速度和角加速度的估計(jì)模型；根據(jù)估計(jì)模型以期得到視線角速度和角加速度估計(jì)值，從而構(gòu)造增廣比例導(dǎo)引律。

1 增廣比例導(dǎo)引律

假定導(dǎo)彈和目標(biāo)均為平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)，忽略其動(dòng)力學(xué)延遲，且導(dǎo)彈和目標(biāo)勻速飛行［20］。導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

其中，VM和VT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，R為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的距離，q為視線角，σM和σT分別為導(dǎo)彈的彈道角和目標(biāo)的航向角，ηM和ηT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的前置角，eR和eq分別為視線方向和視線法向的單位向量，eaM為垂直于導(dǎo)彈速度方向的單位向量，a為導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)加速度。

圖1 導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖

文獻(xiàn)［21］指出，在目標(biāo)作大機(jī)動(dòng)情況下，利用比例導(dǎo)引方法，導(dǎo)彈的導(dǎo)引性能下降。因此，引入視線角加速度構(gòu)成增廣比例導(dǎo)引律:

式中，N為導(dǎo)航比，K為視線角加速度補(bǔ)償系數(shù)，Vc為導(dǎo)彈接近目標(biāo)的速率，tg為剩余時(shí)間估計(jì)。

由式（1）知，增廣比例導(dǎo)引律需要獲得視線角速度q˙和角加速度q··。在導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的過程中，視線角q容易獲得，視線角速度q˙和角加速度q··不易得到。因此，本文通過高階滑模微分器來(lái)估計(jì)視線角速度q˙和角加速度q··。

2 視線角速度和角加速度模型

在文獻(xiàn)［18］中，Levant提出了一種可精確估計(jì)任意信號(hào)微分值的高階滑模微分器:

其中，f0（t）為待微分初始信號(hào)，f（t）為噪聲干擾；υi為f0（t）的第i+1階微分估計(jì)值；zi為式（3）的內(nèi)部狀態(tài)；l1，l2為終端吸引子設(shè)計(jì)參數(shù)，且滿足l2＞0，l1＞0，l2＜l1。

類似于普通終端滑模作用原理［22］，在式（3）中，函數(shù)既能使有限時(shí)間收斂到0，又隨著趨向于0的同時(shí)，也趨向于0，因而不論zn為何值均是連續(xù)的，即zn是光滑的，進(jìn)而高階滑模微分器的所有輸出均是光滑的。

令式（3）的跟蹤誤差為:

將式（4）代入式（3）可得:

為了便于計(jì)算，令ξ（t）→0，則f（t）=q，當(dāng)n=1時(shí)，得到視線角速度和角加速度的模型:

由式（5）可得估計(jì)誤差為

因此，在已知視線角q的情況下，可以利用式（6）、式（7）得到視線角速度估計(jì)值和視線角加速度估計(jì)值。

3 利用高階滑模微分器構(gòu)造APN

根據(jù)文獻(xiàn)［22］，滑模微分器設(shè)計(jì)基本思想:通過附加微分方程使x（t）對(duì)（ft）進(jìn)行高精度追蹤，控制量u（t）用來(lái)估計(jì)?；Ｎ⒎制髂Ｐ腿鐖D2，圖3所示，其中f（t）為輸入信號(hào)，輸出u（t）為f（t）的微分信號(hào)，圖3為滑模微分器算法實(shí)現(xiàn)圖。

圖2 滑模微分器simulink仿真模型

圖3 滑模微分器算法實(shí)現(xiàn)圖

當(dāng)滑模微分器的輸入為導(dǎo)彈-目視視線角q時(shí)，輸出為視線角速度，當(dāng)誤差時(shí)，微分器可以精確觀測(cè)估計(jì)視線角q。如圖4所示。

圖4 角速度估計(jì)模型

圖5 角加速度估計(jì)模型

下頁(yè)圖6為本文設(shè)計(jì)的基于二階滑模微分器的APN的結(jié)構(gòu)圖。

4 仿真算例

圖6 基于二階滑模微分器的APN的設(shè)計(jì)

根據(jù)式（3）搭建滑模微分器的Simulink模塊如圖7所示。令輸入信號(hào)為sine，對(duì)該信號(hào)的估計(jì)分別如圖8和圖9所示?；Ｎ⒎制髟O(shè)計(jì)參數(shù)=500，=3 000=6 000，l1=7，l2=5。對(duì)比圖8、圖9和圖10可以看出，改進(jìn)后的滑模微分器能夠很好地消除抖振，且能精確估計(jì)輸入信號(hào)。

圖7 滑模微分器的Simulink模塊圖

圖8 一階未改進(jìn)滑模滑模微分器對(duì)sine的估計(jì)

仿真初始條件為:R0=7 km，q0=60°，σT0=0°，VT=200 m/s，VM=450 m/s，σM0=30°，目標(biāo)作正旋機(jī)動(dòng)。導(dǎo)引律參數(shù)選取如下:導(dǎo)航常數(shù)N=5，視線角加速度補(bǔ)償系數(shù)K=1，為說明PN和APN的性能，對(duì)HOSD構(gòu)造的APN進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖11～圖13所示。

圖9 二階改進(jìn)滑模微分器對(duì)sine的估計(jì)

圖10 二階改進(jìn)滑模微分器對(duì)sine微分的估計(jì)

圖11 彈道曲線圖

圖12 視線角速率的時(shí)間歷程

圖13 過載的時(shí)間歷程

分析仿真結(jié)果可得:相對(duì)于PN，APN的需用過載減小且其飛行軌跡更為平直，引入視線角加速度能夠提高導(dǎo)引精度；APN的視線角速度的平穩(wěn)性優(yōu)于PN，同時(shí)由于APN的導(dǎo)引指令中含有目標(biāo)加速度成分，APN的過載變化優(yōu)于PN。對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)而言，APN的命中時(shí)間明顯減小且導(dǎo)彈具有較好的機(jī)動(dòng)性能，說明引入視線角加速度的APN增強(qiáng)了導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的反應(yīng)靈敏度。

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種利用高階滑模微分器求解增廣比例導(dǎo)引律的方法，利用高階滑模微分器估計(jì)彈目視線角速度和角加速度，根據(jù)視線角速度和角加速度的估計(jì)值構(gòu)造了增廣比例導(dǎo)引律。仿真結(jié)果表明，由高階滑模微分器估計(jì)得到的視線角速度和角加速度用于增廣比例導(dǎo)引律中，有利于提高導(dǎo)彈對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的導(dǎo)引性能。

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Augmented Proportion Navigation Law Based on High Order Sliding Differentiator

YANG Dan-dan1，F(xiàn)ANG Yang-wang1，PENG Wei-shi2，YANG Peng-fei1
（1.School of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China；2.School of Equipment Engineering，Armed Police Force Engineering University，Xi’an 710086，China）

The design of guidance law plays an important role important role in the missile guidance and control，a new approach of constructing augmented proportion navigation（APN），based on high order sliding differentiator（HOSD），is designed to solve the problem that it is difficult to obtain the light of sight angle velocity and acceleration.First，estimation model of Light of sight angle velocity and acceleration are established in terms of mathematical model of high order sliding differentiator. Second，augmented proportion navigation（APN）using a terse fast HOSD without chattering is constructed according to the estimation value.Finally，simulation results show that APN with HOSD has good guidance performance.

augmented proportion navigation，high order sliding differentiator，light of sight angle velocity，light of sight angle acceleration

TP273

A

1002-0640（2017）04-0058-05

2016-02-14

2016-04-28

國(guó)家安全重大基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目（613271030202；15613271030202）

楊丹丹（1990-），女，陜西銅川人，碩士研究生。研究方向：網(wǎng)絡(luò)控制。