王媛

摘要： 本文主要研究海洋平臺振動控制系統(tǒng)具有極點約束的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。首先將海洋平臺系統(tǒng)進行量化分析，抽象成數學模型，并給出符號標記和定義。其次采用極點配置方法將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在復平面上適當區(qū)域，通過改善系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性，從而提高海洋平臺振動控制系統(tǒng)的性能?；诖?，主動控制律的設計問題最終被化為線性矩陣不等式的求解問題。最后，通過改變參數對系統(tǒng)性能進行仿真模擬，仿真結果表明了方法的有效性。

Abstract： In this paper， the state feedback stabilization problem of offshore platform vibration control systems with pole constraints is studied. Firstly， the marine platform system is quantified and analyzed， and the mathematical model is abstracted. Secondly， the pole placement method is used to assign the poles of the closed-loop system to the appropriate region in the complex plane. The performance of the vibration control system is improved by improving the dynamic and steady state characteristics of the system. Based on this， the design problem of the active control law is finally solved as a linear matrix inequality problem. Finally， the performance of the system is simulated by changing the parameters， and the simulation results show the effectiveness of the method.

關鍵詞： 海洋平臺；主動控制；極點配置；減振

Key words： offshore platform；active control；pole assignment；vibration attenuation

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）12-0202-03

0 引言

海洋平臺是指在海上進行鉆井、采油、集運、施工等活動提供生產和生活設施的構筑物。隨著經濟發(fā)展和社會進步，近三十年來，人們對海洋的探索和挖掘越來越深入，海岸和近海建筑工程建設也越來越受到人們的關注。海洋平臺結構復雜，價格高，且經常會遭受到風、潮汐、地震等作用的損害。海洋平臺一旦出現(xiàn)事故，生命和財產損失難以估量。

因此為了維持海洋平臺系統(tǒng)的可靠性和安全性，有效地減少風浪、地震、海嘯等外部擾動對平臺造成的影響，保護平臺上工作人員的安全，加強和完善海洋平臺的減振控制十分關鍵。

國內外專家學者對控制系統(tǒng)的研究已取得一定進展，許多控制裝置和控制手段，如被動控制，主動控制，以及半主動裝置都已經被應用于減振控制。

舉例來說，Patil 和 Jangid[1]通過海上平臺設備反應的能量損耗，如在海浪作用下的彈簧和摩擦阻尼器，研究了在波浪力影響下已經安裝了摩擦減振器等能耗裝置的海洋平臺的響應。Golafshani和Gholizad[2]研究摩擦阻尼器的性能，防止波浪振動導致海洋平臺的振動。滑模方法提供了很好的魯棒性和不變性系統(tǒng)擾動特性（Vtkin，1977）[3]，基于一個簡單的線性變換，可以將滑模方法及最優(yōu)控制方法相結合，提出一個最優(yōu)滑動模式控制器，并采用規(guī)定的衰變率得到滑模方法及最優(yōu)控制方法。

海洋平臺系統(tǒng)的外部自然環(huán)境既不受人為控制，又復雜多變，且波浪力具有動態(tài)性，這給在減振控制研究方面造成很大阻力。因此，在建模并給出模型算法的同時，還要結合實際情況進行模擬仿真。

有鑒于此，為了改善海洋平臺系統(tǒng)性能，減少海面波動力對平臺系統(tǒng)的影響，優(yōu)化海洋平臺系統(tǒng)的內部設置，本文提出了研究海洋平臺振動控制系統(tǒng)具有極點約束的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。

結構安排如下：第一部分給出海洋平臺的數學模型和符號標記，以及相關的推斷定理。第二部分給出了極點配置方法，提出了將主動控制律問題轉換為線性矩陣不等式等相關結論的定理公式，并給出其證明過程。第三部分結合前文的定理公式，分別針對無控制力無波浪力、無控制力有波浪力、有控制力無波浪力、有控制力有波浪力四種情形，在不同參數控制下，根據AMD的速度響應和平臺速度響應的數值模擬波形圖給出各指標的響應情況。第四部分針對數值模擬結果分析給出了本文的結論，并指出研究的創(chuàng)新性和不足。第五部分給出了結論與展望，并總結了全文。

1 問題描述

為便于研究平臺系統(tǒng)的特性，從量化、參數上對平臺進行減振，現(xiàn)優(yōu)化一定的外在因素，如天氣、海洋的物理特性，并將海洋平臺抽象成一個完整的系統(tǒng)，因此根據海洋平臺的特性，可將海洋平臺和平臺所處的外部系統(tǒng)抽象為如下方程組：

①基于線性化莫里森方程，不規(guī)則的波浪力可近似地制定為下列外部系統(tǒng)的輸出

w（t）=Gcw（t） f（t）=Hcw（t）（1）

且w（t）=[v（t）v′（t）]T，v（t）=[v1…vN]T，

vj=Ajcos（-wjt+？著j），j=1，2，…，N（2）

Gc=■，Hc=T[I 0]（3）

②令f為波浪力，m1為平臺的質量，x1是平臺的位移，k1是平臺的剛度系數，c1是平臺的阻尼系數，m2、x2、k2、c2分別表示主動質量阻尼器（Active Mass Damper，AMD）的質量、位移、剛度系數和阻尼系數，u為控制力，則海洋平臺模型受力圖抽象簡化如圖1。

令z=[x1 x2]T，則經過簡化的海洋平臺動力方程可以表達為

x■■（t）=-（？棕■■+？棕■■■）x1（t）+？棕■■■x2（t）-2m1（？孜1？棕1+？孜2？棕2■）x■■（t）+2？孜2？棕2■x■■（t）+■[f（t）-u（t）]

x■■（t）=？棕■■[x1（t）-x2（t）]+2？孜2？棕2[x■■（t）-x■■（t）]（4）

令z3=x■■，z4=x■■，即，則z（t）=[z1（t） z2（t） z3（t） z4（t）]T（1）式簡化后可以表達為z′（t）=Az（t）+Bu（t）+Df（t）z（0）=z0（5）

其中，

A=■

B= 0 0-■-■，D= 0 0■ 0（6）

此時，設系統(tǒng)的主動控制律為：u（t）=Kx（t）（7）

其中，K為待求增益矩陣。

則閉環(huán)系統(tǒng)為x′（t）=（A+BK）x（t）+Df（t）（8）

為了使閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)特性，通常將閉環(huán)極點配置在指定的？茁-半平面區(qū)域T：

Re（x）<-？茁：x+x+2？茁<0，？茁>0（9）

為了得到本文的主要結果，提出引理如下：

引理1[4]：矩陣A的所有特征值均在？茁-半平面區(qū)域D的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X>0，使得

AX+XAT+2？茁X<0（10）

由以上分析可知，本文的目的在于設計狀態(tài)反饋控制律（7）鎮(zhèn)定海洋平臺系統(tǒng)（5），并使閉環(huán)系統(tǒng)（8）的極點位于指定的？茁-半平面區(qū)域T內。

2 模型推理及證明

定理1.給定常數？茁>0和指定的？茁-半平面區(qū)域T，對于海洋平臺主動減振系統(tǒng)（5），若存在4×4正定矩陣P和1×4矩陣K，使得下列線性矩陣不等式成立：

AP+PAT+BK+KTBT+2？茁P<0（11）

則：

①狀態(tài)反饋控制律為公式（7），穩(wěn)定海洋平臺系統(tǒng)為公式（5）；

②閉環(huán)系統(tǒng)（8）的極點位于？茁-半平面區(qū)域T內；

③狀態(tài)反饋增益矩陣K由K=K P-1確定。

證明：設Lyapunov函數為：

V（x（t））=xT（t）Px（t）（12）

其中P為待定的對稱正定矩陣。

需要注意的是，當w（t）=0時，有

V′（x（t））=xT（t）[PA+ATP+PBK+KTBTP]x（t）（13）

此時，若矩陣不等式

PA+ATP+PBK+KTBTP<0（14）

成立，則閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

另一方面，據引理1，若存在對稱正定矩陣X，使得下面矩陣不等式成立：

AX+XAT+BKX+XKTBT+2？茁X<0（15）

則閉環(huán)系統(tǒng)（8）的極點位于？茁-半平面區(qū)域D內。

顯然，矩陣不等式（12）等價于：

YA+ATY+YBK+KTBTY+2？茁Y<0（16）

其中，Y=X-1。

特別地，令P=Y，則矩陣不等式（13）隱含了（11）。從而，如果矩陣不等式（13）成立，則狀態(tài)反饋控制律（4）鎮(zhèn)定懸架系統(tǒng)（2），且閉環(huán)系統(tǒng)（5）的極點位于？茁-半平面區(qū)域T內。

由于（13）為非線性矩陣不等式，為求得其可行解，將其化為線性矩陣不等式。顯然，（13）等價于

AP-1+P-1AT+BKP-1+P-1KTBT+2？茁P-1<0（17）

令P=P-1及K=KP-1，則由（14）可得（8）。

定理證畢。

3 數值仿真

在圖1中，假設系統(tǒng)中m1=7825307kg，m2=78253kg，？孜1=2%，？孜2=20%，可得

A=■

B= 0 0 1.3*10-71.278*10-5，D= 0 0 1.3*10-7 0

外部波浪力的仿真如圖2。

為使仿真過程合理性和完整性，本文從無控制力和有控制力兩種情形針對系統(tǒng)進行仿真模擬。其中，無控制力情形又分為無波浪力和有波浪力兩種情形，有控制力時也分為無波浪力和有波浪力兩種情形，并對參數？茁的不同取值情況進行數據模擬分析，根據模擬時海洋平臺和AMD的位移及速度響應圖，給出？茁取不同值時，其他各項指標的數值變化。

4 結果分析

根據各指標的響應圖，統(tǒng)計后仿真結果的數值如表1所示。

根據數值模擬仿真結果，通過分析可得到結果如下：

當海洋平臺系統(tǒng)有主動控制且有波浪力時，系統(tǒng)的鎮(zhèn)定的時間隨著？茁的增大而減小，平臺的最大位移基本不變，最大速度隨著？茁的增大而減??；AMD的最大位移隨著？茁的增大而增大，最大速度隨著？茁的增大而增大；在一定范圍之內，控制力隨著？茁的增大而減?。怀鲆欢ǚ秶?，控制力隨著？茁的增大而迅速增大。當？茁=0.04時，我們可以用較小的控制力得到較好的控制效果。

本文在研究對象和研究方法上均有一定的創(chuàng)新性。通過matlab模擬仿，根據用較小的控制力得到較好的控制效果的選取原則，得到衰減率參數？茁=0.04為最優(yōu)解，仿真結果說明了方法的有效性和可行性。但需要注意的是，在對參數？茁進行賦值的過程中，并未將小數精確到更高分位（如0.045，0.0432），因此，在數值結果的精度上還有待提高。為使海洋平臺減振系統(tǒng)性能更好，模型結果更加精確，在模型完善、方法構建上還需進一步深入研究。同時，若要考慮天氣和海洋本身的物理特征（潮汐）等因素的影響，模型本身仍存在諸多方面有待完善。

5 總結

隨著經濟發(fā)展和社會進步，人類對地球的探索和資源的挖掘越來越深入。因此，針對海洋系統(tǒng)和海洋平臺的研究將會愈發(fā)熱烈。海洋平臺系統(tǒng)的穩(wěn)定性、耐用性，對探索海洋和保證人員自身安全具有十分重要的研究價值。本文所提出利用極點配置方法，將主動控制律問題轉換為線性矩陣不等式問題，最后建立模型求解的思想只是海洋平臺減振系統(tǒng)研究的一角，越來越多減振控制研究將會應用到完善海洋平臺系統(tǒng)性能上來。未來我們將更加關注海洋平臺振動控制的研究，將更完善的理論、更嚴謹的方法、更精確的仿真應用到完善系統(tǒng)、優(yōu)化設置方面，是所有學者必然關注的問題。

參考文獻：

[1]Patil K. C.， Jangid R. S.， 2005. Passive control of offshore jacket platforms， Ocean Engineering， 32：1933-1949.

[2]Golafshani A. A.， Gholizad A.， 2009. Friction damper for vibration control in offshore steed jacket platforms， Journal of Constructional Steel Research， 65：180-187.

[3]Utkin V. I.， 1977. Variable structure systems with sliding mode， IEEE Transactions on Automatic Control， 22（2）： 212-222.

[4]俞立.魯棒控制[M].