袁勝波

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）34-0167-02

平均分析的方法在整個統(tǒng)計方法體系中占有十分重要的地位，很多統(tǒng)計分析方法都以平均分析為依托。譬如動態(tài)分析，指數(shù)分析，抽樣估計，回歸分析等等，無一不與平均分析相關(guān)聯(lián)，具有基礎性作用。而算術(shù)平均數(shù)又是所有平均數(shù)里面最為基本最為重要的一種平均數(shù)。但一直以來，在統(tǒng)計學教科書的編寫上，對于算術(shù)平均數(shù)計算方法的闡述，卻存在較大的弊端，以至于對教學產(chǎn)生了不利影響。

一、算術(shù)平均數(shù)是否存在“基本公式”？

幾乎所有的統(tǒng)計教材都會在具體介紹算術(shù)平均數(shù)的計算方法之前，先給出一個算術(shù)平均數(shù)的基本公式，即：算術(shù)平均數(shù)=標志總量/總體總量。可以舉出許多例子，說明算術(shù)平均數(shù)的計算符合這個基本公式。譬如，三個學生的身高分別為1.7m，1.6m，1.5m，身高的算術(shù)平均數(shù)=總身高/總?cè)藬?shù)=Σx/n=（1.7+1.6+1.5）/3=1.6m。符合“基本公式”。如果在已分組（變量數(shù)列）條件下，譬如有30名學生的身高資料：

身高（m.） 人數(shù)（人）f. 組中值x. 總身高xf

1.5～1.6 10 1.55 15.5

1.6～1.7 18 1.65 29.7

1.7～1.8 2 1.75 3.5

Σ 30 — 48.7

30名學生身高的算術(shù)平均數(shù)=Σxf/Σf=48.7/30=1.62m。不管是未分組或是已分組，不管是簡單算術(shù)平均數(shù)或是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，都是用總身高比總?cè)藬?shù)，符合“標志總量/總體總量”這一“基本公式”的算法。

但只要稍加推廣，這個“基本公式”并不“基本”，并不具備任何普遍意義，計算上存在很大的局限性，實際上只適用于對絕對數(shù)計算平均數(shù)。比如上面學生身高就是絕對數(shù)，平均身高的算法就符合所謂基本公式的算法。如果平均的對象即各單位變量值是對相對數(shù)或平均數(shù)，這個基本公式就不適用了。譬如，三個班的學生考同一科的及格率分別為90%，85%，80%，求平均及格率。這是對3個單位的3個相對數(shù)計算平均數(shù)，這個時候能不能用“標志總量/總體總量”？回答顯然是否定的。首先，不能計算標志總量。因為三個單位的變量值是相對量，不是絕對量，不具有可加性；其次，總體總量為3，這個3也不能加入計算。即不能把3個百分比相加除以3得到3個班的平均及格率。再譬如，3個班考同一科的平均成績分別為90分，85分，80分，求總平均成績。這是對3個單位的3個平均數(shù)計算平均數(shù)。同樣，不能將3個平均成績相加除以3得到總平均成績。3個單位的變量值是平均量，不是絕對量，不能相加得到標志總量?？傮w總量3也不能加入計算。所以，這個所謂基本公式，原本就沒有廣泛的適用性。

二、統(tǒng)計教材未能就算術(shù)平均數(shù)的計算方法闡述清楚

闡述方法先從概念入手。一般教材都把平均數(shù)的概念表述為變量值的一般水平。這固然是正確的。但這還不夠，還應當進一步指出，變量值的數(shù)值形式是多種多樣的，可以是絕對數(shù)，也可以是相對數(shù)，還可是平均數(shù)本身。平均數(shù)不是基本的統(tǒng)計指標，它是各種各樣的統(tǒng)計指標的代表值。它可以是絕對數(shù)的代表值，如此3個學生的平均身高，也可以是相對數(shù)的代表值，比如3個班的平均及格率，還可以是平均數(shù)的代表值，比如3個班的總平均成績。這正是統(tǒng)計教材闡述算術(shù)平均數(shù)時所缺失的內(nèi)容，從而導致了理解和掌握算術(shù)平均數(shù)的困難。

在統(tǒng)計教材里面，一般都先使用對絕對數(shù)計算平均數(shù)的例子引出簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算公式，然后再舉一個已分組（變量數(shù)列）條件下對相對數(shù)計算平均數(shù)的例子。以下就是最常見的例子：

計劃完成 企業(yè)數(shù) 計劃數(shù). 組中值. 實際數(shù)

（%） （家） （萬元）f. （%）x （萬元）xf

80～90 5 1000 85 850

90～100 15 10000 95 9500

100～110 10 8000 105 8400

Σ. 30 19000 - 18750

30個企業(yè)的平均計劃完成程度=總實際數(shù)/總計劃數(shù)=Σxf/Σf=18750/19000=98.7%。每當編寫到此，編者都要給讀者指出一個“重要問題”，即：“此處存在一個權(quán)數(shù)選擇問題，似乎企業(yè)數(shù)可以作權(quán)數(shù)，實際上不能作權(quán)數(shù)，只能將計劃數(shù)作權(quán)數(shù)”等等。編者似乎忘記了或者回避了前面已經(jīng)交代過的算術(shù)平均數(shù)的“基本公式”。但到底是什么原因不能用“基本公式”去計算這30個企業(yè)的平均計劃完成程度？為什么這里的企業(yè)數(shù)不能作權(quán)數(shù)加入計算，而要用計劃數(shù)作權(quán)數(shù)加入計算？從來都沒有一個使人信服的說法。這就使讀者產(chǎn)生很大的疑惑，甚至是一頭霧水：到底按不按“基本公式”計算？“基本公式”還有沒有用？這就無形中加大了統(tǒng)計學的教學難度。

縱觀林林總總的統(tǒng)計教材，在闡述算術(shù)平均數(shù)的部分，幾乎都普遍存在幾個奇怪的現(xiàn)象：其一，幾乎所有編者都一成不變的這樣寫，從來沒有花樣翻新；其二，幾乎所有編者都去舉例說明在已分組條件下對相對數(shù)計算平均數(shù)，都不去舉例說明在已分組條件下對平均數(shù)計算平均數(shù)；其三，幾乎所有編者都不涉及在未分組條件下對相對數(shù)或平均數(shù)計算平均數(shù)，比如上面所舉3個班的及格率的平均數(shù)，3個班的平均成績的平均數(shù)。似乎原本就不存在這樣的問題，這是很讓人匪夷所思的事情。

三、在統(tǒng)計學中，應當如何闡述算術(shù)平均數(shù)的計算方法？

（一）應當徹底擯棄算術(shù)平均數(shù)的“基本公式”。正是這個所謂基本公式的存在和一直沿襲，產(chǎn)生了嚴重的誤導作用，導致了算術(shù)平均數(shù)計算方法的教學困惑和迷茫。

（二）應當按平均對象的數(shù)值形式（絕對數(shù)，相對數(shù)，平均數(shù)）分別介紹算術(shù)平均數(shù)的計算方法。

先闡述對絕對數(shù)計算平均數(shù)。闡明兩點：其一，對絕對數(shù)計算平均數(shù)的確存在一個統(tǒng)一的計算公式，即：標志總量/總體總量。其二，在未分組條件下使用簡單算術(shù)平均數(shù)的方法，在已分組條件下使用加權(quán)算術(shù)平均的方法，各組次數(shù)（頻數(shù)或頻率）就是權(quán)數(shù)。顯然，開始就用對絕對數(shù)計算平均數(shù)的例子引出簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式，比較淺顯易懂。

再闡述對相對數(shù)或平均數(shù)計算平均數(shù)。闡明兩點：其一，對相對數(shù)或平均數(shù)計算平均數(shù)，無論是否已分組，都不能采用簡單算術(shù)平均法，要采用加權(quán)算術(shù)平均法。比如，對前面3個班及格率計算平均數(shù)，不能簡單相加除以3，要用3個班的參考人數(shù)作權(quán)數(shù)加權(quán)平均。因為及格率的計算，無論是各個班計算，或是將3個班合起來計算，都是用及格人數(shù)比參考人數(shù)。同理，3個班的總平均成績的計算，同樣要用3個班的參考人數(shù)作權(quán)數(shù)加權(quán)計算。沒有權(quán)數(shù)，就不能計算平均數(shù)。其二，對相對數(shù)或平均數(shù)計算平均數(shù)，不存在統(tǒng)一的計算公式。由于相對數(shù)和平均數(shù)都是派生指標，要根據(jù)具體的相對數(shù)和平均數(shù)本身的算法去計算。因為平均數(shù)是平均對象的代表值，平均的結(jié)果不能擺脫平均對象的本來屬性。比如上面計算的平均計劃完成程度98.7%，其本身仍然是一個計劃完成相對數(shù)，只不過是30個企業(yè)的計劃完成程度的代表值。各個企業(yè)的計劃完成程度是用實際數(shù)比計劃數(shù)，把30個企業(yè)合起來計算一個計劃完成程度，也同樣是用總實際數(shù)比總計劃數(shù)。因而，在已分組條件下，必然要用各組計劃數(shù)作權(quán)數(shù)加權(quán)平均。假如給出的是未分組資料，即給出30個企業(yè)的計劃完成百分比，也不能采用簡單算術(shù)平均的方法，把30個百分比相加除以30。所以，作為總體總量的30個企業(yè)，原本就不能加入計算。因此，就不存在權(quán)數(shù)的“選擇問題”。再譬如，有30個企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，給出的是按單位成本分組的資料，要計算30個企業(yè)的平均單位成本。這是在已分組條件下對平均數(shù)計算平均數(shù)。各組的產(chǎn)量自然是權(quán)數(shù)。因為單位成本的計算，無論是各個企業(yè)計算，或是30個企業(yè)合起來計算，都是總成本比總產(chǎn)量。作為總體總量的30個企業(yè)不能加入計算，同樣不存在“權(quán)數(shù)的選擇問題”。

以這樣的思路去闡述算術(shù)平均數(shù)的計算方法，或許更為合理更為準確，對教學更為方便。

隨著經(jīng)濟快速發(fā)展和社會全面進步，統(tǒng)計學的運用越來越廣泛，尤其是即將到來的大數(shù)據(jù)時代，更需要人們掌握和運用各種各樣的統(tǒng)計方法和技能，以適應時代的要求。同時，統(tǒng)計學也必然迎來前所未有的發(fā)展機遇，統(tǒng)計方法的研究和創(chuàng)新有著更為廣闊的空間，對于統(tǒng)計學里面一些帶基礎性的方法問題更有必要澄清和理順，這正是本文的初衷。